、选择题
1．将一个有 45 度角的三角板的直角顶点 C放在一张宽为 3cm的纸带边沿上，另一个顶点 A 在纸带的另 一
边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图，则三角板的最大边的长为 （
A. 3cm B. 6cm
C. 3
cm
D. 6 cm
）.
2 ．在△ 中，若 ，则△ 是（ ）
. 锐角三角形 . 钝角三角形 . 等腰三角形 . 直角三角形
3. 如图，已知直角梯形 ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=，5点 P在 BC上移动，则当 PA+PD 取最小值时，△ APD中边 AP上的高为（ ） .
A. B. C. D.3
4. 如图，分别以直角 的三边 为直径向外作半圆． 设直线 左边阴影部分的面 积为 ，右边阴影部分的面积
和为 ，则（ ） .
A． B ． C． D ．无法确定
5. 如图，是一长、宽都是 3cm，高 BC=9cm的长方体纸箱， BC上有一点 P，PC= BC，一只蚂蚁从点 A 出发 沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是（
1
A． 6 cm B． 3 cm C． 10cm D． 12cm
6. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则的 图2 KLMJ
弦五” 记载．如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验的边上， 证勾股定理． 是由图 1 放入矩形内得到的，∠ BAC=90°， AB=3，AC=4，点 D，E，F，
D．121
二、填空题
7. 如图，在由 12 个边长都为 1 且有一个锐角是 60°的小菱形组成的网格中， 点 P 是其中的一个顶点， 以
点 P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形） ，请你写出所有可能的直角三角 形斜边的长 _____________ ．
8. 如图，已知点 F的坐标为 （3 ，0） ，点 A、B分别是某函数图象与 x 轴，y 轴的交点，点 P是此图像上
的一动点，设点 P的横坐标为 x，PF的长为 d，且d与x之间满足关系： d=5－ x（0 ≤x≤5）, 则结论： ①AF=2； ② BF=5； ③OA=5； ④OB=3中，正确结论的序号是
9. 如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 落在边 AD上，折痕 EF 的两端分别在 AB、BC上（含端点），且 AB=6cm， BC=10cm．则折痕 EF 的最大值是 cm．
2
10. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮 票．所
谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股 图中，已知∠ ACB=90°，∠ BAC=30°， AB=4．作△ PQR使得∠ R=90°，点 H 在边 QR上，点 D，E在边 PR 上，点 G，F 在边 PQ上，那么△ PQR的周长等于 _________________ .
11．观察下列一组
数：列 3、 4、 5，猜想： 32=4+5； 举：列 5、 12、13，猜想： 52=12+13； 2 举： 列 27、 24、25，猜想： 7=24+25；⋯ 举： 2
列举： 13、 b、c，猜想： 13=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得
b= _____________________________________________ ,c= _______ .
12. 如图，正方体的棱长为 2，O为 AD的中点， 则 O，A1，B 三点为顶点的三角形
三、解答
题 作长为 、 、 的线段 . 14 13.
14 如图 A、 B为两个村庄， AB、BC、 CD为公路， BD为田地， AD为河宽，且 CD与 AD互相垂直。现
要 从点 E处开设通往村庄 A、村庄 B 的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一： E→D→A→B；方案 二： E→C→ B→A．经测量得
千米， BC=10 千米，∠ BDC=45°，∠ ABD=15°．已知：地下电
缆的修建费为 2万元／千米，水下电缆的修建费为 4 万元／千米． 求： 1）河宽 AD（结果保留根号 ） ；
2） 公路 CD的长 ;
3
15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC=30°， AB=4，分别以 AB、BC、AC为边作正方形 ABED、BCFK、 ACGH，再作 Rt△PQR，使∠ R=90°，点 H在边 QR上，点 D、E在边 PR上，点 G、F 在边 PQ
上，求 PQ的 长？
16．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠ B=90°，
∠A=30°， BC=6cm；图②中，∠ D=90°，∠ E=45°， DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将 △DEF的直角边 DE与△ ABC的斜边 AC重合在一起，并将△ DEF沿 AC方向移动．在移动过程中， D、E 两点始终在 AC边上（移动开始时点 D与点 A 重合）． （ 1）在△ DEF沿 AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：
变”、“变大”或“变小” ）
F、C 两点间的距离逐渐 _____ __. ．（填
“不
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△ DEF移动至什么位置，即 AD的长为多少F、C 的连线与 AB平行？ 时，
问题②：当△ DEF移动至什么位置，即 AD的长为多少时，以线段 AD、FC、 BC的长度为三边长的三角 形是直角三角形？
问题③：在△ DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠ FCD=15°？如果存在，求出 AD的长度； 如果不存在，请说明理由．
3） 哪种方案铺设电缆的费用低 ?请说明理由。
4
请你分别完成上述三个问题的解答过程．
5
答案与解析】 ．选择题
1. 【答案】 D.
解析】过点 A 作 AH 垂直于纸带边沿于点 H ， 在直角△ AHC 中，∵ AH=3 ，∠ ACH=30 °，
∴AC=2AH=6,
再在等腰直角△ ABC 中，∵ AC=6, ∠ B=45 ∴AB= 故选 D.
2．【答案】 D.
.
解析】因为 =4 ，所以 ，
，由勾股定理的逆定理可知：△ ABC是直角三角形 , 答案选 D. 3．【答案】 C．
【解析】如图，过 D点作 DE⊥ BC于 E,则 DE=AB，AD=BE,EC=B－C
BE=3
在 Rt△ CDE中， DE= ,
延长 AB至 F，使 AB=BF，连接 DF，交 BC于 P 点，连接
AP， 这时候 PA+PD取最小值，
∵AD∥BC， B 是 AF中点， ∴
在 Rt△ ABP中， AP= ∵
∵
∴ = ,故选 C.
4．【答案】 A.
解析】圆的面积为 ，设三条边长为 a,b,c, 分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可
6
5．【答案】 A．
【解析】（ 1）如图 1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP 中，AP= =3 cm；
（ 2）如图 2，AC=6cm ，CP=3+3=6cm ，
Rt△ADP 中， AP=
=6 cm．
综上，蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是 6 cm．故选 A ．
．填空题
7．【答案】 2， ， ， 4， .
解析】如下图，可能的直角三角形斜边长有 2， ， ， 4， .
8．【答案】①； ②； ③ .
【解析】令 x=0得到d=5,此时点 P与点B重合， BF=5，由勾股定理的 OB=4.令x=5得到d=2,此时点与点 A 重合，可得 AO=5，AF=2.
9．【答案】
.
【解析】如图，点 F与点 C 重合时，折痕 EF最大， 由翻折的性质得， BC=B ′C=10cm， 在 Rt△B′DC 中， B′D=
= =8cm ，
∴AB′=AD ﹣B′D=10﹣ 8=2cm， 设 BE=x，则 B′E=BE=x ，
AE=AB ﹣BE=6 ﹣x，
在 Rt△AB ′E 中， AE 2+AB ′2=B′E2， 即（ 6﹣ x） 2+22=x2，
7
P 解得 x= ， 在 Rt△BEF 中，
EF=
=
cm ．
故答案为： ． 10．【答 案】 27+13 3 ． AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及
三角函数就可求得 QR的长，在直角△ QRP中运用三角函数即可得到 RP、QP 的长，就可求出△
PQR
的周长．
11. 【答案】 84,85.
【解析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从 连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；
22
3 开始
最后得出第 n 组数为（ 2n+1），（
（2n 1） 1
），（
（2n 1） 1
），由此规律解决问题．
12．【答
案】
解析】直角△ AA1O和直角△ OBA中，利用勾股定理可以得到 OA1=OB= 5 ，
在直角△ A1AB中，利用勾股定理得 A1B=2 2 ，过点 O作高，交 A1B 与 M，连接 AM， 则△ AOM是直角三角形，则 AM=1 A1B= 2，OM= OA2 AM2 = 3，
2
∴△OA1B的面积=1A1B?OM= 6 ．
2
三 . 综合题 13．【解析】
作法 ：如图所示
8
1）作直角边为 1（单位长度）的等腰直角△ ACB，使 AB为斜边； 2）作以 AB为一条直角边，另一直角边为 1的 Rt 。斜边为 ； 3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
，这样斜边 、 、 、 的长
度就是 、 、 、 .
14．【解析】 1）. 过 B 作 BF⊥AD交 DA延长线于 F，
在 Rt△ ABF中，可知∠ BAF=60°， AB ，
∴ BF=6 ，
，
在 Rt△ BFD中，∵∠ BDF=45°， ∴ DF=BF=6，
∴
2）. 过 B 作 BG⊥ CD于 G，则 BG=6， BC=10，有 CG=8， ∴ DC=CG+DG=14.
3）. 设 CE=x，则方案一、二费用分别为：
，
，
由 可解得 ∴ 当
时，方案一、二均可． 15．【解析】 解：延长 BA 交 QR 于点 M，连接 AR，AP ． 在 △ABC 和 △GFC 中 ， ∴△ABC ≌△GFC（ SAS）， ∴ ∠CGF= ∠ BAC=30 °， 6 9 在直角 △AMR 中， MR=AD=AB=4 ∴ QR=2 +3+4=7+2 ， ∴ QP=2QR=14+4 ． 故答案为： 14+4 ． 16. 【解析】 ∴ ∠HGQ=60 °， ∵ ∠HAC= ∠BAD=90 °， ∴ ∠BAC+ ∠DAH=180 °， 又∵AD ∴ ∠RHA+ ∠DAH=180 °， ∴ ∠∠BAC=30 °， ∴ ∠RHA= QHG=60 °， ∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60 °， ∴ △QHG 是等边三角形． AC=AB ?cos30°=4 × =2 ， 则 QH=HA=HG=AC=2 ， 在直角 △ HMA 中，HM=AH ?sin60 °=2 =3， （1）变小； （2）问题①：∵∠ B=90°，∠ A=30°， BC=6cm ∴AC=12 ∵∠ FDE=90°，∠ DEF=45°， DE=4 ∴ DF=4cm 连接 FC，设 FC∥ AB ∴∠ FCD=∠ A=30° ∴在 Rt△FDC中， DC=4 3 ∴ AD=AC-DC=12-4 3 ∴AD=12-4 3 时， FC∥AB； 问题②：设 AD=x，在 Rt△ FDC中， FC2=DC2+FD2=（12-x ）2+16 ∵ AC=12cm， DE=4cm， ∴AD≤ 8cm， 10 II ）当 AD为斜边时， 由 FC2+BC2=AD2得，（12-x ） 2+16+62=x2， x= 49 >8（不合题意舍去） ； 6 III ）当 BC为斜边时， 由 AD2+FC2=BC2得， x2+（12-x ） 2+16=36， x 2-24x+160=0 ， 方程无解， 31 ∴由（ I ）、（II ）、（III ）得，当 x= 时，以线段 AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角 6 形； 另解： BC不能为斜边， ∵FC>CD，∴ FC+AD>12 ∴FC、 AD中至少有一条线段的长度大于 6， ∴BC不能为斜边， 31 ∴由（ I ）、（II ）、（III ）得，当 x= cm时，以线段 AD、 FC、 假设∠ FCD=15° ∵∠ EFC=30° 6 作∠ EFC的平分线，交 AC于点 P 则∠ EFP=∠CFP=15°，∠ DFE+∠ EFP=60° ∴ PD=4 3 ， PC=PF=2FD=8 ∴PC+PD=8+4 3> 12 ∴不存在这样的位置，使得∠ FCD=15° ; 解法二：不存在这样的位置，使得∠ FCD=15° 假设∠ FCE=15°AD=x 由∠ FED=45° 得∠ EFC=30° 作 EH⊥ FC，垂足为 H． ∴ HE=1 EF=2 2 2 CE=AC-AD-DE=8-x 且 FC2=（ 12-x ）2+16 ∵∠ FDC=∠ EHC=90° ∠DCF为公共角 ∴△ CHE∽△ CDF ∴ EC = HE ∴ FC = DF HE ）2=（2 2） 2 1 DF 4 == 2 6 11 ∴（ EC ）2=1 ，即 （8 x）2 =1 FC 2 （12 x）2 16 2 整理后，得到方程 x2-8x-32=0 ∴x1=4-4 3 < 0（不符合题意，舍去） x2=4+4 3 >8（不符合题意，舍去） ∴不存在这样的位置，使得∠ FCD=15° （ I ）当 FC 为斜边时， 由 AD2+BC2=FC2得， x2+62=（ 12-x ）2+16，x= 31； 12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容