2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(大纲卷,解析版)

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设z10i，则z的共轭复数为 3i（ ）

A．13i B．13i C．13i D．13i

2.设集合M{x|x23x40}，N{x|0x5}，则M（ ）

A．(0,4] B．[0,4) C．[1,0) D．(1,0]

N

3.设asin33,bcos55,ctan35,则 （ ）

A．abc B．bca C．cba D．cab

1

4.若向量a,b满足：a1,aba,2abb,则b （ ）

A．2 B．2 C．1 D．

2 25.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）

A．60种 B．70种 C．75种 D．150种

x2y236.已知椭圆C：221(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的

ab3直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为43，则C的方程为 （ ）

x2y2x2x2y2x2y221 B．y1 C．1 D．1 A．

332128124 2

7.曲线yxex1在点（1, 1）处切线的斜率等于 （ ）

A．2e B．e C．2 D．1

8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A．

8127 B．16 C．9 D．

44【答案】A．

3

图2

【解析】

考点：1.球的内接正四棱锥问题；2. 球的表面积的计算．

9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若F1A2F2A，则

cosAF2F1（ ）

A．

1122 B． C． D． 434310.等比数列{an}中，a42,a55，则数列{lgan}的前8项和等于

4

（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

11.已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，

ACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（ ） A．

1123 B． C． D． 4244【答案】B. 【解析】

5

12.函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象关于直线xy0对称，则yf(x)的反函数是（ ）

A．yg(x) B．yg(x) C．yg(x) D．yg(x)

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

xy2213. 的展开式中xy的系数为 . yx【答案】70.

8 6

xy014.设x,y满足约束条件x2y3，则zx4y的最大值为 .

x2y115．直线l1和l2是圆xy2的两条切线，若l1与l2的交点为1,3，则l1与l2的夹角的

22正切值等于 .

7

l2的夹角的正切值：tank1k24．

1k1k23考点：1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式． 16.若函数f(x)cos2xasinx在区间(,)是减函数，则a的取值范围是 . 62三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）

ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC2ccosA，tanAB.

1，求318. （本小题满分12分）

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a110，a2为整数，且SnS4.

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（I）求{an}的通项公式； （II）设bn1，求数列{bn}的前n项和Tn. anan119. （本小题满分12分）

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，

0BC1,ACCC12.

（I）证明：AC1A1B；

（II）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1ABC的大小.

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20. （本小题满分12分）

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.

（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.

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21.（本小题满分12分）

已知抛物线C：y2px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|25|PQ|. 4（I）求C的方程；

（II）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

【答案】（I）y2=4x；（II）直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

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22. （本小题满分12分） 函数fxlnx1axa1. xa（I）讨论fx的单调性；

（II）设a11,an1ln(an1)，证明：

23an. n+2n222【答案】（I）（i）当1a2时，fx在1,a2a上是增函数，在a2a,0上是

减函数，在0,上是增函数；（ii）当a=2时,f(x)在(-1,+?)上是增函数；（iii）

2当a>2时，fx在是(-1,0)上是增函数，在0,a2a上是减函数，在a22a, 13

上是增函数；（II）详见试题分析．

n=k+1时有

23，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何nÎN*结论都成立． 考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用数学归纳法证明数列不等式．

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