空间向量练习题

双基达标

限时20分钟

1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是 ( )． A．(1，1，1) B．(－2，－3，5) C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)

2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为 ( )． A．0 B．6 C．－6 D．±6

8

3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ＝

9( )．

A．2 B．－2 22

C．－2或 D．2或－

5555

4．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．

5．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若AP＝2PB，则|PD|的值是______．

6．已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．求 (1)a·(b＋c)； (2)4a－b＋2c.

→→→

综合提高（限时25分钟）

7．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则|AB|的取值范围是 ( )．

8．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP等于 ( )．

→→→→→→→40153315

A．(，，－3) B．(，，－3)

777740153315

C．(－，－，－3) D．(，－，－3)

7777

9．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．

10．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．

11．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)． (1)求△ABC的面积； (2)求△ABC中AB边上的高．

12．(创新拓展)在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．

证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD.

证明 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)，D(0，1，0)、A1(0，0，1)、B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、11111

D1(0，1，1)，由中点性质得E(1，1，)、F(1，，0)，G(，1，0)、H(，，1)．

22222 (1)

→→3.1.4 空间向量的正交分解

及其坐标表示

双基达标

限时20分钟

1．对于空间中的三个向量a，b，2a－b.它们一定是 ( )． A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．以上均不对

→→→2．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量

MA，MB，MC成为空间一组基底的关系是 ( )．

→→→→1→1→1→→→→A.OM＝OA＋OB＋OC B.MA＝MB＋MC

333

C.OM＝OA＋OB＋OC D.MA＝2MB－MC

→→→→→→→→2→

3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若OC＝AB，则C的坐标是

5

( )．

648648－，－，－ B.，－，－ A.555555648648－，－， D.，， C.555555

4．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为____________．

5．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的________条件．

6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

试写出正方体八个顶点的坐标． 解

综合提高（限时25分钟）

→→→7．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，

用a，b，c表示向量MN为 ( )． 111111A.a＋b＋c B. a－b＋c 222222111111C．－a＋b＋c D．－a＋b－c

2222228．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为 ( )． A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，10，12) D．(4，2，3)

9．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a

－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________．

10．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别→→→→→为AA1，B1C的中点，若记AB＝a，AC＝b，AA＝c，则DE＝________(用a，b，c表示)．

11．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AP；(2)AM； (3)AN；(4)AQ. 解

12．(创新拓展)已知{i，j，k}是空间的一个基底设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明． 解

→→→→→→3.1.3 空间向量的数量积运算

双基达标

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c

限时20分钟

1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是 ( )．

2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 ( )． A．2BA·AC B．2AD·DB C．2FG·AC D．2EF·CB

3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝( )．

121

A. B. C．－ D．0 222

4．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则cos〈a，b〉＝________．

5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

6．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： (1)BC·ED1；(2)BF·AB1 解

π→→，则cos〈OA，BC〉的值为 3

→→→→→→→→→→→→综合提高（限时25分钟）

7．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为 ( )． A.3 B．2 C.5 D.6

8．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是 ( )． A．30° B．45° C．60° D．90°

9．已知|a|＝32，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．

10．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．

11．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°. 求证：BD⊥平面ADC. 证明

12．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为2. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； π

(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

3

3.1.2 空间向量的数乘运算

双基达标

1．给出的下列几个命题：

限时20分钟

①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；

③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为 ( )． A．0 B．1 C．2 D．3

2．设空间四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则 ( )． A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上

C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 →→D.AB与AP的方向一定相同

→→→→→1→1→3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x的

33

值为 ( )．

1

A．1 B．0 C．3 D.

3

4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________．

→→→

5．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若

A，B，D三点共线，则k＝______．

6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量EF与AD＋BC是否共线？

→→→综合提高（限时25分钟）

7．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝1是P，A，B，C四点共面的 ( )．

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，

→→→→→→则OC等于（ ）。A．2OA－OB B．－OA＋2OB 2→1→1→2→C.OA－OB D．－OA＋OB 3333

9．如图所示，在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝______(用a，b，c表示)．

10．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．

11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点． 证明：向量A1B、B1C、EF是共面向量．

由向量共面的充要条件知，A1B、B1C、EF是共面向量．

12．(创新拓展)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)证明E，F，G，H四点共面； (2)证明BD∥平面EFGH. 证明 如图，连结EG，BG.

→→→→→→→→→→→→→→→→→→