数值分析简单习题

重点考察内容

第一章： 基本概念 第二章：

Gauss消去法，Lu分解法 第三章：

题型：具体题＋证明，误差分析

三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明

第四章：

掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数 第五章： 最小二乘法计算 第六章：

梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。 高斯求积公式的构造 第七章：

几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。 第九章：

基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章 误差

1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor展开近似计算函数f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作

3的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几4位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.

4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1） （3）

11x,12x1x|x|1 （2） x111,xx|x|1

1cosx,xx0,|x|1. （4） sinsin,

5. 采用下列各式计算(21)6时，哪个计算效果最好？并说明理由。

（1） 116 （2） （3） （4） 99702(322)63(21)(322)6. 已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：

xkx1、利用Taylor 展开公式计算 e，编一段小程序，上机用单精度计算e的函数

k0k!x值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分In In110xndx,n0,1,2,,20,有如下的递推关系 x60n11xxn(x6)6xn11dxdxIn1

0x6x6n6可建立两种等价的计算公式 (1) In116In1,取I00.154；1nIn),取I200. (2) In1（n6n来计算I1,I2,I3,I4,,I19，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章 插值法

1. 已知f(0)2,f(1)1，那么差商f[1,0]_________. 2. n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,,xn]__________________. 3. 由导数和差商的关系知，f[xi,xi]=__________________。

4. 已知函数f(x)在x3,1,4的值分别是4，6，9，试构造Lagrange插值多项式。 5.取节点x00,x11,x22, 对应的函数值和导数值分别为f(x0)1,

f(x1)2,f'(x1)2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f'(x2)2，插值多项式如何计算？)

6．已知f(0)1,f(1)2,f'(1)3,f(2)9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.

7. 设f(x)C4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件

p(xi)f(xi),p'(x1)f'(x1)i0,1,2

28. 设P1(x)是过x0,x1的一次插值多项式，f(x)C[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区

间。试证明：对任一给定的x[a,b]，在（a,b）上总存在一点，使得

R(x)f(x)P1(x)f()(xx0)(xx)1。 2!n9.证明关于互异节点{xi}in0的Lagrange插值基函数{li(x)}满足恒等式i0l0(x)l1(x)ln(x)1

上机习题：

1. 绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。

第三章 数据拟合

1. 数据拟合与插值的区别是什么？

2. 最小二乘原理是使偏差i的___________达到最小

3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如yabx2的多项式，使与下列数据相拟合

x y

19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 第四章 线性方程组的直接解法

1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。 2. 平方根法和LDLT分解法要求系数矩阵A满足______________。

3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。 4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？ 5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解

62（1） 。 34213。 457（2） 285152x11x13。 0436. 用列主元高斯消去法求解方程组 2206x33211x11x1。 6167. 用LU分解法解方程组 21027x32

上机实验题：

1. 编程实现列主元的高斯消去法 2. 编程实现LU分解法

第五章 线性方程组的迭代解法

1. 向量x(3,2,1,7)T，计算||x||1，||x||2，||x||.

312，计算||A||，||A||，||A||. 0102. A=21126203. A, 分别计算A的谱半径(A), 条件数cond(A)，||A||1 034. 矩阵A的范数与谱半径的关系为__________________________。

5. 求解AX=b的迭代格式x(k1)Bx(k)g收敛的充分必要条件____________________。 6. SOR迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。 7. 写出下面方程的Jacobi迭代格式

10x1x22x37x110x22x38 xx5x43128. 给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式是否收敛

5x15x2x325x12x37（1）  （2） 5x112x28

2x1x28xx5139. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组）

162x11326x2 2411x3410. 给定方程组

122x11111x2， 2221x31（1）分别写出Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式。 （2）证明Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散。

上机实验题：

10x1x22x371. 求解方程组：x110x22x38

xx5x4312以x(0)(1,1,1)T为初值，当||x(k1)x(k)||104时迭代终止。 (1) 编写Jacobi迭代法程序 (2) 编写Gauss-Seidel迭代法程序

第六章 数值积分与数值微分

1.f(x)dx的梯形求积公式是________，Simpson公式是_______，其代数精度分别为

ab_____，____。

2. n点Gauss求积公式的代数精度为___________.

3. 确定下列求积公式中的待定系统，使得求积公式的代数精度尽量的高，并指明代数精度 （1）f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

h1h1(2) f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]

13(3) f(x)dxA0f(0)A1f(1)B0f'(0)

014. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式、Gauss求积公式计算积分exdx，并估

11计各种方法的误差。

5. 写出f(x)dx二点和三点的Gauss-Legendre 求积公式.

116. 分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算下列积分.

x04xdx,11(n8)

17. 确定求积公式f(x)dxA0f()A1f(1)的求积公式，并求其代数精度。

028. 构造如下形式的Gauss求积公式： 101xf(x)dxA0f(x0)A1f(x1).

9. 构造如下形式的Gauss求积公式： f(x)dxA0f(x0)A1f(x1).

1

上机实验题：

1. 编程实现五点Gauss积分算法。

第七章 非线性方程与非线性方程组的解法

1. 求解非线性方程的根，牛顿法的收敛阶是________，割线法的收敛阶是____________. 2. 确定下列方程的有根区间 (1) 2x37x20 (2) exx20

13. 试用牛顿法和弦截法建立计算,(c0)的迭代格式。

c4．试建立计算5．建立计算a,1,(a0)的两种收敛的迭代格式。 a(a0)的牛顿迭代格式，并求10，保留4位有效数字。(迭代求解3次即可)

6. 用不动点迭代法计算2222的近似值.

17. 设初值x00, 计算,(a0)的迭代格式

axk1xk(2axk),k0,1,2,。

试证：（1）此迭代格式二阶收敛.

（2）此迭代格式收敛的充分必要条件为|1ax0|1. 上机实验题：

1. 用割线法求方程x32x210x200的根，要求|xk1xk|106

第八章 常微分方程初值问题的数值解法

y'xy1. 求解常微分方程的Euler公式为______________________, 其局部截断误差

y(0)1的阶数为_________，整体截断误差的阶数为__________.(设步长为h) 2. 应用向前欧拉格式求解初值问题

y'xy1,y(0)10x1

取步长h = 0.1，将计算结果与精确解yxex对照.