特殊化与一般化思想在解题中的运用

ｐ　ｆ　：　＠　…　所以Ｐ＝２，抛物线的方程为ｙ２：４ｘ。　（Ⅱ）先特殊化：当直线ＭＡ过抛物线的焦点Ｆ时，此　所以Ｐ＝２或Ｐ：３。　（２）证明：设数列｛０　｝、｛６　｝的公比分别为Ｐ、ｑ，且Ｐ≠　Ａ，Ｃ，Ｂ　ｑ，ｃ　＝。，　十６　，要证数列｛ｃ　｝不是等比数列，只需证ｃ：≠　时Ｆ与Ｃ重合，直线ＭＡ方程为　＋Ｙ＝１，设点　，　ｃ１　ｃ３。而ｃ　＝（ａ１Ｐ＋６ｌｑ）　＝血１　ｐ　＋６１。ｑ　＋２ａ１ｂｌＰｑ，Ｃ１ｃ３：　是满足条件依次从上到下排列的点。（。ｌ＋６１）（ａｌｐ　＋６Ｉｑ　）＝０ｌ。Ｐ　＋ｂｌ　２ｑ　＋ａＩｂｌ（ｐ　＋ｑ　），由　ｒ　＋ｙ＝ｌ　于Ｐ≠ｑ，所以Ｐ　＋ｑ　＞２１，ｇ。又０。，６　不为零，因此ｃ；≠　ｃ　ｃ　，数－４０｛ｃ　｝不是等比数列。　由ｉ　４　＋４ｙ－４＝０　ｙ１＝一２＋２４２，ｙ２＝一２—２Ａ　由此可得　。＝３—２　，　２＝３＋２　，　即ａ（３—２　，一２＋２　），Ｂ（３＋２　，一２—２　）。　点评本题是以等差、等比数列的概念和性质为内容　的推理证明题。第（１）问由特殊到一般，应注意对由特殊　得到的结果，进行验证。当然，也可以直接通过一般化求　得问题的结果。第（２）问把一般问题特殊化，即要证明数　列｛ｃ　｝不是等比数列，只要证明ｃ　，ｃ　，Ｃ，不是等差数列就　可以了，（２）是用特殊化直接求值（证明）的典型例子。　例４　已知函数，（　）＝　＋ｂｓｉｎｘ＋ＣＣＯＳＸ＋ｄ（。，６，ｃ，ｄ　为常数），对任意ＯＬ∈Ｒ恒有厂（ｓｉｎ　Ｏ／一４ｓｉｎ￣一１）≥０且　＿厂（５一ＣＯＳＯ／）≤Ｏ。试证：函数＿厂（　）的图像恒过定点。　证明注意到ｓｉｎ　Ｏ／一４ｓｉｎｃ￣一１＝（ｓｉｎｏ￣一２）　一５，其中　一ｌ≤ｓｉｎｃ￣≤１．　所以一４≤ｓｉｎ　一４ｓｉｎ￣一１≤４。所以＿厂（４）≥０。　又注意到４≤５一ＣＯＳＯＺ≤６，所以ｌ厂（４）≤０。　因而，（４）＝０。所以函数，（　）的图像恒过定点（４，０）。　点评特殊化和运用夹逼法是解答本题的关键。　三、特殊化与一般化结合解数学主观题　先特殊化，猜测一般性结论，再给予证明，或利用一般　性的结论，再特殊化得到所需的结果。　例５已知抛物线Ｆ：Ｙ　＝２　（Ｐ＞０）的焦点与椭圆　４　＋２０ｙ　＝５的右焦点重合。　（Ｉ）求抛物线，的方程；　（１Ｉ）动直线Ｚ恒过点Ｍ（０，１）与抛物线，交于Ａ、曰不　同两点，与所以　轴交于ｃ点，请你观察并判断：在线段　ＭＡ，ＭＢ，ＭＣ，ＡＢ中，哪　条线段的长总能构成等比数列？　说明你的结论并给出证明。　解析（Ｉ）因为椭网方程为：　＋午＝１，　４　４　所以ｎ　＝音，６　＝÷。　所以Ｃ　＝１，即椭圆的右焦点为（１，０）。　因为抛物线的焦点为（　，０），　０８高中生之友－上旬刊５／２０１４　可得ｌ　ＭＦ　ｌ＝ｌ　ＭＣ｛＝　，Ｉ　ＡＢ　ｌ＝８，　｝ＭＡ＝（３—２　）　，１　ＭＢ　Ｉ＝（３＋２　）　，　所以ｌ　ＭＡ　，ｌ　ＭＣ　ｌ，ｌＭＢ　ｌ成等比数列。　猜想：ｌＭＡ　ｌ，ＪＭＣｌ，ｆＭＢｊ成等比数列，证明如下：　依题意，直线ｚ的斜率必然存在。　设直线ｆ：ｙ＝ｈ＋ｌ（　≠０），则Ｃ（一了１，０），　ｌＭＣＩ＝　ｌ＋＆　・ｌ÷ｌ。　ｒｙ　肌＋Ｉ　由｛　，得　＋２（　一２）ｘ＋１＝ｏ。　ＬＹ　＝４ｘ　冈为△：４（％　２）　一４　＞０，所以＆＜１。　用直线的参数方程容易表达ＭＡ、ＭＢ的长，　设直线ＭＡ的参数方程为｛　，　Ｌｙ＝１＋ｔｓｉｎ０　代人抛物线Ｙ　＝４ｘ中，　整理得ｓｉｎ。０・ｔ　＋（２ｓｉｎ０—４ｃｏｓ０）ｔ＋１＝０。　所以ｌ　ｌ－ｌ　ｊ＝Ｉ　Ｉ＝　＝　（因为ｔａｎ　：　　‘所以｛　１．１　ＭＢ　１＝１　ＭＣ　　１，　即ｌ　ＭＡ　Ｉ，ｌ　ＭＣ　Ｉ，Ｉ　ＭＢ　ｌ成等比数列。　点评第（Ⅱ）问中究竟哪三条线段总能构成等比数　列，　然讨论的情况不少，但如果能用特殊化计算出线段　ＭＡ，ＭＢ，ＭＣ，ＡＢ的值，便不难得出构成等比数列的　条线　段，再辅以一般性的证明，问题便解决了。　总之，掌握特殊化方法是为了快速求解客观题，运用　特殊与一般的方法是为了破解某些主观题，验证问题结果　的可靠性。　（作者单位：福建永定县城关中学）