复数概念及公式总结

1.虚数单位i:

它的平方等于-1,即 i21

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根,即方程x2=－1的一个根,方程x2=－1的另一个根是－i

3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示 复数通常用字母z表示,即zabi(a,bR)

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR),当且仅当b=0时,复数a+bia、b∈R是实数a；当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时,z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时,z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+dia=c,b=d

一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 当两个复数不全是实数时不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bia、b∈R可用点Za,b表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

1实轴上的点都表示实数

2虚轴上的点都表示纯虚数 3原点对应的有序实数对为0,0

设z1=a+bi,z2=c+dia、b、c、d∈R是任意两个复数, 8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=a+bi+c+di=a+c+b+di. 9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=a+bi-c+di=a-c+b-di.

10.复数z1与z2的乘法运算律：z1·z2= a+bic+di=ac－bd+bc+adi. 11.复数z1与z2的除法运算律：z1÷z2 =a+bi÷c+di=

acbdbcadi分母实数化

c2d2c2d212.共轭复数：当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数z的共轭复数为z;例如z=3＋5i与z=3－5i互为共轭复数 13. 共轭复数的性质

1实数的共轭复数仍然是它本身 2ZZZ2Z

23两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论

22 11i2i,21i2i 复数Zabia,bR

一一对应 3

向量OZ

一一对应

一一对应

11ii, 4 i i1i1ii 1i点Z(a,b)

16.复数的模： 5

复数Zabi的模Za2b2 6abiabia2b2