负二项分布参数p的精确置信区间

第２６卷　哈尔滨师范大学自然科学学报　Ｖｏ１．２６，Ｎｏ．６　２０１０　第６期　ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＡＲＢＩＮ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　负二项分布参数Ｐ的精确置信区间　李文宇　（黑龙江科技学院）　【摘要】　用假设检验法构造了负二项分布中未知参数Ｐ的置信下限和上限，及　精确置信区间，为实际应用提供了理论依据．　关键词：负二项分布；假设检验；置信下限上限；置信区间　有下式成立　０　引言　ｃ　－Ｐ”一　～　南ｆ。　ｕ　Ｉ（１一　负二项分布是重要的离散型随机变量，取自　ｕ）　‘ｄｕ＝Ｂｅ（１一Ｐ，ｋ，ｒ）　伯努利试验．负二项分布指伯努利试验中Ａ直到　贝０有　（　，ｒ）＝　：　（１一　）　～ｄｘ，　发生ｒ次所需试验次数的分布．它在应用概率统　计、应用随机过程和可靠性等领域有着极为重要　Ｂｅ（　，ｋ，ｒ）为Ｂｅ（ｋ，ｒ）分布的分布函数．　的应用．在一般的教材中对离散型随机变量未知　引理２［　设Ｆ（　）是随机变量　的分布函　参数的置信区间通常是利用中心极限定理和大数　数，若Ｐ∈［０，１］，则有　定律来实现的，对大容量样本这种估计方法是可　Ｐ（Ｆ（　）≤），）≤Ｙ≤Ｐ（Ｆ（　—Ｏ），），）　引理３［　设Ｚ—Ｆ（２ｋ，２ｒ），Ｆｚ（：，２ｋ，２ｒ）为　行的，但是对于同样的置信水平这种估计的误差　会随着容量凡的减小而增加．参考文献［１］介绍　ｚ的分布函数，】，～Ｂｅ（ｋ，ｒ），Ｆｙ（），，ｋ，ｒ）为Ｙ的分　了用假设检验法构造参数的置信区间，本文用参　布函数，则Ｆｙ（１一　’ｒ）　＝　，２露，　考文献［１］中介绍的假设检验方法构造了负二项　２ｒ）．　分布中未知参数Ｐ的精确置信区间，并且根据参　可得到如下定理．　考文献［４］中介绍的数学方法表示出了上下限表　定理：设　，　，…，　，是独立且均服从参数　达式，克服了样本多少的局限性，为实际应用提供　了理论依据．　为ｐ的几何分布的随机变量，Ｘ＝∑Ｘ　～ＮＢ（ｒ，　Ｐ），Ｐ∈［０，１］，则有　１　主要结果　（１）　（　，　）是Ｐ的置信水平为１一　的置信　设　为伯努利试验中Ａ直到发生ｒ次所需的　下限，其中　试验次数，Ａ发生的概率为Ｐ，则　服从负二项分　布，记Ｘ—ＮＳ（ｒ，ｐ），其分布律为　（ｋ，ｏｔ）　丽，后＞ｒ　Ｐ（Ｘ＝ｍ）＝Ｃ　ｒ－一ＩｌＰ　（１一Ｐ）一　，ｍ：ｒ，ｒ＋１，　其中　一　（２（ｋ＋１），２ｒ）为自由度（２（ｋ＋１），２ｒ）　的Ｆ分布的１一　分位点．　…●　引理１［１　设Ｐ∈［０，１］，ｒ，ｉｎ，为正整数，则　（２）Ｐ　（后，ｏｔ）是Ｐ的置信水平为１一ａ的置信　收稿日期：２０１０一ｌ０—２７　哈尔滨师范大学自然科学学报　２０１０拒　上限，其中　（后，　）　两，　＞ｒ　币　丽，　＞ｒ　（　）　分位点．　（３）当Ｏｔ　＋　２同理，当Ｆ（后一０，Ｐ）＜ｌ一　，必然有Ｐ＞Ｐ　￡，　其中Ｆ　（２ｋ，２ｒ）为自由度（２ｋ，２ｒ）的Ｆ分布的　＝ｏ［时，（　（　，　１），　ｕ（　，　＝ｓｕｐ｛Ｐ：　（ｋ一０，ｐ）≥１一　｝，由弓ｌ理２知，　ｅ（ｐ≤Ｐ　￡，）≥Ｐ（Ｆ（ｋ一０，ｐ）＜１一　）≥　ｌ一仅　））是Ｐ的置信水平为１一　的置信区间．　证明　由引理１知，　ｐ（ｘ≥尼）＝１一Ｆ（ｎ一１，Ｐ）　＝即　为Ｐ的１一　的置信上限，Ｐ　ｕ＝ｓｕｐ｛Ｐ：Ｆ（ｋ一　０，Ｐ）≥１一　｝即为Ｆ（ｋ一０，ｐ）＝１一　的解．　詹一ｌ　因为Ｆ（ｋ一０，ｐ）＝∑ｃｉｒ＿－ＪＩｐ　（１一ｐ）　＝　∑Ｃ　，－１　Ｐ　（１一ｐ）一　－Ｐ＝　Ｂ（ｌ　ｎ－Ｉ（１一“ｒ－Ｉｄｕ　ｎ，ｒ）Ｊ　ｏ　Ｊ．　一　Ｕｋ－Ｉ（ｔ一“，　ｄ　＝　１一　，即　ｅ（１一ｐ，　，ｒ）＝Ｆ（￡（＿　Ｊ　）一２后，２ｒ）＝　，设　ｐ）＝Ｆ（凡一ｌ，ｐ）＝　（１一　）　‘ｄｕ　，　呻ｕ　＿】×　即　（　＝　）　２　ｒ）’解得　，　＞ｒ　，　（ｐ）＝　（１一ｐ）　～ｐ　ｌ＞ｏ　即，（尼，ｐ）是关于ｐ的连续单调增函数．　当Ｆ（ｋ，Ｐ）＞　时，必然有Ｐ≥　Ｆ（ｋ，ｐ）≤　｝，由引理２知，　Ｐ（ｐ≥　）≥Ｐ（　’（ｋ，Ｐ）＞　＝ｉｎｆ｛Ｐ：　综合上述结果可知，Ｐ的置信水平为１一Ｃｔ的　置信区间为（　（后，　。），　（　，ｔｌ２）），其中　Ｐ　Ｌ（居，　Ｉ）＝　ｒ　ｒ＋（后＋Ｉ）Ｆｌ一　。（２（　＋１），２ｒ）’　＝１一Ｐ（Ｆ（　，Ｐ）≤Ｏｔ）≥１一　Ｐ　ｕ（ｋ￣Ｏｆ２）　参１９８７．　即　为Ｐ的置信水平为１一Ｏｔ的置信下限，Ｐ　＝　ｉｎｆ｛Ｐ：Ｆ（ｋ，ｐ）≤０１｝即为Ｆ（ｋ，Ｐ）＝　的解．　考文献　［１　Ｊ周慨容．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，　因为　理３有　＝　昔　．Ｊ，ｕｋ（Ｉ一　［２］　峁诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计［Ｍ］．北京：高等教　育出版社，２００６．６．　）　一　ｄ“＝　，即１一Ｂｅ（１～ｐ，ｋ＋１，ｒ）：　，由弓Ｉ　［３］　李文字，张秋杰．巴斯卡分布参数Ｐ的置信区问［Ｊ］．大学数　学，２００８．１０．　Ｂｅ（１一ｐ，后＋１，ｒ）＝Ｆ（　告，２（｜ｉ｝＋１），　２ｒ）＝１一　即　＝Ｆ１－￣ｔ（２（　１），２ｋ），解得　［４］　高惠璇．统计计算［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９９９．　［５］杨建红。等．　ｓ　ｎ分布中未知参数的精确置信区间［Ｊ］．　云南大学学报（自然科学版），２００４，２６（２）．　Ｅｘａｃｔ　Ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　Ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　Ｐ　ｆ０ｒ　Ｎｅｇａｔｉｖｅ　Ｂｉｎｏｍｉａｌ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　Ｌｉ　Ｗｅｎｙｕ　（Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）　ＡＢＳＴＲＡＣＴ　Ｔｈｅ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｌｏｗｅｒ　ｂｏｕｎｄ，ｕｐｐｅｒ　ｂｏｕｎｄ，ａｎｄ　ａｃｃｕｒａｔｅ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｏｆ　ｕｎｋｎｏｗｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｉｎ　ｎｅｇａｔｉｖｅ　ｂｉｎｏｍｉａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｅｍｐｌｏｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ｔｅｓｔｉｎｇ．Ｉｔ　ａｌｓｏ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｂａｓｉｓ　ｆｏｒ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｎｅｇａｔｉｖｅ　ｂｉｎｏｍｉａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ｔｅｓｔｉｎｇ；Ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｌｏｗｅｒ　ｂｏｕｎｄ　ａｎｄ　ｕｐｐｅｒ　ｏｕｎｄ；Ｃｏｎｂｉｄｅｎｃｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｆ（责任编辑：黄永辉）