班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.．已知复数A．
B．2
C．
D．
2.“”是“”成立的 A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
3.．已知函数A．1
的反函数为
B．2
，则
= C．3
D．4
4.．在等差数列A．7
中，
B．8
，其前n项
，则n= C．15
D．17
5. 已知向量A．
，
，若B．
，则
C．1
D．3
6.若把函数是 A．
的图象向右平移
（
>0）个单位长度，使点
为其对称中心，则
的最小值
B．
C．
D．
7.已知A、B、C三点在球心为距离为 A．
，半径为3的球面上，且三棱锥B．
—ABC为正四面体，那么A、B两点间的球面
C．
D．
8.已知圆A．9
上两点B．3
关于直线
C．6
对称，则圆
的半径为
D．2
9.已知，是不同的平面，，是不同的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若是异面直线，则与相交； ④若，且，则. 其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3
D．4
10.已知函数 为奇函数，若函数在区间
上单调递增，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
11.双曲线A．
的渐近线与抛物线B．2
相切，则该双曲线的离心率为 C．
D．
12. 函数，设A．
在定义域，
内可导，若，
B．
，则
，且当
时，
C．
D．
二、填空题
1.若二项式
的展开式中各项系数的和是64，则展开式中的常数项为 ．
，．记向量
，与向量
，则实数
___________.
的概率是
2. 已知随机变量服从正态分布3. 连掷两次骰子得到的点数分别为_______________. 4. 已知变量
满足
，则
的夹角为，则
的最大值为_____.
三、解答题
1.（本小题满分10分）
在△ABC中，角A、B、C对边分别是（1）求角A的大小； （2）求
，且满足．
的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
2.（本小题满分12分） 在一次人才招聘会上，有三种不同的技工面向社会招聘，已知某技术人员应聘三种技工被录用的概率分别是0.8、0.5、0.2（允许技工人员同时被多种技工录用）. （1）求该技术人员被录用的概率；
（2）设表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积，求的分布列和数学期望.
3.（本小题满分12分）
在直三棱柱中，是中点.
（1）求证：（2）求点
//平面到平面
； 的距离； 的余弦值.
（3）求二面角
4.（本小题满分12分） 已知数列
的前n项和为
，且（），
（1）求证：数列（2）设数列
是等比数列； 的前n项和为
，
，试比较
与
的大小.
5.（本小题满分12分） 已知椭圆
相切.
（1）求椭圆（2）设直线
,其中顶点
的方程；
在椭圆
上，
与椭圆
相交于
，
两点，以线段
,
为邻边作平行四边行
的离心率为
，直线经过椭圆的上顶点
和右顶点
，并且和圆
为坐标原点，求的取值范围.
6.（本小题满分12分） 已知函数（1）当（2）若（3）证明
时，求在区间
（是自然对数的底数，的单调区间；
上是增函数，求实数的取值范围；
对一切
恒成立. ）.
甘肃高三高中数学高考模拟答案及解析
一、选择题
1.．已知复数A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】解：因为 2.“”是“”成立的 A．充分不必要条件 C．充要条件
，因此所求的虚部为-2，选A
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】解：因为，选A
3.．已知函数的反函数为A．1 B．2
，因此“
”是“
”成立的充分不必要条件，
，则
=
C．3
D．4
【答案】D
【解析】解：因为函数的反函数为而根据反函数的性质可知f(2)=2,因此选D
4.．在等差数列中，，其前n项A．7 B．8
，所以
，则n=
C．15
D．17
【答案】C
【解析】解：因为等差数列所以
5. 已知向量A．
，
中，，故选D ，若B．
，则
，
其前n项
C．1
D．3
【答案】D
【解析】解：因为向量，，
选D
6.若把函数是 A．
的图象向右平移
（
>0）个单位长度，使点
为其对称中心，则
的最小值
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：因为函数有
7.已知A、B、C三点在球心为距离为 A．
的图象向右平移
,选B
，半径为3的球面上，且三棱锥B．
—ABC为正四面体，那么A、B两点间的球面
（
>0）个单位长度，使点
为其对称中心，故
C．
D．
【答案】D
【解析】解：作出图形，
∵几何体O-ABC为正四面体， ∴球心角∠AOB=故选D
8.已知圆A．9
∴A，B两点的球面距离=
×3=π．
上两点B．3
关于直线
C．6
对称，则圆
的半径为
D．2
【答案】B
【解析】解：因为所以直线经过圆的圆心，的圆心坐标（1，-所以2×1- ），
上两点M、N关于直线2x+y=0对称，
0，m=4．
所以圆的半径为：
故选B
9.已知，是不同的平面，，是不同的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若是异面直线，则与相交； ④若，且，则. 其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3
D．4
【答案】B
【解析】解：因为 ①若，则；符合面面垂直判定定理，成立。 ②若，则；只有相交的时候成立。错误。 ③若是异面直线，则与相交；不一定。 ④若，且，则，成立
10.已知函数
为奇函数，若函数
在区间
上单调递增，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：因为函数
为奇函数，若函数
在区间
上单调递增，利用奇函
数的性质可知f(1)=-f(-1)解得m=2,然后利用单调性结合图像可知的取值范围是
11.双曲线A．
的渐近线与抛物线B．2
，选B
相切，则该双曲线的离心率为 C．
D．
【答案】C
【解析】解：由题双曲线
代入抛物线方程整理得ax2-bx+a=0， 因渐近线与抛物线相切，所以b2-4a2=0， 即c2=5a2⇔e= 故选择C．
12. 函数在定义域内可导，若，设A．
，
，
B．
，则
的一条渐近线方程为y=
，
，且当时，
C．
D．
【答案】B
【解析】解：x∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x）＜0，知f'（x）＞0， 所以（-∞，1）上f（x）是增函数． ∵f（x）=f（2-x），
∴f（3）=f（2-3）=f（-1） 所以f（-1）＜（0）＜因此c＜a＜b． 故选B．
，
二、填空题
1.若二项式【答案】9
【解析】解：因为二项式
的展开式中各项系数的和是64，令x=1，可知
，然后利用通项
的展开式中各项系数的和是64，则展开式中的常数项为 ．
公式展开式令x的系数为零，得到常数项为9.
2. 已知随机变量服从正态分布【答案】
，
，
，利用正态曲线的对称性，
，
，
，则实数
___________.
【解析】解：因为随机变量服从正态分布可知实数
3. 连掷两次骰子得到的点数分别为_______________. 【答案】
．记向量
与向量的夹角为，则的概率是
【解析】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的所有事件数6×6， ∵m＞0，n＞0，
∴ a =（m，n）与 b =（1，-1）不可能同向． ∴夹角θ≠0． ∵θ∈（0，
】
a • b ≥0，∴m-n≥0， 即m≥n．
当m=6时，n=6，5，4，3，2，1； 当m=5时，n=5，4，3，2，1； 当m=4时，n=4，3，2，1； 当m=3时，n=3，2，1； 当m=2时，n=2，1； 当m=1时，n=1．
∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1 ∴概率P=
4. 已知变量【答案】2
【解析】解：因为变量
满足
，则
的最大值就是求解xy的最大值
满足
，则
的最大值为_____.
=
即可,根据图像可知xy的最大值为2.
三、解答题
1.（本小题满分10分）
在△ABC中，角A、B、C对边分别是（1）求角A的大小； （2）求【答案】（1）
，且满足．
的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
． （2）
．
【解析】本试题主要是考查了三角形中边角的关系的运用。利用余弦定理和三角函数变换，三角函数性质的综合运用。
（1）因为，利用向量的数量积展开得到，从而得到角A的值。 （2）∵
，∴
，
．将所求的
化为单一三
角函数，再结合三角函数性质可知结论。 解 ：（1）由已知， ……………………………………..2分 由余弦定理∵（2）∵．····· 8分 ∵∴当
，∴，
，
取最大值
，解得
．10分
，∴
，∴
得
，∴
， 4分
．…… …………………. 5分
，
．
2.（本小题满分12分） 在一次人才招聘会上，有三种不同的技工面向社会招聘，已知某技术人员应聘率分别是0.8、0.5、0.2（允许技工人员同时被多种技工录用）. （1）求该技术人员被录用的概率；
三种技工被录用的概
（2）设表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积，求的分布列和数学期望. 【答案】 （1） . ( 2 )
【解析】本试题主要是考查了相互独立事件概率的乘法公式，以及对立事件的概率的求解，和随机变量分布列以及数学期望值的综合运用。
（1）由于根据题目中条件可知，某技术人员应聘三种技工被录用的概率分别是0.8、0.5、0.2，各个事件相互独立，利用对立事件概率可以求解得到。
（2）首先分析随机变量设表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积的可能取值为0,2，然后利用乘法公式得到结论。 解答：（1） ( 2 )
. …………6分
0 2 0.16 0.84 0 2 0.16 0.84 ………………………………………………….12分
3.（本小题满分12分）
在直三棱柱中，是中点.
（1）求证：（2）求点（3）求二面角
//平面到平面
； 的距离； 的余弦值.
；（3 ）二面角的余弦值为
。
【答案】（1）见解析；(2)
【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面平行的判定和线面垂直的判定以及二面角的求解的综合运用。 （1）利用线线平行得到线面平行的郑敏，这是一般的思路。
（2）合理的建立空间直角坐标系，然后根据斜向量在法向量上的投影，借助于向量的数量积的性质得到结论。 （3）根据上一问中的 法向量和法向量的夹角可以得到二面角平面角的求解。 解答： （1）连结 …….4分
交
于
，连结
.
(2) 如图建立坐标系，
则, 设平面
,,
的法向量为，
所以（3 ）平面
. 的法向量为
……………..8分 . 所以
所以二面角的余弦值为
4.（本小题满分12分） 已知数列
的前n项和为
…………………………………………….12分
，且（），
（1）求证：数列（2）设数列
是等比数列； 的前n项和为
，
。
，试比较
与
的大小.
【答案】（1）见解析；（２）
【解析】本试题主要是考查了数列的定义的运用，以及数列的通项公式和求和的综合运用问题。 （1）因为数列
的前n项和为
，且
，借助于前n项和与通项公式的关系，得到数列的通项公
式的 求解，以及证明。 （2）由（１）得
，于是
，
，然后分析
的通项公式的特点求解得到前n项和的运算，再比较大小。 解答： （1）当 所以
时，由
得得
，
，
的等比数列.………………４分
，
，…………８分
与
的大小，………１０分
.
是首项和公比均为
（２）由（１）得 所以 而 设 当时， 经验证当
，于是，于是
，所以问题转化为比较，
， ，而
时，仍有
.
，所以.
因此对任意的正整数，都有
5.（本小题满分12分） 已知椭圆
相切.
（1）求椭圆（2）设直线
,其中顶点
【答案】（1）
的方程；
在椭圆
上，
,即……………….１２分
的离心率为，直线经过椭圆的上顶点和右顶点，并且和圆
与椭圆相交于，两点，以线段, 为邻边作平行四边行
为坐标原点，求
。
的取值范围.
；（2）
【解析】本试题主要是考查了圆锥曲线方程的求解以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。体现了运用代数的方法解决解析几何的本质思想
（1）由题意的几何性质和点到直线的距离得到a,b,c的关系式，从而得到椭圆方程的求解。 （2）因为设直线
与椭圆
相交于
，
两点，以线段
,
为邻边作平行四边行
，那么联立方程组，借助于韦达定理和两点距离公式得到OP的范围。
解答：（1）由所以所以
，有
，所以椭圆方程为
得
，所以，解得
……………………1分 ………..5分
…………………………….6分
（2）设则故点点所以而 因为 所以
在椭圆上，有
， 消去得：
，
，
…………………………………………………9分
，整理得
，
，………….11分
，所以
，所以
，
…………………………………………………………….12分
6.（本小题满分12分） 已知函数（1）当（2）若（3）证明【答案】（1）（2）
在区间；（3）时，求在区间
（是自然对数的底数，的单调区间；
上是增函数，求实数的取值范围；
对一切
上单调递增，在区间
． 恒成立.
上单调递减。 ）.
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。利用导数的符号判定函数单调性和利用单调性逆向求解参数的范围，和不等式的证明。
（1）首先求解定义域和导数，然后令导数大于零，小于零得到单调区间。 （2）因为
在区间
上是增函数，则说明函数在给定区间的导函数恒大于等于零，利用分离参数的思想求
解参数的取值范围。
（3）利用第一问中函数的结论，令为减函数，可得对于任意
，都有
得，故有
，
，那么所以
在
上
，放缩法证明不等式。 解：（1）当时，， 由，……………………………………………..4分 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减。 （2）由题意得当
时，
，
恒成立。
令
所以的范围是（3）令所以即即
在得
，有，得，
…………………………………………8分 ，
上为减函数，对于任意
． ………12分
， ，都有
，故有
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