复变

一、 （21分,每题7分）

（1）求

(2)求解方程chz2;

(3)求所有具有形式uf(x2y2)的调和函数。

二、 计算积分（每题7分，共28分） 1） （2） （3） （4）

三、（15分）1.把sinLn(3i)的实部与虚部;

coszdz，积分曲线正向 3zz1z2dz，其中r1, 曲线正向 z(z1)zrsinx－2－2xx2dx

z2zz1ez2dz曲线正向

1在圆环0<| z |<+内展开为z的罗朗级数； z232.求函数tanz的麦克劳林级数(计算到z的系数)，并指出其收敛范围。

四、(16分)(1)求将区域z|0argz/3映为W平面上的单位圆内部的保角映射

WW(z)，且W(1i)=0,W(1i)0。

(2)求将单位圆内映为单位圆内的保角映射w=w(z)，且w(1/2)1/2,w(1/2)0。

五、（14分）求下列函数的拉普拉斯变换:

1)f(t)t t 0etsind,求Laplace变换L[f(t)]；

es2)设F(s)2，求Laplace逆变换L1[F(s)]。

s(s1)

z六、（6分）证明：limedz0；其中c:zRei 0/4。

R c2《复变函数与积分变换》07–08学年春学期考试

一． （21分,每题7分）

（1）求

(2)已知

1i320的实;

f(z)u(x,y)iv(x,y)为解析函数，证明

xux,yyvx,y是调和函数。

（3）找出函数 f(z) 二．

计算积分（每题7分，共28分）

1）zRez dz 其中C是从1 到 1的上半单位圆

1的孤立奇点，并求出其留数

sin2zz11c

sinzez（2）dz，积分曲线正向 4zz1 （3）

z1dz，积分曲线正向 (z1)coszz2 （4）

 0tanid

三．

（15分）1. 求ez2cosz2的在z0处展开的台劳级数，并指出其收敛半径；

2.求函数cos 四．

z 在圆环0<| z+1 |<+内的罗朗级数。 z1(16分)(1) 求将区域

z|z12,z12映为W平面上的单位

圆内部的保角映射W

W(z)，且W(0)=0。

(2) 求将单位圆内映为单位圆内的保角映射w=w(z)，且

w(1/2)1/2,

w(1/2)0。

五． 1)

2s1sF(s)eln2) 设，求 Laplace逆变换L1[F(s)]。 2s2s2

（14分）求下列函数的拉普拉斯变换:

t 0f(t)te2tcosd,求 Laplace变换L[f(t)]；

六．

（6分））设级数

n02cn收敛，

nn02cn发散,证明：

ncznn0n的收敛半径R=2。

《复变函数与积分变换》07–2008学年冬学期B

一． （28分,每题7分）

（1）把复数3i用指数形式表示;

(2)求解方程shz2i;

22x (3)已知f(z)u(x,y)iv(x,y)为解析函数，且xuyvxyecosy,求

f(z)。

1z1（4）找出函数f(z)e1的孤立奇点，并求出其留数

z

二．计算积分（每题7分，共21分）

1）zImz dz其中C是从原点0 到 1i的直线段

c

z21dz，积分曲线正向 （2）zcoszz2 （3）

三．（15分）1.求

2.求函数

四．(16分)(1)求将区域z|0argz/4且z2映为W平面上的上半平面的保角映

射。

(2)求将单位圆z|z1}映为W平面上的单位圆的保角映射w，且w(1/2)1/2， +sinxdx xi2z1的在zzz21处展开的台劳级数，并指出其收敛半径；

13在圆环0<| z |<内的罗朗级数(计算z到z的系数)。 sinzargw(1/2)/2。

五．（14分）求下列函数的拉普拉斯变换: 1)f(t)et t 0sin(t)d,求Laplace变换L[f(t)]；

es12)设F(s)，求Laplace逆变换L[F(s)]。 2(s1)s1

六．（6分））设f(z)在D{zzz0r}上解析，证明：

1(1).f(z0)2 2 0fz0reid；

(2). 若有f(z)fz0 zD，则fzfz0 zD。

《复变函数与积分变换》07–08夏

一． （21分,每题7分）

（1）设wk, k1,2,,n为方程za的n个根n1,求和

nwk1nk；

(2) 讨论函数f(z)r23rcos1irsin的可导性与解析性。

z21sin的孤立奇点，并求出其留数 （3）找出函数f(z)z2z二．计算积分（每题7分，共28分）

z2zzesinz1）dz积分曲线正向 zz1 cosx1dx （2），积分曲线正向（3）dzz x42x21e1z7（4）

z2lnz3z12dz

sinz3的在z0处展开的台劳级数(展开到z)，并指出其收敛半径；

cos2zz2.求函数ln在圆环1<| z1 |<+内的罗朗级数。

z12z四．(16分)(1)问映射W将区域z|z1i2 且 Imz0映为W平面上的

z三．（15分）1.求

什么区域。

(2) 求将单位圆内映为上半平面的保角映射ww(z),且w(1/2)i,w(1)0。 五．（14分）求下列函数的拉普拉斯变换: 1)f(t) tee 0scostd,求Laplace变换L[f(t)]；

，求Laplace逆变换L[F(s)]。

12)设F(s)ess12六．（6分）设fz在区域D内连续且积分与路径无关，证明：fz在D内解析。

待定

一. 计算（32分，每题8分） 1. 求ln(i1)(i1)i. 2. 计算积分

C1zdz，其中曲线C:zei，从n7z3dz，曲线正向.

z(z1)变到。 223. 计算积分

z24. 利用留数理论计算定积分

cosx(x21)(x29)dx..

二．（8分）利用留数理论证明

0sin2nd(2n)!(2n!)n2.

三.（10分）设函数f(z)my3nx2yi(x3xy2)是全平面的解析函数，应用柯西一黎曼

方程（1）求，m，n的值；（2）求f(z).

四.（10分）把函数f(z)1z(z1)22在环域：（1）0z1；（2）1z中展开成罗

朗级数；并指出Resf(z);0的值.

五.（15分）（1）证明拉氏变换的时移性质，即证明：若Lf(t)F(s)，则对于t00，有

Lf(tt0)est0F(s).

（2）应用时移性质求函数f(t)sin(t2)（实数）的拉氏变换.

t2sinat（a实数）的拉普拉氏变换。 （3）求函数2a六. （15分） 1、 映射zi变区域Dxiyx0,y0为什么区域？说明理由. zi2、 求将区域Dz;argz0保角地映射为W平面上区域Dw;w11的任

8意一个映射.

七. （10分）设f(z)在单连通区域D内除点z0外解析，在z0点近旁有f(z)Mzz0这里常数M0,(0,1)，证明：对于D内包含z0的任何简单闭曲线C，有

，

Cf(z)dz0.