初二数学.秋.直升班.教师版.第4讲 几何变换之轴对称(二)1

倍角模型与半角模型类似，本质都是转化成等角模型；利用轴对称思想构造出角平分线，进而得到等腰三角形就是解决问题的一种常见方法。

例题1：如图所示，在△ABC中，ADBC于点D，B2C．求证：ABBDCD．

ACDB

例题2：如图，△AOB是等腰三角形，AOAB，△AOB与△AOB关于直线l对称．连接BB和AB，如果ABB2ABB，那么BAO和BAB的数量关系是_______．

A'lAO

例题3：问题：已知△ABC中，BAC2ACB，点D是△ABC内的一点，且ADCD，BDBA．探究DBC与ABC度数的比值． B请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当BAC90时，依问题中的条件补全图形． 观察图形，AB与AC的数量关系为________；

当推出DAC15时，可进一步推出DBC的度数为_______； CA可得到DBC与ABC度数的比值为_________．

（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

等腰三角形问题在平面几何中占有很大的比例，它是一类典型的轴对称图形，因而等腰三角形除了可以考虑用旋转变换处理外，还可以考虑用轴对称变换处理，对称轴即等腰三角形的对称轴．

例题4：如图所示，在△ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，点P在△ABD内部，求证：APBAPC．

B'B

APB

例题5：已知：△ABC是一个等腰直角三角形，ABBC，△ABC内部有一点P，连接PA，

DC

PBCPCB15，求证：ABAP．

BPAC

例题6：在△ABC内取一点M，使得MBA30，MAB10，设ACB80，ACBC，求AMC．

C

M AB

例题7：如图所示，在△ABC中，BACBCA44，M为△ABC内一点，使得MCA30，MAC16，求BMC的度数．

B MAC

在一些题当中，往往出现两角和或者差为特殊的角度，但是两个角度又离的比较远或者位置比较特殊，这个时候可以考虑三大变换来解决问题，但是构造比较巧妙，往往不容易想到，在这里把这样的一些利用轴对称构造特殊角度形成特殊的三角形如直角三角形，等边三角形等的题总结下．

例题8：在凸四边形ABCD中，ADBABC105，CBD75．如果ABCD15cm，求四边形ABCD的面积．

C'CCDABDA

B例题9：已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且AMD120，证明：． 1ABBCCD≥AD2 ADBMC

例题10：在△ABC中，ABAC，60BAC120，P为△ABC内部一点，PCAC，

PCA120BAC，求CBP的度数．

APBC

演练1：在等腰直角三角形ABC中，P为内部一点，满足PBPC，APAC．求证：BCP15．

APC

演练2：如图所示，在△ABC中，P为三角形内一点，APAC，PBPC，ACB2ABC，求证：BAC3BAP．

B

APBC

演练3：如图，在△ABC中，BAC80，ABAC，O为△ABC内一点，且OBC10，OCA20，求BAO的度数．

演练4：如图所示，在四边形ABCD中，AB30，AD48，BC14，CD40，ABDBDC90，求四边形ABCD的面积．

A 3048B14D40C

演练5：设M是凸四边形ABCD的边BC的中点，AMD135，求证：

2ABBCCD≥AD．

2D AMBC