2012年高考北京卷理科数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答

无

效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合AxR|3x20，BxR|x1x30，则A

A．，1

2B．1，

3B（ ）

2C．，3

3D．3，

0≤x≤2，2．设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离

0≤y≤2大于2的概率是（ ）

A．

π 4 B．

π2 2 C．

π 6 D．

4π 43．设a，“a0”是“复数abi是纯虚数”的（ ） bR．

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

开始k=0,S=14．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

5．如图，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则（ ）

A．CECBADDB B．CECBADAB C．ADABCD2 D．CEEBCD2

k=k+1S=S∙2kk<3否输出S结束是----完整版学习资料分享----

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CEADB

6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）

7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

A．2865 B．3065 C．56125 D．60125 8．某棵果树前n前的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为（ ）

A．5 B．7 C．9 D．11

第二部分（非选择题 共110分） ----完整版学习资料分享----

O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11nA．24 B．18 C．12 D．6

4234侧（左）视图俯视图正（主）视图Sn资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

x2tx3cos9直线（t为参数）与曲线（为参数）的交点个数为 ．

y1ty3sin10．已知an为等差数列，Sn为其前n项和．若a11，S2a3，则a2 ． 2111．在△ABC中，若a2，bc7，cosB，则b ．

412．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点

A 在x轴上方，若直线l的倾斜角为60．则△OAF的面积为 ．

13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为 ；

DEDC 的最大值为 ．

14．已知fxmx2mxm3，gx2x2．若同时满足条件：

①xR，fx0或gx0； ②x，4，fxgx0， 则m的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）

已知函数fxsinxcosxsin2x．

sinx（1）求fx的定义域及最小正周期； （2）求fx的单调递增区间． 16．（本小题共14分）

如图1，在Rt△ABC中，C90，BC3，AC6．D，EAA1MDEDC图1C图2EB分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使ACCD，如图2. 1（1）求证：A1C平面BCDE；

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； （3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

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17．（本小题共13分）

近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，

并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 “厨余垃圾”箱 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60 （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，其中a0，b，c，，并求此时s2的b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明）abc600．当数据a，值．

221（求：s2x1xx2xn

2xnx，其中x为数据x1，x2，…，xn的平均数）

18．（本小题共13分）

已知函数fxax21a0，gxx3bx．

（1）若曲线yfx与曲线ygx在它们的交点1，c处具有公共切线，求a，b的值； （2）当a24b时，求函数fxgx的单调区间，并求其在区间，1上的最大值．

19．（本小题共14分）

已知曲线C:5mx2m2y28mR

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线ykx4与曲线C交于不同

的两点M，N，直线y1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．

20．（本小题共13分）

设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记

Sm，n为所有这样的数表构成的集合．

对于ASm，n，记riA为A的第i行各数之和1≤i≤m，cjA为A的第j列各数之和

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1≤j≤n；记kA为|r1A|，|r2A|，…，|rmA|，|c1A|，|c2A|，…，|cnA|中的最小值．

（1）对如下数表A，求kA的值；

1 1 0.8 1 0.1 3形如 （2）设数表AS2，1 a 0.3 1 c b 1 求kA的最大值； （3）给定正整数t，对于所有的AS2，2t1，求kA的最大值．

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答案

一、选择题 题号 答案 二、填空题

题号 答案 三、解答题 15． 解： f(x)(sinxcosx)sin2x(sinxcosx)2sinxcosx2(sinxcosx)cosx

sinxsinxπsin2x1cos2x2sin2x1，x|xkπ，kZ

41 D 2 D 3 B 4 C 5 A 6 B 7 B 8 C 9 2 10 11 4 12 3 13 1；1 14 n2n1； 44，2 （1）原函数的定义域为x|xkπ，kZ，最小正周期为π．

3ππ（2）原函数的单调递增区间为kπ，kπkZ，kπ，kπkZ

88

16． 解： （1）

CDDE，A1EDE

DE平面ACD， 1又

， A1C平面ACD1A1CDE

又ACCD， 1A1C平面BCDE

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zA1 (0,0,23)ME (-2,2,0)yB (0,3,0)D (-2,0,0)C (0,0,0)x

（2）如图建系Cxyz，则D2，0，0，A0，3，0，E2，2，0 0，23，B0，∴A1B0，3，23,A1E2，1，0 设平面A1BE法向量为nx，y，z

3zy3y23z0A1Bn02则 ∴ ∴

2xy0xyA1En02∴n1，2，3 又∵M1，0，3 ∴CM1，0，3 ∴cosCMn1342 2|CM||n|14313222∴CM与平面A1BE所成角的大小45

（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为0，a，0，则a0，3

则A1P0，a，23，DP2，a，0 设平面A1DP法向量为n1x1，y1，z1 3zay11ay123z106则 ∴

2xay0111xay112∴n13a，6，3a

假设平面A1DP与平面A1BE垂直 则n1n0，

∴3a123a0，6a12，a2

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资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

∵0a3

∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直 17．

（）由题意可知：（）由题意可知：

4002=6003200+60+403=

1000101（）由题意可知：s2(a2b2c2120000)，因此有当a600，b0，c0时，有s280000．

318． 解：

（）由1，c为公共切点可得：

f(x)ax21(a0)，则f(x)2ax，k12a， g(x)x3bx，则f(x)=3x2b，k23b，

2a3b

又f(1)a1，g(1)1b，

a11b，即ab，代入①式可得：（2）

a3． b3a24b，设h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1

1aa则h(x)3x22axa2，令h(x)0，解得：x1，x2；

42614aaa0，，

26aaaa原函数在单调递增，在单调递减，在，，，上单调递增

2626a2a①若1≤，即a≤2时，最大值为h(1)a；

42aaa②若1，即2a6时，最大值为h1

262③若1≥aa时，即a≥6时，最大值为h1． 62综上所述：

a2a当a0，2时，最大值为h(1)a；当a2,时，最大值为h1．

4219．

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x2y21 （1）原曲线方程可化简得：885mm2885mm2870由题意可得：，解得：m5

25m8m20（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k21)x216kx240，

=32(2k23)，解得：k23 2由韦达定理得：xMxN16k24①，，② xxMN222k12k1设N(xN,kxN4)，M(xM,kxM4)，G(xG，1)

MB方程为：y3xMkxM6，1， x2，则GxMkxM6AG3xM，1，ANxN，xNk2，

xk6M欲证A，G，N三点共线，只需证AG，AN共线 即

3xM(xNk2)xN成立，化简得：(3kk)xMxN6(xMxN)

xMk6将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证。 20． 解：

（1）由题意可知r1A1.2，r2A1.2，c1A1.1，c2A0.7，c3A1.8

∴kA0.7

（2）先用反证法证明kA≤1：

若kA1

则|c1A||a1|a11，∴a0 同理可知b0，∴ab0 由题目所有数和为0 即abc1 ∴c1ab1

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与题目条件矛盾 ∴kA≤1．

易知当ab0时，kA1存在 ∴kA的最大值为1 （3）kA的最大值为

2t1. t22t1首先构造满足k(A)的A{ai,j}(i1,2,j1,2,...,2t1)：

t2t1， a1,1a1,2...a1,t1,a1,t1a1,t2...a1,2t1t2a2,1a2,2t2t1...a2,t,a2,t1a2,t2...a2,2t11.

t(t2)经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

|r1(A)||r2(A)|2t1， t2t2t1t12t1|c1(A)||c2(A)|...|ct(A)|11，

t(t2)t2t2|ct1(A)||ct2(A)|...|c2t1(A)|1下面证明

t12t1. t2t22t12t1是最大值. 若不然，则存在一个数表AS(2,2t1)，使得k(A)x. t2t2由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中. 由于x1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x1.

设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设gh，则gt,ht1. 另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x1（即每个负数均不超过1x）. 因此

|r1(A)|r1(A)t1(t1)(1x)2t1(t1)xx2t1(t2)xx，

故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾. 因此kA的最大值为

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2t1. t2资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

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