专题42 等比数列(解析版)

专题知识梳理 1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．

2．等比数列的通项公式

一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn1，这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1

为首项，q为公比．第二通项公式为：an＝am qn

3．等比数列的前n项和公式

a1（1－qn）a1－anq

等比数列{an}的前n项和公式：Sn＝(q≠1)或Sn＝(q≠1)．

1－q1－q注意：（1）当q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，Sn＝na1；

（2）有关等比数列的求和问题，当q不能确定时，应分q＝1，q≠1来讨论． 4．等比数列的性质

(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则G2＝ab．

(2)等比数列{an}中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al，特别地，当m＋n＝2p时，am·an

＝a2p．

(3)设Sm是等比数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m满足关系式(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)． (4)等比数列的单调性，若首项a1＞0，公比q>1或首项a1＜0，公比01an

、{manbn}(m≠0)仍为等比数列． (5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、{}、{a2}、n

anbn

－m

－

考点探究 考向1 等比数列中基本量的计算

【例】（1）（2018 苏州模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且值为 ．

（2）（2018年 新课标I卷）记 Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2 an+1，则S6=__________．

S61915，a4a2，则a3的S388

【解析】（1）观察得公比q不为1，将条件代入前n项和为Sn及通项公式，得

a1(1q6)19193159322,1q,q，，故=。 aaq(q1),a1aq31113a1(1q)88248（2）根据Sn=2 an+1，可得Sn+1=2 an+1+1，两式相减得an12an12n，即an+1=2 an，当𝑛=1时，

1(126)所以数列{an}是以—1为首项，以2为公比的等比数列，所以S6S1a12a11,a11，63，

12故答案是—63.

题组训练

1

1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于 ．

4

4111aq,3【解析】由通项公式ana1qn1，得14q，故q。

82a1q22.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝____． 2a13,【解析】当q=1时，S2＝3，S4＝15得∴6＝15矛盾；当q≠1时，

4a151a1+a1q3,a1(1+q)3,4q24， a1(1q)2a1(1q)(1q)151q15∴S6S4a5a6S4a1q4(1q) 153q41534263。 3.设等比数列an满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.

【解析】设等比数列的公比为q，很明显q1，结合等比数列的通项公式和题意可得

②a1a2a11q1，①，由 可得：q2 ，代入①可得a11， 2①a1a3a11q3，②3由等比数列的通项公式可得：a4a1q8.

4.（2018·南通模拟）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8= a6+6 a4，则a3的值为

。

753422【解析】将an= a1qn-1代入，得a1qa1q6a1q,Qa1q0,qq60， ∴q3,q3，∴

a3= a2q=3。

考向2 等比数列的性质

【例】(1) 在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝____；

S1031

(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝____．

S532

22222

【解析】(1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a4，得a4＋a8＝41.∵a4a8＝5，∴(a4＋a8)＝a4＋2a4a8

＋a25＝51.又an>0，∴a4＋a8＝51. 8＝41＋2×

S10－S5S10311 (2)由＝，a1＝－1知公比q≠1，则可得＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，

S532S53211

S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－. 322

题组训练

827

1.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为____．

33827

【解析】设插入的三个数依次为a2，a3， a4，则a2 a4=a32=×，

33

827827=486。 ∴ a2a3 a4=××33332.等比数列{an}中，a1>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝____．

【解析】由等比数列下标性质，得a2a4= a32，a4a6＝a52 ，由a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，得a32+a52 +2a3a5=36，（ a3+a5）2=36，由a1>0，a3= a1q2>0，同理a5>0，故a3+a5=6。

3.在正项等比数列{an}中，若a3a78，则log2a1log2a2Llog2a10= . 【解析】由等比数列{an}知，a1a10a2a9La3a78，故

，

log2a1log2a2Llog2a10=log2a1a2La10log2(a1a10)(a2a9)L(a5a6)

log28515。

4.已知数列{an }的首项为1，Sn 为数列{an}的前n项和，Sn1qSn1 ，其中q>0，nN* .若

2a2,a3,a22 成等差数列，则{an}的通项公式为 。

【解析】由已知，Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n?1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan对所有n³1都成立. 所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，从而an=qn-1.

5.等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1＝________.

1

【解析】设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝(a2＋a4

qa1－a2k＋1q2a1－192×－221126

＋…＋a2k)＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝＝

qq1－q21－－22255，解得a1＝3.

考向3 等比数列的判定与证明

【例】已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*.

(1)求p的值及an；

1

(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若{bn}的前n项和为Tn.求证：数列{Tn＋}为等比数列．

6n（n－1）

【解析】(1)Sn＝na1＋d＝na1＋n(n－1)＝n2＋(a1－1)n.又Sn＝pn2＋2n，n∈N*，∴p＝1，a1－1

2＝2，a1＝3，∴an＝3＋(n－1)2＝2n＋1.

(2)证明：∵b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，∴q＝3，∴bn＝b3qn3＝3×3n3＝3n2， 113nn

（1－3）Tn＋3663n－1113n

∴b1＝，∴Tn＝＝，∴Tn＋＝，∴＝n－1＝3(n≥2)，

3666131－3

Tn－1＋

661

∴数列{Tn＋}为等比数列．

6

－

－

－

题组训练

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，3Sn＝an－1(n∈N*)． (1)求a1，a2；

(2)求证：数列{an}是等比数列； (3)求an和Sn.

11

【解析】(1) 由3S1＝a1－1，得3a1＝a1－1，∴a1＝－.又3S2＝a2－1，即3a1＋3a2＝a2－1，得a2＝. 24

11an11

(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，∴{an}是首项为－，公比为

3322an－1

1

－的等比数列． 2

11

1－（－）n（－）22111

(3)由(2)可得an＝(－)n，Sn＝＝－[1－(－)n]．

2132

1－（－）22.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1) 设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2) 求数列{an}的通项公式．

【解析】 (1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又

Sn＋1＝4an＋2，上式减下式，得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bnS＝4a＋2，nn－1

－1

，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．

an＋1an3an13an1－

(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n1，∴n＋1－n＝，故2n是首项为，公差为的等差数列．∴n＝＋

2424222

33n－1－

(n－1)·＝，故an＝(3n－1)·2n2.

44

3. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1) 求a2，a3的值；

(2) 求证：数列{Sn＋2}是等比数列．

【解析】(1) ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)， ∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；

当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4； 当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8. 综上，a2＝4，a3＝8.

(2) 证明 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，① ∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②

①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．

Sn＋2∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，

Sn－1＋2故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．