高中数学不等式经典练习题1(含答案)

【编著】黄勇权

一、选择题

1、若a∈R，下列不等式恒成立的是（ ）

1aa-1

A、a²+1≥ a B、a²+4＞4a C、 ＞1 D、2 ＞2

a2、已知x＞y＞0，若x+y=1，则下列数中最大的是（ ） 1x+yA、 B、 C、2xy D x²+y² 223、a∈R，b∈R，若a²+b²=1，则a+b（ ） A、 有最小值 - 2 B、有最小值-1 C、 有最小值 2 D、有最小值1

4、a，b为任意实数，若a＞b，则有（ ）

A、 a²＞b² B、（a-1 ）²＞（b-1）²

C 、丨a-1丨＞ 丨b-1丨 D、2a-1＞2b-1

5、实数a，b＞0，则

ab的最大值是 。 abA、 1 B、 2 C、 3 D、 2

6、已知 x＞0，y＞0，z＞0，若 x+y+z= 3，则 xy+xz+yz 的最大值是 。

A、3、 B、 3 C、 2 D、 1

7、已知a，b，c∈R，若a＞b，以下不等式成立的是（ ）

A、 ac＞bc B、 a³＞b³

C、

1111 D、2＞2 ＞a1b1ab8、实数a≥1，b≥0，若3a²+6a+2b²=3，则（a+1）3b21的最大值 。 A、 2 B、 3 C、

55

2 D、 3 32

9、已知a、b为正实数，且满足2ab=2a+b+3，则a+

b的最小值是 。 2A、 1 B、 3 C、 4 D、6

10、已知x，y，z为正数，若ab+bc+ca=1，则a+b+c的最小值是

A、 2 B、 3 C 、2 D 、3

二、填空题

14

1、已知实数x，y满足 + = 2 xy ，则xy则最小值是 。

xy2、已知m＞0，n＞0，且m+n=1，则（

11

- 1）（ - 1）的最小值是 。 m²n²

3、函数y=x+ 2-x 的最大值是 。 4、已知x、y为正数，若2x+3y=4，则

35

+ 的最小值是 。 2x3y

5、函数f（a）=a1- a² 的最大值是 。 22

6、m、n均为正数，若 + = 1，则mn最小值是 。

mn

7、已知x，y，z为正数，若3x+2y+z=2，则9x²+4y²+z²的最小值 。

134

8、x+2y= ，则 + 的最大值是 。

42x3y

111

9、已知a、b、c为正实数，若a+b+c=1则 + + 的最小值为 。

abc10、已知x，y，z为实数，若x²+y²=2，y²+z²=3，z²+x²=3.则xy+yz+zx的最大

值为 。

三、解答题

1、已知x，y，z∈+R，若xyz=1， 111

证明： + + ≤ x²+ y² +z²

xyy

11

2、已x、y∈R，求（6x²+ ）（ +4y²）的最小值。

2y²3x²

3、已知a，b，c∈+R，若abc=1，求（a+b）³+（b+c）³+（c+a）³的最小值

不等式 经典练习题

【答案】

一、选择题

1、选D

选项A，a²+1＞a，但a²+1≠a 故A错误

选项B，当a=0时，a²+4=4a，故B错误

1

选项C 当a为负数， ＞1肯定不成立，故C错误。

a选项D 因为2＞1，故2是增函数 又因为a＞a-1 故D正确

综上，选D

2、选D

解，已知x＞y＞0 因为x+y=1 ， 所以，

x+y1

= -----------------① 22

x

由基本不等式知，1=x+y≥2 xy 即2 xy≤1 4xy≤1

1

2xy≤- -------------------②

2

1

又x²+y²≥ ------------------ ③

2

由①②③知，x²+y²最大，

故选D

3、选A 解：

因为2ab≤a²+b²

两边同时加上a²+b²，得 a²+b²+2ab≤2（a²+b²）

（a+b）²≤2·1 （已知a²+b²=1） - 2≤a+b≤ 2

所以选A

4选D

用举例法：

选项A，当a=0.1，b= -10，a²=0.01，b²=100，不满足a²＞b²，所以A错误 选项B，当a=0.1，b= -10，（a-1）²=（-0.9）²=0.81，（b-1）²=（-11）²=121

不满足（a-1 ）²＞（b-1）²，所以B错误

选项C 当a=0.1，b= -10，丨a-1丨=0.9，丨b-1丨=11

不满足丨a-1丨＞ 丨b-1丨 ，所以C错误

选项D 当a=0.1，b=-10， 2a-1= -0.8 2b-1= -21 满足2a-1＞2b-1， 所以D正确 故选D

5、选B 解： 令t=

ab ab两边同时平方，得t²=

ab2ab

ab2ab ---------① ab=1+

因为 2ab ≤（a+b）

2ab≤1-----------------------② ab把②代入 ①，得t²≤1+1=2 所以，t≤2

故选B

6选A

由基本不等式得，x²+y²≥2xy

y²+z²≥2yz z²+x²≥2zx

三式相加，得 2x²+2y²+2z²≥2xy+2yz+2xz

两边同时除以2，即：x²+y²+z²≥xy+yz+xz

两边同时加上2xy+2yz+2xz，得

x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz≥3（xy+yz+xz） （ x+y+z）²≥3（xy+yz+xz）----------① 又已知：x+y+z= 3 所以，①式可写为； 3²≥3（xy+yz+xz） 3≥xy+yz+xz

所以，xy+xz+yz 的最大值是3. 故选A

7选B 用举例法

选项A，当a=0.1，b= -10，c=-1

ac =-0.1 ，bc=10，不满足a²＞b²，所以A错误 选项B，当a=0.2，b=0.1，a³=0.08，b³=0.01

满足 a³＞b³ ，所以B正确 111选项C 当a=1，b= -0.9，=， =10

a111b111 ，所以C错误 ＞a1b1111选项D 当a=10，b=-1， 2= 2=1

a100b11 不满足2＞2， 所以D错误

ab故选B

8、选C 解：

因为3a²+6a+2b²=3

2203（a²+2a+1）+（3b²+1）=

33不满足

9（a+1）²+2（3b²+1）² =20 等号左右两边的式子互换，

即，20=9（a+1）²+2（3b²+1）² ≥6 2（a+1）3b²+1 所以，（a+1）3b²+1≤故选C

9.选B, 解：

因为a、b为正实数

所以 2a+b≥ 22ab

5

2 3

两边同时除以2，

b得a+≥2ab

2两边同时平方

b得，（a+）²≥2ab （已知2ab=2a+b+3，故将右边的2ab替换为2a+b+3）

2b即，（a+）²≥2a+b+3-------------------①

2b令a+=t（t＞0），那么①式变为，t²≥2t+3

2

整理得，（t+1）（t-3）≥0

解得，t≤-1（因为t＞0，舍去） 所以，t≥3

b故，a+的最小值是3.

2所以，选B

10、选B

因为a²+b²≥2ab

b²+c²≥2bc c²+a²≥2ca 三式相加，得

2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca 同时除以2

a²+b²+c²≥ab+bc+ca

两边同时加上2ab+2bc+2ca，得

a²+2ab+b²+2bc+c²+2ca≥3（ab+bc+ca） （a+b+c）²≥3·1（已知ab+bc+ca）=1） 同时开方 a+b+c≥ 3 故选B

二、填空题

1、解

要使2 xy有意义，xy＞0 即x,y同时为正或同时为负。 14

又 + 为正，故x,y只能同时为正。 xy14

所以， + ≥2 xy

4

= 4 xy

1

-------------① xy

1414

已知 + =2 xy，所以将①左边的 + 替换为2 xy

xyxy故，2 xy ≥ 4 即：xy≥2

所以xy则最小值是2

1 xy

2、解

因为m＞0，n＞0

m+n≥2 mn （已知m+n=1）

所以，2 mn≤1

1

mn≤ （两边同时平方）

21

mn≤

4

所以 ：

1

≥ 4--------① mn

1

≥16-------② m²n²

（

1111111 - 1）（ - 1）= -（ +）+1 ≥ -2 （ ）²+1 m²n²m²n²m²n²m²n²mn

将① ②代入原式≥16- 2·4 +1 = 9

故：（

3、解

2-x的定义域为 x≤2 x + 2-x

= -（2-x）+ 2-x +2 令 2-x =t （t≥0） 则y= -t² +t +2 19

= -（t- ）² +

24因为t≥0，

11 - 1）（ - 1）的最小值是9 m²n²

9

所以y有最大值

49

故，x+ 2-x的最大值是

4 4解

353454

+ = · + · （因为2x+3y=4，所以将4替换成2x+3y） 2x3y8x12y32x+3y52x+3y = · + ·

8x12y

3y5x

= （2+ 3 ） + （ 2 + 3）

8x12y39y5y5

= + · + · +

48x6x49y5y

= 2+ · + ≥ 2 +2 8x6x354+ 15

所以， + 最小值是

2x3y2

5、解

1- a²的定义域为 -1≤a≤1

当-1＜a＜0， f（a）为负数，没有最大值

当0＜a＜1，a ，1- a² 均为正数，故f（a）有最大值。 a² +（1- a²）²≥2a1- a² a²+（1-a²）≥2a1- a² 1≥2a1- a² 1

即a1- a²≤ 2

95× 86

xy4+ 15

× = yx2

1

故，f（a）= a1- a²的最大值是

26、 22

1= + ≥2mn1≥411≥ 16mn

所以，mn≥16

故mn的最小值是16 7、 解：

因为x，y，z为正数 所以，9x²+4y²≥ 12xy 两边同时加上9x²+4y²

得2（9x²+4y²）≥ 9x²+4y²+12xy---------① 同理：

2（4y²+z）²≥ 4y²+ z²+4yz-------------②

2（9x²+z）²≥ 9x²+z²+6xz--------------③ ① ② ③相加，得

4（9x²+4y²+z²）≥（9x²+4y²+z）+[（9x²+4y²+z²）+12xy+4yz+6zx]

两边同时减去（9x²+4y²+z）

3（9x²+4y²+z²）≥（3x+2y+z）²（已知3x+2y+z=2） 4

所以：9x²+4y²+z²≥

34

故，9x²+4y²+z²的最小值是

38、解

114434121611

解： + = · （ ） + ·（）（因为x+2y= ，将替换成x+2y）

2x3y2 x 3 y 44

1

m n

22× mn

=6·（1+

2y16x

）+ ·（2+） x3y

5012y16x50

= +（ + · ）≥ + 16 3x3y33498

故， + 的最大值

2x3y319、【方法1】因为 +a ≥ 2

a1

即： +a ≥2

a11

同理： +b ≥2 , +c ≥2

bc三式相加得，

111

（ + + ）+（a+b+c）≥6 abc111

而 a+b+c=1 故 + + ≥ 5

abc111

所以， + + 有最小值5

abc

1

a× =2

a

其实，这是错误的

【方法2】 因为a+b+c=1，

111

所以将其带入 + +

abca+b+ca+b+ca+b+c

则有：+ +

abcbcacab

= 1+ + + 1 + + + 1+ +

aabbccbacacb=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）

abacbc

≥3+2+2+2=9

111

即： + + ≥ 9

abc111

答案 + + 最小值为9

abc 10、 解，

【方法1】

因为2=x²+y²≥2xy

3=y²+z²≥2yz 3=z²+x²≥2zx 三式相加，

8≥2（xy+yz+zx） 4≥xy+yz+zx

即xy+yz+zx的最大值是4 其实，方法1是错误的。

【方法2】

x²+y²=2----------------① y²+z²=3----------------② z²+x²=3----------------③

① -②，得 x²-z²=-1----④ ③ +④，得，x²=1 x=±1 将x²=1代入②，得y²=1 y=±1 将x²=1代入③，得z²=2 xy+yz+zx的结果如下： x 1 1 y z xy+yz+zx 1 2 1+2 2 -1 2 -1 z=± 2

1 -1 - 2 -1 -1 1 2 -1 -1 -1 2 1-2 2 -1 -1 - 2 1+2 2 故，xy+yz+zx的最大值是1+2 2

三、解答题

1、

证明：因为xyz=1

111

+ + （因为xyz=1，将1替换为zxy） xyzxyzxyzxyz= + + xyz

=yz+xz+xy ------------------------------①

x²+ y² ≥2xy z²+ y² ≥2yz x²+ z² ≥2xz

三式相加，得，2（x²+ y²+z²）≥2（xy+yz+xz）

即：x²+ y²+z²≥xy+yz+xz------------②

由① ②得，xy+yz+xz≤x²+ y²+z² 111

即 + + ≤x²+ y²+z² xyz故得证 2、

解，由柯西不等式得， （6x²+ （6x²+

11）（ +4y²）的最小值是8 2y²3x²

1111）（ +4y²）≥（ 6x· + · 2y）²=（ 2 + 2）²=8 2y²3x²3x2y

3、解

3

（a+b）³+（b+c）³+（c+a）³≥3 （a+b）³· （b+c）³· （c+a）³

=3（a+b）· （b+c）· （c+a）------① 又，a+b≥2 ab c+b≥2 cb a+c≥2 ac 三式相乘，得，（a+b）· （b+c）· （c+a）≥8abc---------------②

由① ②得，（a+b）³+（b+c）³+（c+a）³≥24·1（已知abc=1）

即（a+b）³+（b+c）³+（c+a）³≥24

所以，（a+b）³+（b+c）³+（c+a）³的最小值为24。