〈常微分方程》应用题及问题详解

应 用 题（每题10分）

1、设f(x)在(,)上有定义且不恒为零，又f(x)存在并对任意x,y恒有

f(xy)f(x)f(y)，求f(x)。

2、设F(x)f(x)g(x)，其中函数f(x),g(x)在(,)内满足以下条件

f(x)g(x),g(x)f(x),f(0)0,f(x)g(x)2ex

（1）求F(x)所满足的一阶微分方程； （2）求出F(x)的表达式。

3xt2x3、已知连续函数f(x)满足条件f(x)fdte，求f(x)。

03

4、已知函数f(x)在(0,)内可导，f(x)0,limf(x)1，且满足

x1ex，求f(x)。 55、设函数f(x)在(0,)内连续，f(1)，且对所有x,t(0,)，满足条件

21f(xhx)hlimh0f(x)xt1f(u)dutf(u)duxf(u)du，求f(x)。

11xt6、求连续函数f(x)，使它满足7、已知可微函数f(t)满足

x10f(tx)dtf(x)sinxx。

f(t)1t3f(t)tdtf(x)1，试求f(x)。

2x18、设有微分方程 y'2y(x)， 其中(x)。试求在(,)内的连续函

0x1数yy(x)使之在(,1)和1,内部满足所给方程，且满足条件y(0)0。

9、设位于第一象限的曲线yf(x)过点交点为Q，且线段PQ被x轴平分。 （1）求曲线yf(x)的方程；

（2）已知曲线ysinx在[0,]上的弧长为l，试用l表示曲线yf(x)的弧长s。

10、求微分方程xdy(x2y)dx0的一个解yy(x)，使得由曲线yy(x)与直线

21,，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的22x1,x2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。

11、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为

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33,，求L的方程。 2212、设曲线L的极坐标方程为rr(),M(r,)为L上任一点，M0(2,0)为L上一定点，若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的

A，已知|MA||OA|，且L过点一半，求曲线L的方程。

13、设y1x和y2xlnx是二阶齐次线性方程 y\"p(x)y'q(x)y0 的两个解，求

p(x),q(x)以及该方程的通解。

14、设对任意x0，曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于

1xf(t)dt，求f(x)的一般表达式。 0x

15、设函数f(x),g(x)满足f'(x)g(x),g'(x)2ef(x)，且f(0)0,g(0)2，求

x0g(x)f(x)1x(1x)2dx。 

16、设函数yy(x)在(,)内具有二阶导数，且y'0，xx(y) 是yy(x)的反

dxd2x函数。（1）试将xx(y)满足的微分方程 2(ysinx)变换为yy(x)0，

dydy所满足的微分方程；

（2）求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,17、已知连续函数

满足

3y'(0)3的解。 2.

，求

解：设u=tx，则原式化为即

由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导

所求函数为

对上式两端关于x求导，得一阶线性方程

x2 c为任意常数

18、.对于任意简单闭曲线L，恒有

2xyf(x2)dx[f(x2)x4]dy0

f(x).

L其中 f (x)在（,）有连续的导数，且f (0)=2.求19、设f (x)满足

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f(x)=f (1-x),求f(x)

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20、设,其中(x)为连续函数,求(x)

21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。

（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？

（2）如在3小时的时候，有细菌数10个，在5小时的时候有410个，那么在开始时有多少个细菌？

44 应 用 题 答 案

1、解： 首先从导数定义出发，证明f(x)处处可微，并求出f(x)与f(x)满足的关系，最后定出f(x)。

由于f(x)不恒为零，设f(x00)0，因而 f(x0)f(x00)f(x0)f(0)得到

f(0)1

又由f'(0)存在，对任意x有

f(xx)f(x)f(x)f(x)f(x) f'(x)limlimx0x0xxf(x)[f(x)1]limf(x)f(0) x0xdff(0)dx 由此可见f(x)处处可微且满足 f'(x)f(x)f'(0) 即 f解得

f(x)cef'(0)x

f'(0)x又由 f(0)1 所以 f(x)e

。

222、解：（1）F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)f(x)

[f(x)g(x)]22f(x)g(x)(2e2)22F(x)

2x于是F(x)满足一阶线性微分方程 y2y4e

（2）按一阶线性微分方程的通解公式，

2dxF(x)e2x4ee2dxdxCe2x4e4xdxCe2xCe2x

由 F(0)f(0)g(0)0 得 C1， 于是 F(x)e

2xe2x.

2x3、解：方程两端同时对x求导，得到 f(x)3f(x)2e 由题设知道 f(0)0e1。

2xy3y2e故令 f(x)y 即得 

y1x03dx3dxe3xC2exdxCe3x2e2x 2xyeC2eedx由 yx01 得到 C3

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于是 f(x)3e

4、解：设y3x2e2x.

1hf(xhx)1f(xhx)lnyln， 则 . hf(x)f(x)1f(xhx)x[lnf(xhx)lnf(x)]limx[lnf(x)]， 因为 limlnylimlnh0h0hh0f(x)hx故

f(xhx)x[lnf(x)]lime. h0f(x)x[lnf(x)]1x1h由已知条件得 ee1x，因此 x[lnf(x)]11，即 [lnf(x)]2. xx解之得 f(x)Cex 。

由limf(x)1，得 C1。故 f(x)e。

1x

5、解：由题意可知，等式的每一项都是x的可导函数，于是等式两边对x求导，得

tf(xt)tf(x)f(u)du （1）

1t55，得 tf(t)tf(u)du， （2）

1225则f(t)是(0,)内的可导函数，（2）式两边对t求导，得 f(t)tf'(t)f(t)，

25即 f'(t)。

2t5上式两边求积分，得 f(t)lntC

2555由f(1)，得C。于是 f(t)(lnt1)。

222t在（1）式中令x1，由f(1)

6、解：令utx,duxdt，原方程变为 即

1xf(u)duf(x)xsinx 0x2x0f(u)duxf(x)x2sinx.

f'(x)2sinxxcosx

两边求导数，得到 f(x)f(x)xf(x)2xsinxxcosx

积分得 f(x)2cosxxdsinx2cosxxsinxcosxC

cosxxsinxC.

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7、解：首先从题设可求得 f(1)1， 方程两边求导得 记 yf(x) ，得 y'f(x)f'(x).

x3f(x)xy 考虑 xx(y)，方程可化为伯努利方程

x3yxdx1xx3 且 yx11 dyy令 ux2du2x3dx

du2u2 dyy222C2ydyydy1uedy2Cy32y C2e3y3y1C2f2(x)23f(x)C. 变量还原得 22y 或者

x3xy35又因为f(1)1，代入上式可得C=。

3f2(x)235f(x). 即 x33

8、解：当x1时， y2y2

C2e2dxdxe2xC2e2xdxCe2x1 x1 1112x(x1) 由 y(0)0 代入得 C11 所以 ye1当 x1 时 y2y0

ye2dx通解为 yC2e2dxC2e2x(x1)

2xx10由 x1 处y(x)是连续的 limC2e222所以 C2ee1 C21e.

C2e2lim(e2x1)e21.

x10于是若补充函数值 yx1e1 ，则得到(,)上连续函数是所求的函数

2e2x1y(x)22x(1e)e是所求的函数。

x1x1

9、解：（1）曲线yf(x)在点P(x,y)处的法线方程为 Yy为法线上任意一点的坐标，令X0，则 Yy1(Xx)，其中(X,Y)yx， y'文案大全

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故Q点坐标为

x0,yy'。由题设知

yyx0， 即 2ydyxdx0。 y'22积分得 x2yC（C为任意常数）。 由 y2x2122 知 C1 ，故曲线yf(x)的方程为x2y1(x0,y0)。 2（2）曲线ysinx在[0,]上的弧长为 l2201cos2xdx.

xcos,曲线 yf(x) 的参数方程为 2ysin2故其弧长为

202,

11222 s2sincosd1sind00221012221cost(dt)1cosd 0222(令2t)

112l. 24210、解：原方程可以改写为一阶线性方程

dy2y1， dxx22dx1xdx2x应用其通解公式得 yeCedxxCdxCx2x 2x2由yCxx,x1,x2,y0所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体

273121522体积为 V(C)(xCx)dxCC

123517756262C0 解得驻点C0由 V'(C)，由于V''(C)0，故52124575752是唯一的极小值点，因而也是最小值点，于是得所求曲线为yx C0x。124124

11、解：设点M的坐标为由切线MA的方程为 Yyy(Xx)

令 X0，则Yyxy'，故点A的坐标为 (0,yxy') 由 |MA||OA|，有 |yxy'|化简后得 2yy'(x0)2(yyxy')2 12yx。 x文案大全

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dzzx。 dxx11dxdxxx解得 zedxCx(xC)。 xe22即 yxCx 。

令 zy，得

2由于所求曲线在第一象限内，故 yCxx2。 再以条件 y 代入得 C3。于是曲线方程为

3232y3xx2

12、解：由已知条件得

(0x3).

12122rdrr'd， 0022r2r'2， 即 r'rr21，

2两边对求导得 r从而 因为

drrr1dr2d。

11arcsinC， 所以 arcsinC rr21rr1。 由条件r(0)2，知C，故所求曲线L的方程为 rsin66

1,y10,y2lnx1,y213、解：由 y11；分别代入方程得到 xp(x)xq(x)01p(x)(lnx1)q(x)xlnx0x11 (1)lnx(2) 得 p(x) 即 p(x)xx11把 p(x) 代入（1）式得 q(x)2

xx11所以原方程为 yy2y0

xx又由于y1/y2lnx不为常数，y1,y2 是齐次方程的基本解组 原方程的通解为 yc1xc2xlnx。

(1)(2)

14、解：曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线方程为过 Yf(x)f'(x)(Xx)

令 X0，得截距 Yf(x)xf'(x)。

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x1x由题意，知 f(t)dtf(x)xf'(x)， 即 f(t)dtx[f(x)xf'(x)]，

0x0d上式对x求导，化简得 xf\"(x)f'(x)0， 即 (xf'(x))0。

dx积分得 xf'(x)C1， 因此 f(x)C1lnxC2（其中C1,C2为任意常数）。

15、解：（解法一）由是f'(x)g(x) 得 f\"(x)g'(x)2ef(x)，于是有

xf\"(x)f(x)2ex,x 解之得 f(x)sinxcosxe。 f(0)0,f'(0)2,g(x)g(x)(1x)f(x)f(x)又 dxdx 2201x0(1x)(1x)f'(x)(1x)f(x)f(x)dx

001x(1x)2f(x)f()1ex f(0)1x011（解法二）同解法，得 f(x)sinxcosxe 又

x0g(x)g(x)f(x)1 dxdxf(x)d1x(1x)201x01xf'(x)g(x)1dxf(x)dx

01x01x01xg(x)g(x)f()f(0)dxdx0011x1x x1e1

16、解：（1）由反函数的求导公式

dx1dx 得 y'1。 dyy'dydxd2x(y)20 两端关于x求导，得 y2dydydxyd2xydy由此得到 2。 23dy(y)(y)代入原微分方程得 yysinx。 （*）

xx（2）方程 yy0 的通解为 YC1eC2e。

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设方程（*）的特解为 yAcosxBsinx，

11，故 ysinx， 221xx从而方程（*）的通解是 yC1eC2esinx。

23由 y(0)0,y(0) 得 C11,C21。故所求值问题的解为

21yexexsinx。

2代入方程（*）求得A0,B

17、解：设u=tx，则原式化为

即

由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导

对上式两端关于x求导，得一阶线性方程f(x)111f(x)3x 所求函数为xdxdxf(x)ex(3xexdxc)cx3x2 c为任意常数

18、解：根据积分与路径无关的充要条件有

即

设x2=t 或

df(t)f(t)2t dt =

2由一阶线性方程的求解公式有

f(x)=cex2(x1) 由 f(0)=2得 2=c-2 c=4 f(x)=

19、解：由f(x)f(1x)知f(x)有二阶导数

在方程两端x对求导得

f(x)f(1x)f[1(1x)]f(x) 故有f(x)f(x)0。 从而有f(x)=c1cosx+c2sinx 代入方程，且比较系数有有原方程的通解为f(x)=0

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20、解:所给为

由上式知(x)可导，在两端求导得

即

再对上式两端求导，得(x)(x)e

x （1）

（2）

此方程的通解为 (x)=c1cosx+c2sinx+(1/2)ex 由 (1) 知(0)=1，故c1+(1/2)=1 ,c1=1/2 由 (2) 知(0)1，故c2+(1/2)=1 ,c2=1/2 (x)=1/2(cosx+sinx+ex)

dxkxxxekt0dt21、解：设t时，细菌数为x(t)，由题设有，。

（1）由（2）由

2x0x(4)x0ek4kxx0(2)x(12)x0(2)得e2，，

1414t14128x0。

。

104x(3)x0e3k,4104x(5)x0e5k解得

ek2,x01250 文案大全