不定方程的几种特殊解法

噎．　竣笔　；。　．　　不是贯程钓几　四安徽刘运宜　所谓不定方程，即是方程的个数少于未知数的个数，因此，它的解具　有明显的不确定性和多解性．由于在实际解题中，时常遇到有关不定方程　的求解问题．为了解决这一实际问题，本文特介绍几种特殊方法，供同学　们在解题中参考运用．　利用非负数性质求解　例１　已知：　为实数，解方程（　＋２　＋３）（３　２＋２ｙ＋１）＝　４解：由　。＋２　＋３）（３ｙ。＋２ｙ＋１）＝号逐步恒等变形，得　３（ｘ２十２　＋３）（３ｙ２＋２），＋１）＝４（　。＋２　＋３）（９ｙ　＋　＋３）＝４［　２＋２　＋１）＋２］１－（９ｙ。＋　＋１）＋２］＝４［　＋１）　＋２３［（３　１）。＋２］＝４（　＋１）。（３ｙ＋１）　＋２（　＋１）　＋２（３），＋１）　＋４＝４＋１）　（３ｙ＋１）　＋２　＋１）　＋２（３），＋１）。：０ｏ—一　枣　盘　再由非负数性质，得　＋１＝０，３ｙ＋ｌ＝Ｏ．　一１，　解得　一１，　一　一ｔ）　　．原方程的解是｛｛　１　ｊ　３　例２已知：ｘ，ｙ为实数，解方程：　—ｌ厂２一、　）‘々＋２　一、／　，　　—可　）＝０．　解：‘．．．　、　为实数，　ｆｘ＋ｙ￣Ｏ，　，，２≥０．　于是原方程可变形为　丁２一啊）　＋［　）一２、／＝　＋　一ｙ）］＝０即　丁２一Ｎ／一ｘ＋ｙ）‘＋（何　）‘＝ｏ。　由非负数性质，得　ｆ　丁２一　万＝０，　①　ｌ｛　Ｎ／一ｘ＋ｙ一、／　：０．　②　由②，得、／　’＝、　＝　，解得，ｃ０．　把ｙ＝Ｏ代入①，得　一２：、／ｒ。　．　两边平方化简整理，得　５ｘ．｝　４＝０．　１　１，　ｊｘ２＝４，　解得　１＝ｌ，　２＝４，．‘．　ｉｙ￣＝ｏ：　ｙ２＝Ｏ．　ｆ　ｌ　ｌ，　｝Ｘ２：４，　经检验：　　｛都是原方程的解　；ｙｇＯ：　０　二、利用一元二次方程的相关知识求解　＇幸　照　￣）Ｊｔ３解方程：—　一十—　十４、／　＋Ｖｙ－１—２８．　恫‘ｘ＆—－—ｉ　解：设佰３６＋　＝“，佰　（　，　均为正有理数），则原方程可化为　＋４ｕ＋　：２８．　．　“　化简整理得关于ｕ的二次方程为４　Ｍ２＋　２＋２８　＋１）　＋３６ｖ＝０由一元二次方程根与系数关系，得　乜ｚ一—２８ｔ　＋１　　一·　’　①　“ｌ。ｕ２＝９．　②　由①，得ｖ＂－［２８～４　ｕ　＋“　）］　＋１＝０‘　为正有理数，　［２８－４（ｕ＋ｕ２）］　＋ｌ应为完全平方式　，２８—４（　１＋　２）＝２．　１３，　＋　＝　③　亦即一　１３化简整理，得　一２　＋ｌ＝０．　即（ｖ－ｉ）２＝０＝１．由　＝ｌ，得　＝１．解得　２　又。．‘ｕ也为正有理数，由③得Ｈ。＋ｕ　＝　＝２十导．　且满足方程②，￣］Ｕｌ＂／￥２－２×导＝９．．·．Ｍ＝２或　＝号．　娶嫩挎　一　蟹　函蚁中的面　问题　ｌ，＇螃　遗　　次函数中的面积问题是一种典型题，如何来解决呢？　利用公式　例１　已知Ａ（８，０）及在第一象限的动点Ｐ　），且　＝ｌＯ，设ＡＯＰＡ　的面积为Ｓ，求Ｓ关于　的函数表达式．　解：如图，　Ｙ　＝　．　＼．　＼　＼　’ｘ＋ｙ＝１０，　ｙ＝ｌＯ－ｘ．　ｓ＝４（１Ｏ－ｘ）．　Ｄ　Ａ（８，０）＼　￣Ｉ］Ｓ＝４０—４ｘ．　一专　　８９　Ｉ．　Ｘｌ　－６　经检验：　＿６’　ｊ　’都是原方程的解．　ｆｙ１＝２：ｆ　：２．　ｏ