理 数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z满足A.1
-
=i,则|z|=( )
B.
C.
D.2
2.sin20°cos10°-cos160°sin10°=( ) A.-
2
B.
n
C.-
D.
3.设命题p:∃n∈N,n>2,则¬p为( ) A.∀n∈N,n>2
2
n
B.∃n∈N,n≤2
2n
C.∀n∈N,n≤2
2n
D.∃n∈N,n=2
2n
4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648
B.0.432
2
C.0.36 D.0.312
5.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若 · <0,则y0的取值范围是( ) A. -
,
B. -
,
C. -
,
D. -
,
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
=3 ,则( ) 7.设D为△ABC所在平面内一点,
+ A. =-
+ C. =
= - B.
- D. =
8.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A. - , ,k∈Z C. -, ,k∈Z
B. - , ,k∈Z
D. -, ,k∈Z
9.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )
A.5
2
5
B.6
52
C.7 D.8
10.(x+x+y)的展开式中,xy的系数为( ) A.10
B.20
C.30
D.60
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )
A.1
x
B.2 C.4 D.8
12.设函数f(x)=e(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( ) A. - ,
B. - ,
C. ,
D. ,
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a= .
14.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .
- ,
15.若x,y满足约束条件 - ,
的最大值为 . 则
- ,
16.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, +2an=4Sn+3.
(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=
,求数列{bn}的前
n项和.
18.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 563 6.8 (xi- ) 2 (wi- ) 2 (xi- )(yi- ) (wi- )(yi- ) 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ,
.
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
=
20.(本小题满分12分)
在直角坐标系xOy中,曲线C:y= 与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点. (Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x+ax+,g(x)=-lnx.
(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线?
(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
3
( - )( - )
( - )
, = - .
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E. (Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线; (Ⅱ)若OA= CE,求∠ACB的大小.
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)+(y-2)=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
2
2
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)
一、选择题 1.A 由已知
-
=i,可得z=
-
- -
=
-
==i,∴|z|=|i|=1,故选A.
-
2.D 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D. 3.C 根据特称命题的否定为全称命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.
4.A 该同学通过测试的概率P= ×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648,故选A.
解 5.A 若 · =0,则点M在以原点为圆心,半焦距c= 为半径的圆上,则
-
22 得 =.可知: .故选A. · <0⇒点M在圆x+y=3的内部⇒ <⇒y0∈ -
6.B 设圆锥底面的半径为R尺,由 ×2πR=8得R= ,从而米堆的体积V= × πR2×5= (立方尺),因此堆放的米约有 ≈22(斛).故选B.
+ + + = + = + ( - )=- + .故选A. = 7.A =
8.D 由题图可知 = - =1,所以T=2.结合题图可知,在 - (f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为 - .由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为 -
,k∈Z,故选D.
9.C 第一次循环:S=1- = ,m= ,n=1,S>t;第二次循环:S= - = ,m= ,n=2,S>t;第三次循环:S= - = ,m= ,n=3,S>t;第四次循环:S= - = ,m= ,n=4,S>t;第五次循
环:S= - = ,m= ,n=5,S>t;第六次循环:S= - = ,m= ,n=6,S>t;第七次循环:S=-
=
,m=
,n=7,此时不满足S>t,结束循环,输出n=7,故选C.
2
10.C (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有 (x+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为 =30,故选C.
11.B 由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为2πr2+πr2+4r2+2πr2=5πr2+4r2.由5πr2+4r2=16+20π,得r=2.故选B.
12.D 由f(x0)<0,即 (2x0-1)-a(x0-1)<0得 (2x0-1) - - . - - - - ,则g'(x)=. 当x∈ 时,g'(x)<0,g(x)为减函数, 当x∈ 时,g'(x)>0,g(x)为增函数, 要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2) . 易知,当x∈(- ,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数, 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数, 要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)≤a 解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln( -x)=xln(x+ ),则ln(x+ )+ln( -x)=0, ∴ln[( )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1. 14.答案 - +y2= 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x= ,所以圆心坐标为 ,则半径r=4- = .故该圆的标准方程为 - +y2=. 评析 本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键. 15.答案 3 解析 由约束条件画出可行域,如图. 的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以的最大值即为直线OA的斜率, 又由 - 得点A的坐标为(1,3),则 =kOA=3. - 16.答案 ( - , + ) 解析 依题意作出四边形ABCD,连结BD.令BD=x,AB=y,∠CDB=α,∠CBD=β.在△BCD中,由正弦定理得 ° = .由题意可知,∠ADC=135°,则∠ADB=135°-α.在△ABD中,由正弦定理 °- °- - ° - ° == =. 得 °= °- .所以 °- = ,即y= 因为0°<β<75°,α+β+75°=180°,所以30°<α<105°, 当α=90°时,易得y= ; 当α≠90°时,y= = , ° ° 又tan 30°= ,tan 105°=tan(60°+45°)= - ° °=-2- , 结合正切函数的性质知, ∈( -2, ),且 ≠0, 所以y= ∈( - , )∪( , + ). 综上所述:y∈( - , + ). 评析 本题考查了三角函数和解三角形.利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题. 三、解答题 17.解析 (Ⅰ)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3. 可得 - +2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an). 由于an>0,可得an+1-an=2. 又 +2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3. 所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(6分) (Ⅱ)由an=2n+1可知 bn= = = - . 设数列{bn}的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn = - - … - = .(12分) 18.解析 (Ⅰ)连结BD.设BD∩AC=G,连结EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC= . 由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG= ,且EG⊥AC. 在Rt△EBG中,可得BE= ,故DF= . 在Rt△FDG中,可得FG=. 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE= ,DF= ,可得EF=从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG. 又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC. 因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.(6分) , 的方向为x轴,y轴正方向,| |为单位长,建立空间直(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以 角坐标系G-xyz. . 由(Ⅰ)可得A(0,- ,0),E(1,0, ),F - 分) , >=故cos< =- . · =(1, , ), = - - .(10,C(0, ,0),所以 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.(12分) 评析 本题考查了线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定、异面直线所成的角.建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量的有关公式是求解的关键.证明“EG⊥平面AFC”是解题的难点.本题属中等难度题. 19.解析 (Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分) (Ⅱ)令w= ,先建立y关于w的线性回归方程.由于 = - - - = =68, = - =563-68×6.8=100.6, 所以y关于w的线性回归方程为 =100.6+68w,因此y关于x的回归方程为 =100.6+68 .(6分) (Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值 =100.6+68 =576.6, 年利润z的预报值 =576.6×0.2-49=66.32.(9分) (ii)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值 =0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12. 所以当 = =6.8,即x=46.24时, 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分) 20.解析 (Ⅰ)由题设可得M(2 ,a),N(-2 ,a)或M(-2 ,a),N(2 ,a). 又y'= ,故y= 在x=2 处的导数值为 ,C在点(2 ,a)处的切线方程为y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0. y= 在x=-2 处的导数值为- ,C在点(-2 ,a)处的切线方程为y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=0. 故所求切线方程为 x-y-a=0和 x+y+a=0.(5分) (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2. 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而k1+k2= - - - + = = . 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分) 21.解析 (Ⅰ)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f '(x0)=0,即 解得x0= ,a=- . 因此,当a=- 时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(5分) (Ⅱ)当x∈(1,+ )时,g(x)=-ln x<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+ )无零点. 当x=1时,若a≥-,则f(1)=a+≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a<-, 则f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点. 当x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0,所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数. (i)若a≤-3或a≥0,则f '(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.而f(0)= ,f(1)=a+ ,所以当a≤-3时, f(x)在(0,1)有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)没有零点. (ii)若-3 ③若f - <0,即-3 在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.(5分) (Ⅱ)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2 ,BE= - . 由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2= - ,即x4+x2-12=0. 可得x= ,所以∠ACB=60°.(10分) 23.解析 (Ⅰ)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分) (Ⅱ)将θ= 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 ρ+4=0,解得ρ1=2 ,ρ2= ,故ρ1-ρ2= ,即|MN|= . 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为 .(10分) 24.解析 (Ⅰ)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1 分) 所以f(x)>1的解集为 .(5 - - - (Ⅱ)由题设可得,f(x)= - - - 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A - ,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2. 由题设得 (a+1)2>6,故a>2. 所以a的取值范围为(2,+ ).(10分) 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容