最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 3.了解等比数列与指数函数的关系. 考情考向分析 以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn1(a1≠0，q≠0)． －
3．等比中项
Gb
如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，aGG2＝ab，G＝±ab，称G为a，b的等比中项． 4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qnm(n，m∈N*)．
－
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
1an2(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a，{an}，{an·bn}，b仍是等比数列．
n
n
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
a11－qna1－anq当q≠1时，Sn＝＝. 1－q1－q6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 知识拓展
等比数列{an}的单调性
a1>0，a1<0，(1)满足或时，{an}是递增数列． q>10 (3)当时，{an}为常数列． q＝1 (4)当q<0时，{an}为摆动数列． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) a1－an (5)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × ) 1－a n (6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编 1 2．[P51例3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______. 41答案 2 a511 解析 由题意知q3＝＝，∴q＝. a282 3．[P54A组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠 a1－a2 4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________． b21 答案 － 2 解析 ∵1，a1，a2,4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1. 2 又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b2 2＝1×4＝4，且b2＝1×q>0，∴b2＝2， ∴ a1－a2－a2－a11 ＝＝－. b2b22 S55．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________. S2答案 －11 解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2， 5 S5a11－q1－q∴＝· S2 1－qa11－q2 1－q51－－25＝＝＝－11. 1－q21－4 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)． 答案 48 解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n， 则2n＝64×210＝216，∴n＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟). 题型一 等比数列基本量的运算 1 1．(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( ) 411 A．2 B．1 C. D. 28答案 C 2 解析 由{an}为等比数列，得a3a5＝a4， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a24＝4(a4－1)， 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q， 1 则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2， 41 所以a2＝a1q＝.故选C. 2 55Sn2．(2018·济宁模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝24an________. 答案 2n－1 解析 ∵5 a＋a＝，4 2 4 5a1＋a3＝， 2 ∴5 aq＋aq＝， ②4 1 13 5 a1＋a1q2＝， ① 2 1＋q2 由①除以②可得＝2， 3 q＋q1 解得q＝，代入①得a1＝2， 21n－14 ∴an＝2×2＝2n， 1n2×1－21 ∴Sn＝＝41－2n， 11－2 11－n4Sn2∴＝＝2n－1. an4 2n思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 题型二 等比数列的判定与证明 典例 (2018·潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. Sn＋1＝4an＋2， ①又 Sn＝4an－1＋2n≥2， ② 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴ an＋1an3 －＝， n＋12n42 an13 故2n是首项为，公差为的等差数列． 24 an133n－1 ∴n＝＋(n－1)·＝， 2244故an＝(3n－1)·2n－2. 引申探究 若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式． 解 由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1， ∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*) 又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)， ∴当n＝1时(*)式也成立， 故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证． 跟踪训练 (2016·全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31 (2)若S5＝，求λ. 32 (1)证明 由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 1 故λ≠1，a1＝，a1≠0. 1－λ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0， an＋1λ所以＝. anλ－1 1λ因此{an}是首项为，公比为的等比数列， 1－λλ－11λn－1 于是an＝. 1－λλ－1 λn (2)解 由(1)得Sn＝1－. λ－1 λ531λ5131 由S5＝得1－＝，即λ－1＝32. 32λ－132 解得λ＝－1. 题型三 等比数列性质的应用 1．(2017·郑州三模)已知等比数列{an}，且a6＋a8＝4，则a8(a4＋2a6＋a8)的值为( ) A．2 C．8 答案 D 2解析 ∵a6＋a8＝4，∴a8(a4＋2a6＋a8)＝a8a4＋2a8a6＋a28＝(a6＋a8)＝16.故选D. B．4 D．16 2．(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于( ) A．40 C．32 答案 B 解析 由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B. 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形． (3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． B．60 D．50 分类讨论思想在等比数列中的应用 3 典例 (12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列． 2(1)求数列{an}的通项公式； 113 (2)证明：Sn＋≤(n∈N*)． Sn6 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n项和，根据函数的单调性证明． 规范解答 (1)解 设等比数列{an}的公比为q， 因为－2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4， a41 可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.[2分] a323 又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为 2133 －n－1＝(－1)n－1·n(n∈N*)．[3分] an＝×2221 －n， (2)证明 由(1)知，Sn＝1－211 －n＋Sn＋＝1－2Sn 1n1－－21 ＝1 2＋，n为偶数.22－1 n n 12＋nn，n为奇数，22＋1 [6分] 1 当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小， Sn113213 所以Sn＋≤S1＋＝＋＝.[8分] SnS12361 当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小， Sn113425 所以Sn＋≤S2＋＝＋＝.[10分] SnS24312113 故对于n∈N*，有Sn＋≤.[12分] Sn6 1．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则A．－3 C．－31 答案 D 解析 设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1. 1－q32∵S3＝2，S6＝18，∴＝，得q3＝8，∴q＝2. 6181－q 10 S101－q∴＝＝1＋q5＝33，故选D. S51－q5 S10等于( ) S5 B．5 D．33 2．(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( ) A．－2 1C. 2答案 B 解析 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍3333 去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1，故选B. 2222a10－a12 3．(2017·张掖市一诊)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为( ) a6－a8A．2 C．8 答案 B 解析 a5＝±a4·a6＝±16＝±4， a5∵q2＝>0，∴a5＝4，q2＝2， a3则 a10－a124 ＝q＝4. a6－a8 B．4 D．16 B．－1 2D. 3 4．(2017·山西太原三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( ) A．Sn＝2Tn C．Tn>an 答案 D B．Tn＝2bn＋1 D．Tn 由等比数列前n项和的特点可得数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式an＝3×2n－1， 设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1， 当n＝1时，b1＋b1q＝3，当n＝2时，b1q＋b1q2＝6， 解得b1＝1，q＝2， 数列{bn}的通项公式bn＝2n－1， 由等比数列求和公式有：Tn＝2n－1，观察所给的选项： Sn＝3Tn，Tn＝2bn－1，Tn 解析 由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9， 则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10. 6．(2018·长春质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 答案 B 1解析 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝， 211－6a12 由题意得＝378， 11－2 B．9 D．10 1 解得a1＝192，则a2＝192×＝96， 2即第二天走了96里，故选B. 7．已知{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S2＝3，S4＝15，则a3＝________. 答案 4 解析 S4－S2＝a3＋a4＝12，S2＝a1＋a2＝3， a3＋a4212∴＝q＝＝4，q＝2或q＝－2(舍去)， 3a1＋a2∴a3＋a4＝a3(1＋q)＝3a3＝12，a3＝4. 8．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． 答案 4 解析 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4，得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1(舍去)，a6＝a2q4＝1×22＝4. 9．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和为________． 答案 2n－1 3 a1＋a1q＝9， 解析 设等比数列的公比为q，则有 23 q＝8，a1· a1＝8，a1＝1， 解得或1 q＝2q＝2. a1＝1，又{an}为递增数列，∴ q＝2， 1－2nn ∴数列{an}的前n项和为＝2－1. 1－2 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________. 答案 1 2n 解析 ∵an＋Sn＝1，① ∴an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，② an1 由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)， an－121 又a1＝， 2 11 ∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 2211n－11 则an＝×＝n. 222 2 11．(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 11解 (1)由题意，得a2＝，a3＝. 24(2)由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因为{an}的各项都为正数，所以an＋1≠0， an＋11 所以＝. an2 1 故{an}是首项为1，公比为的等比数列， 21 因此an＝n1. 2－ 1n* 12．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T为{a}的前2n项的和，b＝a＋an∈N. －1，2nnn2n2n 2(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； (2)求T2n. 1n 解 (1)∵an·an＋1＝2， 1n＋1∴an＋1·an＋2＝2， an＋211∴＝，即an＋2＝an. an22∵bn＝a2n＋a2n－1， 11a＋a2nbn＋1a2n＋2＋a2n＋1222n－11 ∴＝＝＝， bn a2n＋a2n－1a2n＋a2n－121 ∵a1＝1，a1·a2＝， 213∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝. 22 31 ∴{bn}是首项为，公比为的等比数列． 2231n－13 ∴bn＝×＝n. 2221 (2)由(1)可知，an＋2＝an， 2 11 ∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首 221 项，以为公比的等比数列， 2 ∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) 1n11n1－1－2223＝＋＝3－n. 1121－1－22 13．(2017·新乡三模)若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________. 3n1＋1 答案 2 － 解析 ∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3， ∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝1－3n－11－3 ， 3n－1＋1 ∵a1＝1，∴an＝. 2 1 14．(2018·徐州质检)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝n(n＝1,2,3，…)，则 2S2n＋3＝________. 14 答案 1－4n＋2 3 111解析 由题意，得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋＋＋…＋n1 4164＋41－1＝. 34n＋2 15．已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为( ) A．4 C．6 答案 C 解析 ∵{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝a3，∴a23＝a3，∴a3＝1.又∵q>1，∴a1 116．(2017·武汉市武昌区调研)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋n＝(－1)nan(n∈N*)，则数列 2{Sn}的前9项和为________． 341 答案 － 1 024 1 解析 因为Sn＋n＝(－1)nan， 21 所以Sn－1＋n1＝(－1)n－1an－1(n≥2)． 2－11 两式相减得Sn－Sn－1＋n－n1 22－＝(－1)nan－(－1)n－1an－1， 1 即an－n＝(－1)nan＋(－1)nan－1(n≥2)， 21 当n为偶数时，an－n＝an＋an－1， 21 即an－1＝－n， 2 B．5 D．7 此时n－1为奇数，所以若n为奇数， 1 则an＝－n1； 2＋ 1 当n为奇数时，an－n＝－an－an－1， 21 即2an－n＝－an－1， 2 1 所以an－1＝n1，此时n－1为偶数， 2－1 所以若n为偶数，则an＝n. 2所以数列{an}的通项公式为 －2，n为奇数，a＝ 12，n为偶数. n＋1 n n1 所以数列{Sn}的前9项和为S1＋S2＋S3＋…＋S9＝9a1＋8a2＋7a3＋6a4＋…＋3a7＋2a8＋a9＝(9a1＋8a2)＋(7a3＋6a4)＋…＋(3a7＋2a8)＋a9 11111＝－2－4－6－8－10 22222115×1－ 224341＝－＝－. 11 0241－4 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容