高中数学三角函数知识点及例题

2010高中数学竞赛标准讲义：三角函数

一、基础知识

定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆

L心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=r,其中r是圆的

半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角

y的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=r,

xrxry.余弦函数cosα=r,正切函数tanα=x，余切函数cotα=y，正割函数secα=x,余割函数cscα=y

111定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=cot,sinα=csc，cosα=sec；商数关

sincos,cotsin；系：tanα=cos乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2

α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-=cosα, α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin2=sinα, cos2 聚优堂教育

=cotα（奇变偶不变，符号看象限）tan2。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间

32k,2k2k,2k22上为减函数，22上为增函数，在区间最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值1，当且仅当x=3k-2时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线

k,02均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当x=kπ均为其对称轴，点且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+2)在开区间(kπ-2, kπ+2)上为增函数,

最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+2，0）均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcos

(tantan).αsinβ; tan(αβ)=(1tantan)

定理7 和差化积与积化和差公式:

2sinα+sinβ=2sincos2,sinα-sinβ=2sin2cos2,

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2cos2cosα+cosβ=2cos, cosα-cosβ=-2sin2sin2,

11sinαcosβ=2[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=2[sin(α+β)-sin(α-β)],

11cosαcosβ=2[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-2[cos(α+β)-cos(α-β)].

定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

2tan.2tan2α=(1tan)

(1cos)(1cos)22定理9 半角公式:sin2=,cos2=,

sin(1cos)(1cos).sintan2=(1cos)=(1cos)

1tan22tan22cossin1tan21tan22, 2, 定理10 万能公式:

2tan2.tan1tan22

定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)

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ba2222abab的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.

22(ab)sin(α+β). asinα+bcosα=

abc2RsinAsinBsinC定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得

1y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sinx(0)的图象（周

期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；

y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。

x,22的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数定义4 函数y=sinxx,22的y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。

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方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是

{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.

x0,定理16 若2，则sinx二、方法与例题

1．结合图象解题。

例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

x,0x,【解】 若2，则cosx≤1且cosx>-1，所以cos2，

所以sin(cosx) ≤0,又00，

所以cos(sinx)>sin(cosx).

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2222sinxcosxx0,222，若则因为sinx+cosx=(sinxcos4+sin4cosx)=2sin(x+4)

≤2<2，

所以0所以cos(sinx)>cos(2-cosx)=sin(cosx).

综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)coscossinsin2.例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β-2）>0，求证：

xx【证明】 若α+β>2，则x>0，由α>2-β>0得cosαcoscos所以0sin(2-β)=cosβ, 所以0coscoscoscos2.sinsinsinsin所以

xx00若α+β<2，则x<0，由0<α<2-β<2得cosα>cos(2-β)=sinβ>0,

coscos所以sin>1。又01，

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xx00coscoscoscossinsinsin2sin所以，得证。

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

3．最小正周期的确定。

例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，

当且仅当x=kπ+2时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,

所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。

4．三角最值问题。

21cosx，求函数的最大值与最小值。 例5 已知函数y=sinx+

32cos,1cos2x2sin04, 4【解法一】 令sinx=

则有y=

2cos2sin2sin(4

).304，所以24因为4，

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所以

0sin(4)≤1，

3所以当

4，即x=2kπ-2(k∈Z)时，ymin=0，

当

4，即x=2kπ+2(k∈Z)时，ymax=2.

【解法二】 因为y=sinx+

1cos2x2(sin2x1cos2x),

=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），

且|sinx|≤1≤1cos2x，所以0≤sinx+1cos2x≤2，

所以当1cos2x=sinx，即x=2kπ+2(k∈Z)时, ymax=2，

当1cos2x=-sinx，即x=2kπ-2(k∈Z)时, ymin=0。

例6 设0<<π，求sin2(1cos)的最大值。

【解】因为0<<π，所以

022，所以sin2>0, cos2>0.

所以

sin2（1+cos）=2sin2·cos2

2=

22sin22cos22cos22 ≤

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32cos2cos22sin222216433.9 =272243当且仅当2sin22=cos22, 即tan2=2, =2arctan2时，sin2(1+cos)取得最大值9。

例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。

ABABAB2sin2cos22, ①

【解】 因为sinA+sinB=2sin3cosC2sin2C232sinC23sinC+sin3, ②

3cos又因为

sinABsin2C232sinABC4ABC432sin3，③

由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin3≤4sin3,

33所以sinA+sinB+sinC≤3sin3=2,

33当A=B=C=3时，（sinA+sinB+sinC）max=2.

注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不

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等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

5．换元法的使用。

sinxcosx1sinxcosx的值域。

例8 求

y222sinxcosx2sin(x).224【解】 设t=sinx+cosx=

因为

1sin(x4)1,

所以2t2.

又因为t2=1+2sinxcosx,

x21t1t21y21t2， 所以sinxcosx=2，所以

21y所以221.2

t11因为t-1，所以2，所以y-1.

2121y,11,.22 所以函数值域为

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1an121例9 已知a0=1, an=

an1(n∈N+)，求证：an>2n2.

0,【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈2，则

1tan2an11an=

tanan1secan111cosan1atann1tanan.2tanan1sinan1

1an110,a0.an1因为2，an∈2，所以an=2，所以an=2

n1an2·4。 又因为a0=tana1=1，所以a0=4，所以

nantann2n2.22又因为当0x，所以

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

0,另外当x∈2时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很

容易的。

6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).

由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保

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1持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持

横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个

1单位，得到y=Asin(x+)的图象。

3M,04对例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点0,称，且在区间2上是单调函数，求和的值。

【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。

又0≤≤π，解得=2，

333M,0f(x)f(x)4因为f(x)图象关于4对称，所以4=0。

330.f()42取x=0，得4=0，所以sin

32k2(k∈Z)，即=3(2k+1) (k∈Z). 所以4又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+2)在[0，2]上是减函数；

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取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+2)在[0，2]上是减函数；

10取k=2时，≥3，此时f(x)=sin(x+2)在[0，2]上不是单调函数，

2综上，=3或2。

7．三角公式的应用。

355,,2，求sin2α,cos2β例11 已知sin(α-β)=13，sin(α+β)=- 13，且α-β∈2，α+β∈2的值。

12,1sin2().13 【解】 因为α-β∈2，所以cos(α-β)=-

312,21sin2().，所以cos(α+β)=13 又因为α+β∈2120所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=169,

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

112ACcoscosB，2的值。例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且cosAcosC试求

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【解】 因为A=1200-C，所以cosAC2=cos(600-C)，

1111cos(1200C)cosC00cosAcosCcosCcos(120C)cosCcos(120C) 又由于

2cos600cos(600C)1[cos1200cos(12002C)]=22cos(600C)1cos(12002C)222，

所以

42cos2ACAC2cos3222=0。

解得

cosAC32AC2cos28。 22或

又

cosAC2ACcos22。 2>0，所以

例13 求证：tan20+4cos70.

sin20【解】 tan20+4cos70=cos20+4sin20

sin204sin20cos20sin202sin40cos20cos20 sin20sin40sin402sin30cos10sin40cos20cos20

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sin80sin402sin60cos203.cos20cos20

三、基础训练题

1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。

1cosx1cosx1cosx1cosx2．适合-2cscx的角的集合为___________。

3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。

14．已知sinx+cosx=5(x∈(0, π))，则cotx=___________。

tt36叠加后得到的合振动是x=___________。 5．简谐振动x1=Asin和x2=Bsin6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4

分别是第________象限角。

7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。

11113cosxx28．已知2，则2222=___________。

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cos40sin50(13tan10)9．

sin701cos40=___________。

10．cot15cos25cot35cot85=___________。

11．已知α,β∈(0, π), tan2152, sin(α+β)=13，求cosβ的值。

m2sinx0,12．已知函数f(x)=cosx在区间2上单调递减，试求实数m的取值范围。

四、高考水平训练题

1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，

a=__________.

2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

2sinx2cosx的值域为__________.

3. 函数

y2sin2xlgx64. 方程=0的实根个数为__________.

0,5. 若sina+cosa=tana, a2，则3__________a（填大小关系）.

6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.

 聚优堂教育

7. 若0sin7cos15sin88. cos7sin15sin8=__________.

9.

cos234511·cos11·cos11·cos11·cos11=__________.

10. cos271+cos71cos49+cos249=__________.

11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.

12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.

113. 已知f(x)=2kAsinx35(kA0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0,

k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变

化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题（一）

1．若x, y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________.

xk的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取

2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=值范围是____________.

3sin 聚优堂教育

3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.

4．方程sinx+3cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.

5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.

aaa6．设sina>0>cosa, 且sin3>cos3，则3的取值范围是____________.

7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.

8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.

9．若0<<2, m∈N+, 比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1.

10．cot70+4cos70=____________.

sinxsinyacosxcosybcotxcotyc11. 在方程组中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。

0,12．已知α，β，γ2，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。

13．关于x, y的方程组

xsin3ysinaxsin3ysinaxsin3ysina有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求

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sinα+sinβ+sinγ的值。

0,14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y2.

联赛一试水平训练题（二）

1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与

2函数g(x)=a1的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

25x,xxx3-tan6+cos6的最大值是__________. 2．若123，则y=tancotC3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，则cotAcotB=__________.

151534．设f(x)=x2-πx, α=arcsin3, β=arctan4, γ=arccos, δ=arccot4, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)

从小到大排列为__________.

5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________.

6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则

tanα·tanβ·tanγ=__________.

7．已知矩形的两边长分别为tan2和1+cos(0<<π)，且对任何x∈R,

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4f(x)=sin·x2+3·x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.

8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.

9．已知当x∈[0, 1]，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立，则的取值范围是__________.

10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.

1的函数：f(x)=cos(a1+x)+211．已知a1, a2, …,an是n个实常数，考虑关于x1cos(a2+x) +…

+2n1cos(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.

sinAsinBsinC312．在△ABC中，已知cosAcosBcosC，求证：此三角形中有一个内角为3。

8n13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>5.

六、联赛二试水平训练题

1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.

11n1n11n2sinacosa+n2. 已知a为锐角，n≥2, n∈N，求证：≥2-2+1.

yn221xn11yn33. 设x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求证：

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234．已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证；4π<α+β+γ<π.

5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x1.2(x+3+2sincos)+(x+asin+asin)2≥8

0,和任意2，恒有

0,6. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x2都有2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|.

7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。

8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。

n0,9．已知i2，tan1tan2…tann=22, n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的

1，2，…，n都有cos1+cos2+…+cosn≤λ，求λ的最小值。