导向矢量不确定集约束的稳健Capon波束形成算法

２０１０年４月　第３７卷第２期　西安电子科技大学学报（自然科学版）　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ｏＦ　ｘＩＤＩＡＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ａｐｒ．２０１０　Ｖｏ１．３７　ＮＯ．２　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—２４ＯＯ．２０１０．０２．００４　导向矢量不确定集约束的稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法　刘聪锋，廖桂生　（西安电子科技大学雷达信号处理重点实验室，陕西西安７１００７１）　一～一～～一～一一　摘要：针对Ｃａｐｏｎ波束形成算法在导向矢量不确定集约束下的求解问题，提出了新的求解方法．通过对　稳健算法最优化问题的特点和求解过程进行分析，给出了新的求解结果，不仅使不确定集约束参数的选　一～一一～一～～一～一　一～～　～　择更加简单，同时使波束形成算法的性能改善达到最优．而且得出了负加载可以获得最优的性能改善，　而约束参数选择得越大，波束形成算法的性能越接近于最优，而零解可以通过合理选择约束参数进行有　效地避免．最后的仿真分析验证了理论分析的正确性和算法的有效性．　关键词：自适应波束形成；Ｃａｐｏｎ波束形成器；不确定集约束；负对角加载　中图分类号：ＴＮ９ｌ１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—２４００（２０１０）０２—０１９７—０７　Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ　ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｓｔｅｅｒｉｎｇ　ｖｅｃｔｏｒ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｓｅｔ　Ｌ　Ｕ　Ｃｏｎｇ—ｆｅｎｇ．ＬＩＡＯ　Ｇｕｉ—ｓｈｅｎｇ　（Ｋｅｙ　Ｌａｂ．ｏｆ　Ｒａｄａｒ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｘｉｄｉａｎ　Ｕｎｉｖ．，Ｘｉ’ａｎ　７１００７１，Ｃｈｉｎａ）～一　一～～一．～～一一　一一ｌ重．一　～．　～一一～～一～一　自适应波束形成技术广泛应用于雷达、声纳、地震学、麦克风阵列语音处理以及无线通信中．而且当有用　信号的导向矢量和其真实值之间存在误差（失配）时，波束形成器的性能将会急剧地下降．因此，稳健性就成　为自适应阵列处理的必须要求．　在传统的稳健自适应波束形成算法中，如线性约束最小方差（ＬＣＭＶ）波束形成算法、基于特征空间　（ＥＳＢ）的稳健算法ｌ＿１］和协方差矩阵消锥（ＣＭＴ）方法¨２］，这些方法尽管能够改善信号方向失配的稳健性，但　是不能改善诸如较差的阵列校正、未知传感器互耦、近场波前失真、源扩展以及相干和非相干的局部散射等　影响．近几年提出了在理论上比较严格的稳健波束形成算法［３　，其主要思想是定义了所谓的不确定集和使　最差性能最优．尽管有些算法给出了具体的加载量计算方法，但是其指向性能改善并不明显，而其他算法只　收稿日期：２００９—０６—１１　基金项目：国家杰出青年基金资助项目（６０８２５１０４）；国家自然科学基金资助项目（６０７３６００９）；博士后基金资助项目（２００９０４５１２５１）；陕西省　工业攻关资助项目（２００９Ｋ０８—３１）　作者简介：刘聪锋（１９７３一），男，副教授，博士，Ｅ　ｍａｉｌ：ｃｆｌｉｕ＠ｍａｉｌ．ｘｉｄｉａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ．　．～一　一　１９８　西安电子科技大学学报（自然科学版）　第３７卷　是给出了近似的求解方法．　Ｊｉａｎ　Ｌｉ等人提出了基于导向矢量不确定集约束的稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法　］，并进行了求解．然而通　过分析求解过程发现，其最优约束参数的选择比较困难，而且其解并没有使得波束形成器的性能达到最优，　这是因为其对不确定集的约束参数进行了限制，而且在求解过程中也对Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数进行限制，使其取值　为非负．笔者通过对文献Ｅ５］中提出的稳健波束形成算法进行深入的研究，提出了新的求解方法，不仅使得不　确定集约束参数的选择更加简单，而且使得最优化问题得到准确的求解，并使波束形成算法的性能达到最　优．通过理论分析和仿真实验得出了负加载可以获得最优的性能改善，而约束参数选择得越大，波束形成算　法的性能越接近于最优．最后的仿真分析验证了理论分析的正确性和算法的有效性．　１稳健的Ｃａｐｏｎ波束形成算法　假设传感器天线阵是由Ｍ个阵元组成，若用Ｒ表示天线阵列接收数据的理论协方差矩阵，则Ｒ为正定　矩阵（即Ｒ＞０），且具有如下形式Ｅ　Ｋ　Ｒ一　口。ｎ　＋∑　ｎ　口　＋ｔ２　（１）　＾一１　其中（　，｛　）　）为（Ｋ＋１）个相互独立盼入射信号功率，（口。，｛ｎ　）Ｋ＿　）为其相应的导向矢量，（・）　表示共　轭转置，而Ｑ为接收噪声的协方差矩阵，且满秩（即Ｑ的秩为Ｍ）．通常假设第１项对应于感兴趣的有用信号　（ＳＯＩ），而第２项对应于Ｋ个干扰信号．为了避免模糊，通常假设ｌｌａ。ｌ　ｌ－Ｍ，其中ｌｌ・Ｉｌ表示Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数．　在实际应用中，Ｒ通常由样本协方差矩阵　代替，且有　袁一　１∑　Ｈ　，　（２）　其中Ｎ表示快拍的数量，而　表示第　个快拍．　标准的Ｃａｐｏｎ波束形成算法描述：　（１）确定如下线性约束二次最优化问题的解Ｗ。．　ｒｍｉｎＷ“Ｒｗ　。　（３）　ｌＳ．ｔ．Ｗ“ａ。一１，　（２）利用ｗ０ＨＲｗ。估计信号功率　．　上面最优化问题的解可以利用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数方法进行推导，即为　Ｗｏ—Ｒ　ａｏ／（ａＨｏＲ～ａ０），　（４）　将该解带入　Ｒｗ。中即可得　的估计值：　一１／（ａｏ＂Ｒ　ｎ。）　，　（５）　然而在实际应用中，准确的导向矢量ａ。是不可能准确获得的，但是可以通过已知的经验知识将ａ。限制在如　下的椭圆不确定集内，即　（口。一　）“Ｃ＿　（口。一五）≤１，　（６）　其中ａ（ａ为有用信号的假定导向矢量）和ｃ（Ｒ　Ｃ＞０）为给定参数．　因此，可以将稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法重新描述成不需计算中间结果Ｗ的稳健　：估计问题，即　ｆＩ　　ａＸ．口　　，　’　｛ｓ．ｔ．Ｒ一　口Ｈ口≥０，　（７）　ｌ　（口一　）“Ｃ－　（ｎ一五）≤１，　该最优化问题可以描述为协方差矩阵拟合问题，即对于给定不确定集中的口和Ｒ，求解最大的ＳＯＩ项　口“ａ，使其成为Ｒ的一部分，并使Ｒ的剩余协方差矩阵为半正定．对于给定的口，上式的最优解　实际上就是　将前面　表达式中的ａ。用口替换．因此上式可以简化为　第２期　刘聪锋等：导向矢量不确定集约束的稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法　ｒｍｉｎａ“Ｒ～ａ　。　。　１９９　（８）　ｌＳ．ｔ．（口一　）“Ｃ－　（口一五）≤１，　由于Ｃ＞０，因此可以通过矩阵分解，将上式等价转化为具有如下形式的最优化问题：　ｆｍｉｎ口　Ｒ－　ａ　。　。　（９）　【Ｓ．ｔ．ＩＪ口一　≤ｓ，　该式为导向矢量的球形不确定集约束，其中ｅ为约束参数．　２稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法的求解　文献Ｅ５３为了避免平凡解ａ＝０，限制了￡＜　由于ａ为有用信号的导向矢量，因此在某些约束参数　取值下口一０可能是最优解，但不是所求解．由于ｅ为人为指定的失配约束参数，因此，理论上￡可以取大于等　于零的所有值．为了方便后面的讨论，此处不考虑平凡解口一０．　对于该最优化问题，最优解显然取在约束集合的边界上，故可将上式等价转化为具有二次等式约束的二　次最优化问题，即　咖　一　【ｓ．ｔ．　一　ｚ—ｅ．　（１０）　在等式约束下，可以最大限度地避免平凡解ｎ一０的出现，除非ｅ一　ＪＩ　，此时ｎ一０位于约束集合的边界　上．对于该等式约束最优化问题，可以利用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数方法进行有效求解．且有　ｆ（ａ，　）一口“Ｒ　ａ＋　（ＩＩ口一ａｌ　一ｅｌ）　，　所以本文中并没有对其进行限制．　求解上式关于ａ的偏导数，并令其等于零，可得最优解ａ。，即　。一（Ｒ一　／　＋ｊ）一　．　（１１）　其中　为Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数．在文献［５］中要求　≥０．其实对于上面的等式约束最优化问题，　可以取任意实数，　（１２）　利用矩阵求逆引理（Ｊ—Ｒ）～一Ｊ－ｔ－（Ｊ—Ｒ）Ｒ—Ｊ＋（Ｒ～一Ｊ）～，可得　。一　一（Ｊ＋ＡＲ）一　．　（１３）　如果将该式带人前面的ｗ。一Ｒ　口。／（口　Ｒ　口。），即可得到稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法的最优加权矢量，即　Ｗｏ一［Ｒ＋（１／　）１１　／｛　“ＥＲ＋（１／　）Ｉ］　ＲＥＲ＋（１　）１１　｝　，　ｇ（　）　』（Ｊ＋　Ｒ）一　ｌ　一￡ｌ　，　（１４）　（１５）　因此该波束形成算法也属于对角加载类算法．而最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数　可以通过求解约束方程获得，即　通过分析上面的求解过程可以发现，应用矩阵求逆前的最优解表达式中　≠０，而应用矩阵求逆后的最优解　表达式中当　一０时　。一０．因此对于利用约束方程求解　时，只有满足上式的　≠０才是所要求解的最优　Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数，此时也避免了平凡解　。一０出现．　因此只要利用约束方程求解的最优　≠０，即为最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数，而且并不需要附加其它约束以防　止平凡解ａ　一０的出现．　与文献［５］相比，笔者提出的求解方法具有３点不同：（１）没有对约束参数ｅ的取值进行限制；（２）没有　对Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数　的取值进行限制；（３）分析了平凡解　。一０与Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数　取值之间的关系．此算法　的实现关键就是对最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数　的求解．　３最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数的求解　为了利用约束方程求解　，对协方差矩阵Ｒ进行特征分解，可得　Ｒ—Ｕ　Ｕ“　，　（１６）　２００　西安电子科技大学学报（自然科学版）　第３７卷　其中Ｕ一［１Ｉ　，Ｈｚ，…，ｌｌＭ］为Ｒ的特征矢量矩阵，而对角矩阵　＝ｄｉａｇ［２＇１，），。，…，ｙＭ］为相应的特征值矩阵，且　假设　≥ｙ２≥…≥ｙＭ．故可得约束方程的另一种表示形式：　一耋　一ｅ．　Ⅲ　Ｍ　为了分析方便，令　一∑Ｉ“　Ｈ口－１　，　（１８）　显然，当２≥０时，有　１『　ｅ　耋　≤耋　一　＝＝＝一一　（１９）　妻　≥薹　一　进行化简，可得　≤　≤　，　（２Ｏ）　由于　≥０，因此必须有ｅ≤叩．当　≥０时，ｇ（　）为　单调减函数，而且有　／　Ｍ　ｆ　ｇ（　）一∑　Ｉ　Ｈ　五１　（１＋　）　≤『　ｍ一１　耋　一　一ｅ，　Ｉ　Ｍ　ｌ　ｌｌ　Ｉ。　Ｍ　。　Ｉ　ｇ（　）一∑　（１＋２．（．，１≥　一　—　仇＝１　。　）　因此，当ｅ≤叩时，必有惟一解　∈　’　］满足约束方程ｇ　ｃ　一ｅ．然而，当ｅ一　时，从约　束方程的表达式（１７）可以看出，只有　一０时，方程两边才能相等，而此时对应于平凡解　。一０．　但是，当ｅ＞　时，同样从约束方程的表达式（１７）可以看出，此时的　必须为负时，方程两边才可能相等．　其实将约束方程中的ｇ（　）展开可得　ｇ（　）一　＋　＋…＋　一ｅ，　（２２）　由于ｈ（　）一１＋　ｙ　（ｍ一１，…，Ｍ）为Ｍ个过（０，１）和（一１／　，０）点的直线．由于一１／ｙ。≥～１／ｙ２≥…≥　一１／ｙＭ，因此，当一１／ｙ１≤　≤Ｏ时，ｇ（　）也为单调减函数．由于ｅ＞＇７一ｇ（０），因此方程ｇ（　）一ｅ＞　的　＜０．　。　令ｌ　ｌｌ　ｌ　ｃ　，Ｉ“　Ｉ。　ｃ　，…，Ｉ“ＨＭ　ｌ。　ｃＭ，则ｃ　（ｍ一１，…，Ｍ）分别为非负常数．因此当．＝【一　一１／ｒ　时，上面ｇ（　）表达式中的第１项将趋于无穷大，而后面的Ｍ一１项将趋于某一常数，如果对于给定的　有限大￡＞　，则当　无限逼近一１／Ｙ　时，必有ｇ（　）＞￡．因此当ｅ＞＇７时，必存在惟一解　∈（一１／ｙ　，０）满足约　束方程ｇ（　）一ｅ．　尽管随着约束参数￡的增加，最优　将越逼近于一１／ｒ　，即当ｅ—ｏｏ，　一一１／ｙ】．但是不能取等号，否则　加载协方差矩阵不可逆．其实最优解逼近于一１／ｒ　，是由于加载量是用于克服有用信号的导向矢量失配．而　且随着约束参数ｅ的增加，最优解的变化将会非常小（相比较而言），即加载量将趋于恒定．这是因为对于给　定的接收数据，误差是一定的，因此最优加载电平也是一定的．通过大量的仿真分析发现，当ｅ》叩时，可以将　［（７／ｅ）　。一１－］／Ｙｌ作为最优解，即可获得较好的结果，而且可以省去大量的搜索运算．　综上所述，当￡＜叩时，　＞０；当￡一　时，　一０；当ｅ＞ｒ／时，　＜０．即当约束参数ｅ较小时，最优　为　正，对应于正的对角加载，当ｅ较大时，最优　为负，对应于负的对角加载．这是因为对于小的不确定集约束参　数，导向矢量误差不在该约束条件之内，或者相对而言约束条件比较弱，但是对于较大的不确定集约束参数，　导向矢量误差满足约束条件，即约束是起作用的．而且当不确定集约束条件远远强于实际的导向矢量误差　时，性能的改善更优．因此，不确定集约束参数应该根据经验选择尽可能大的数值．通过分析可知，平凡解　。一０可以通过选择约束参数得到有效地消除．　因此，文献Ｅ５－１中的求解方法只是本文求解中的一个很小的特例，即只考虑正　，而且很难选择约束参　第２期　刘聪锋等：导向矢量不确定集约束的稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法　２０１　数，并且波束形成器的性能无法达到最优．然而本文的求解，得出了负的最优　可以获得最优的性能改善，而　且约束参数选择的越大，性能的改善越接近于最优．　４仿真分析　为了验证所提出算法的稳健性，以及求解的正确性，并与文献［５］中的求解方法进行比较，进行了详细的　仿真分析．假设阵列为理想均匀线阵，阵元数Ｍ：＝＝１０，阵元间距为半波长．仿真中的信号位于０。，信噪比为　一５　ｄＢ，导向矢量失配是通过信号的指向失配引入的，指向失配角为５。．　４．１稳健性分析　图１给出了信号导向矢量失配存在时的方向图，其中Ｉｄｅａｌ—Ｃａｐｏｎ表示理想条件（无失配）下Ｃａｐｏｎ算　法的方向图，Ｃａｐｏｎ表示失配条件下的方向图，Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ表示稳健算法的方向图．其约束参数￡选择为　的５ｏ倍，而ｌＩｎ—ａＩｌ　一１５．２３０　２，　一１０，即ｅ一５００，满足失配约束条件．从方向图的比较可以看出，Ｃａｐｏｎ　具有一定的指向误差，而Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ准确地指向了信号的真实方向，而且相对于Ｉｄｅａｌ—Ｃａｐｏｎ具有更低的　旁瓣．因此Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ可以很好地克服有用信号导向矢量失配的影响．　∞　ｊ翻ｉ　餐　方位角／（。）　图１　Ｃａｐｏｎ波束形成算法的方向图　图２信号功率相对于Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数的变化　４．２渐进性分析　对于该稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法，存在两个关键问题，一个是最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数的求解，另一个是约　束参数的选择．　为了分析Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数对波束形成算法的影响以及求解的正确性，并与文献Ｅ５］中的求解方法进行比　较，图２给出了信号功率相对于Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数的变化．显然，只有在最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数（即　一一０．２２３　４）　处，信号的功率最大．因此最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数的求解是该算法的关键．然而文献Ｅ５３只考虑正的　值，故不可　能取得最优的性能改善．　为了分析约束参数对波束形成算法的影响以及如何选择约束参数，进行了如下的仿真分析．　图３给出了信号功率相对于约束参数的变化．其中图３（ａ）为文献Ｅ５３中求解方法，即只考虑￡＜叩的约　束条件，而图３（ｂ）为笔者提出的算法，通过比较可知图３（ａ）为图３（ｂ）的前边一小部分．从图３（ｂ）的曲线变　化可以看出，随着约束参数的增加，信号功率逐渐升高，但是在较小的约束参数取值区间，信号功率升高的比　较迅速，当约束参数大于一定数值后，信号功率增加的比较缓慢，而且趋近于一恒定常数．这是因为随着约束　参数的增加，波束逐渐指向信号的真实方向，而且当约束参数大于一定的数值后，波束形成器的指向性能将　会趋于恒定．因此相比与文献Ｅ５］的求解方法，本文不仅获得了最优的性能改善，而且使约束参数的选择更加　简单．　图４给出了最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数相对于约束参数的变化，其中图４（ａ）和图４（ｂ）的分析和解释同图３．从　图中可以看出，对于较小的约束参数，最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数为正值，对于较大的约束参数，最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数　为负值．当约束参数逐渐增加时，最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数趋于恒定，即当约束参数大于一定数值时，通过增加约　束参数，对Ｃａｐｏｎ波束形成算法的性能改善不大．这与前面的理论分析相一致，即当约束参数逐渐增加时，　最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数趋于最大特征值倒数的相反数．　２０２　西安电子科技大学学报（自然科学版）　第３７卷　兽　霄　５　５　１０　０　１００　２００　３００　约束参数　（ａ）　约束参数　（ｂ）　约束参数　（ａ）　约束参数　（ｂ）　图３　信号功率相对于约束参数的变化　图４　最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数相对于约束参数的变化　图５给出了信号功率相对于样本数量的变化．显然，Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ的信号功率要明显高于Ｃａｐｏｎ，而且　还稍微高于Ｉｄｅａｌ—Ｃａｐｏｎ，尤其在小样本条件下，这是由于其具有更低的旁瓣电平．　３　３　籁　。暑ⅡＢＪ∞∞　２　２　ｌ　１　堪　Ｏ　号　０　图５　信号功率相对于样本数量的变化　图６　信号功率相对于信号失配角的变化　图６给出了信号功率相对于信号失配角的变化．然而Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ几乎和Ｉｄｅａｌ—Ｃａｐｏｎ具有相同的变　化曲线，且远远高于Ｃａｐｏｎ，而Ｃａｐｏｎ随着失配角的增加，信号功率逐渐降低．而且在仿真中，Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ　的方向图也准确地指向了实际的信号方向．　４．３仿真分析小结　综上仿真分析，可以得出结论：（１）本文所提出的算法是正确的和有效的，不仅可以得到最优Ｌａｇｒａｎｇｅ　乘数，而且可以获得最优的性能改善．（２）从理论分析和仿真试验可以得出，最优的负Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数可以达　到最优的性能改善．（３）当约束参数较大时，参数的选择对波束形成器的性能影响不大，但是决定着最优　Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数的求解．（４）为了获得最优的性能改善，约束参数应选择较大的数值．　５结　论　针对导向矢量不确定集约束下的稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法，提出了一种新的求解方法．通过对最优化　问题的准确求解，得出了与文献Ｅ５］和传统稳健波束形成算法截然不同的结论，即最优的负Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数可　以获得最优的性能改善，然而文献Ｉ－ｓ］和传统解法只考虑正解．本文中不仅给出了最优Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数的求解　方法，而且给出了约束参数的选取原则，即选择较大的参数使约束更强，使波束形成算法的性能尽可能接近　最优，大大简化了约束参数选取．最后的仿真分析也验证了理论分析的正确性和算法的有效性．　参考文献：　Ｅｌｉ　Ｆｅｌｄｍａｎ　Ｄ　Ｄ，Ｇｒｉｆｆｉｔｈｓ　Ｌ　Ｊ．Ａ　Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　Ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９４，４２（４）：８６７—８７６．　［２］Ｇｕｅｒｃｉ　Ｊ　Ｒ．Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ　Ｍａｔｒｉｘ　Ｔａｐｅｒｓ　ｆｏｒ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９９，４７（４）：９９７—９８５．　［３］Ｔｉａｎ　Ｚ，Ｂｅｌｌ　Ｋ　Ｌ，Ｖａｎ　Ｔｒｅｅｓ　Ｈ　Ｌ．Ａ　Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ　Ｌｅａｓｔ　Ｓｑｕａｒｅｓ　Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ＬＣＭＰ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　ｕｎｄｅｒ　Ｑｕａｄｒａｔｉｃ　第２期　刘聪锋等：导向矢量不确定集约束的稳健Ｃａｐｏｎ波束形成算法　２０３　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００１，４９（６）：１１３８—１１４５．　ｒ４］　Ｅｌｎａｓｈａｒ　Ａ，Ｅｌｎｏｕｂｉ　Ｓ　Ｍ，Ｅ１一Ｍｉｋａｔｉ　Ｈ　Ａ．Ｆｕｒｔｈｅｒ　Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　Ｗｉｔｈ　Ｏｐｔｉｍｕｍ　Ｄｉａｇｏｎａｌ　Ｌｏａｄｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ａｎｔｅｎｎａｓ　Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ，２００６，５４（１２）：３６４７—３６５８．　［５］Ｌｉ　Ｊｉａｎ，Ｓｔｏｔｉｃａ　Ｐ，Ｗａｎｇ　Ｚｈｉｓｏｎｇ．Ｏｎ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｅｒ　ａｎｄ　Ｄｉａｇｏｎａｌ　Ｌｏａｄｉｎｇ　ＦＪＪ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００３，５１（７）：１７０２—１７１５．　Ｅ６－］Ｌｉ　Ｊｉａｎ，Ｓｔｏｔｉｃａ　Ｐ，Ｗａｎｇ　Ｚｈｉｓｏｎｇ．Ｄｏｕｂｌｙ　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ｃａｐｏｎ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｅｒ　ＦＪ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００４，５２（９）：２４０７—２４２３．　［７３　Ｖｏｒｏｂｙｏｖ　Ｓ　Ａ，Ｇｅｒｓｈｍａｎ　Ａ　Ｂ，Ｌｕｏ　Ｚｈｉｑｕａｎ．Ｒｏｂｕｓｔ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　Ｕｓｉｎｇ　Ｗｏｒｓｔ－ｃａｓｅ　Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ：ａ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｍｉｓｍａｔｃｈ　Ｐｒｏｂｌｅｍ［刀．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００３，５１（２）：３１３—３２４．　［８３　Ｏｈ　Ｊ　Ｓ，Ｋｉｍ　Ｓ　Ｊ，Ｈｓｉｕｎｇ　Ｋ　Ｌ．Ａ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｌｙ　Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｖａｒｉａｎｃｅ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ［Ｃ］／／　Ｖｅｈｉｃｕｌａｒ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　２００５，ＩＥＥＥ：Ｖｏｌ　２．Ｓｔｏｃｋｈｏｌｍ：ＩＥＥＥ，２００５：１１６２－１１６５．　［９３　ｓｈａｈｂａｚｐａｎａｈｉ　ｓ，Ｇｅｒｓｈｍａｎ　Ａ　Ｂ，Ｌｕｏ　Ｚｈｉｑｕａｎ，ｅｔ　ａ１．Ｒｏｂｕｓｔ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　ｆｏｒ　Ｇｅｎｅｒａｌ－ｒａｎｋ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｍｏｄｅｌｓ　口］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００３，５１（９）：２２５７—２２６９．　［１０］Ｒｏｂｅｒｔ　Ｇ　Ｌ，Ｓｔｅｐｈｅｎ　Ｐ　Ｂ．Ｒｏｂｕｓｔ　Ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｖａｒｉａｎｃｅ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００５，５３　（５）：１６８４－１６９６．　［１１］Ｃｅｓａｒ　Ｃ　Ｇ，Ｉｇｎａｃｉｏ　Ｓ，Ｊａｖｉｅｒ　Ｖ，ｅｔ　ａ１．Ｒｏｂｕｓｔ　Ａｒｒａｙ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　ｗｉｔｈ　Ｓｉｄｅｌｏｂｅ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｕｓｉｎｇ　Ｓｕｐｐｏｒｔ　Ｖｅｃｔｏｒ　Ｍａｃｈｉｎｅｓ　［Ｊ３．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００７，５５（２）：５７４—５８５．　［１２］Ｍｕｔａｐｃｉｃ　Ａ，Ｋｉｍ　Ｓ　Ｊ，Ｂｏｙｄ　Ｂ．Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　ｗｉｔｈ　Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　Ｗｅｉｇｈｔｓ叨．ＩＥＥＥ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｌｅｔｔｅｒ，２００７，１４（５）：　３４８—３５１．　［－１　３］Ｃｈｅｎ　Ｃ　Ｙ，Ｖａｉｄｙａｎａｔｈａｎ　Ｐ　Ｐ．Ｑｕａｄｒａｔｉｃａｌｌｙ　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ａｇａｉｎｓｔ　Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ－ｏｆ－Ａｒｒｉｖａｌ　Ｍｉｓｍａｔｃｈ　［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００７，５５（８）：４１３９—４１５０．　［１４］Ｅｌｄａｒ　Ｙ　Ｃ，Ｎｅｈｏｒａｉ　Ａ，Ｌａ　Ｒｏｓａ　Ｐ　Ｓ．Ａ　Ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｖｅ　Ｍｅａｎ－Ｓｑｕａｒｅｄ　Ｅｒｒｏｒ　Ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ￣Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００７，５５（１１）：５１４３—５１５４．　（编辑：高西全）　（上接第１８５页）　［－１１］　Ｚｈａｎｇ　Ｙｉｎｇｊｕｎ，Ｌｅｔａｉｅｆ　Ｋ　Ｂ．Ａｎ　Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　Ｒｅｓｏｕｒｃｅ　Ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ　Ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　Ｓｐａｔｉａｌ　Ｍｕｌｔｉｕｓｅｒ　Ａｃｃｅｓｓ　ｉｎ　ＭＩＭＯ　ＯＦＤＭ　Ｓｙｓｔｅｍｓ叨．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｃｏｍｍｕｎ，２００５，５３（１）：１０７—１１６．　［－１２］Ｗａｎｇ　Ｃ，Ｍｕｒｅｈ　Ｒ　Ｄ．Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｄｏｗｎｌｉｎｋ　Ｍｕｌｔｉ—ｕｓｅｒ　ＭＩＭＯ　Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｆｏｒ　Ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ　Ｃｈａｎｎｅｌｓ　ｗｉｔｈ　Ｉｍｐｅｒｆｅｃｔ　ＣＳＩ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　Ｃｏｍｍｕｎ，２００６，５（９）：２４３５—２４４６．　［１３］庞继勇，李建东，杨克虎．相关信道下ＭＩＭＯ－ＯＦＤＭ系统的各态历经容量公￣ｌ－Ｊ］．西安电子科技大学学报，２００６，　３３（４）：５６３—５６７．　Ｐａｎｇ　Ｊｉｙｏｎｇ，Ｌｉ　Ｊｉａｎｄｏｎｇ，Ｙａｎｇ　Ｋｅｈｕ．Ｅｒｇｏｄｉｃ　ＭＩＭＯ　Ｃａｐｃｉｔｙ　Ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ＭＩＭＯ－ＯＦＤＭ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｕｎｄｅｒ　Ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ　Ｆａｄｉｎｇ　Ｃｈａｎｎｅｌｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉｄｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００６，３３（４）：５６３—５６７．　（编辑：高西全）