圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法

圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法

从近几年全国各地的高考题来看，圆锥曲线问题一直是以拉开差距的题目的身份出现，题目的综合性较强，计算能力要求较高，难度较大。因此，对于那些想考上较好大学的学生而言，圆锥曲线问题就成了必争之地，而要突破它也并非难事，让我们来看看高考中这类问题是怎样出现的吧！

一、新趋势——与圆结合

随着课程改革的不断推广，新课标教材中降低了对圆锥曲线的要求，这让我们看到高考中圆锥曲线与圆相结合的问题逐渐增多（尤其是新课标考区），而且难度较小。如：

例1：（07年广东理）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点.椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

（I）求圆的方程；

（II）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：（I）圆C：；

（II）由条件可知a=5，椭圆方程为.若存在这样的点Q，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为，即.设Q（x，y），则，解得

所以存在满足条件的点Q，其坐标为.

点评：圆与圆锥曲线相结合的问题主要是强调对圆锥曲线基本概念的理解，要充分利用圆的几何性质对题目条件进行合理的转化，以简化计算，解决问题。

二、面积问题

圆锥曲线中的面积问题和弦长问题联系是非常紧密的，高考中也经常出现，但以面积问题居多，这类问题往往又与函数的最值、方程等结合得比较紧密，有一定的综合性但难道不算太大，容易突破。

例2：（05全国卷II）四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且.求四边形的面积的最小值和最大值.

解析：①当PQ斜率存在且不为0时，设为k.. 则PQ：： .

由得，.设.

则同理可得，

令，则..

②当PQ斜率不存在或为0时，

综上所述，四边形的面积的最小值为，最大值为2.

点评：此题以向量的形式告诉我们过上焦点的两条相互垂直的直线与椭圆交于四点，并要我们求这四点所构成的四边形的面积的最值。解决此题时要注意一下两点：①要能够通过对四边形面积的分割，将四边形的面积转化为两条弦长的乘积。②再顺利表示出四边形的面积以后，要能够通过合理的换元求出那个分式函数的最值。对于这些类似的分式函数常见的求最值的方法有，换元后用均值不等式、或转化为二次函数、或用判别式法求最值。另外，对所求面积进行合理的分割，能起到简化计算的作用，如下面这个题目。

三、求值、求方程问题

相对于面积问题，求值、求方程类问题的条件更加变化多端，可能需要对条件作出更多的转化，才能够利用条件列出方程以求出所需的值。注意，求方程就是求方程中待定的系數，也就是求值。

例3：（05福建卷）已知方向向量为的直线过点（）和椭圆的焦点，且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由。

解析：（I）椭圆C的方程为：.

（II）由已知，直线m不垂直于y轴，所以可设其方程为：.

由得，. 设则 ∴.

又由，知.

解得，或.

所以，存在这样的直线m，其方程为：或.

点评：对于此题，要将条件转化为才能够突破问题的关键。此外，大胆的设方程、设参数也是需要不断向学生渗透的重要思想。

四、求范围问题

如果说求值要想尽一切办法列方程的话，那么求范围就要想尽一切办法列不等式，列所求字母的不等式以求出其范围。其中，能用于列不等式的主要有：①判别式；②曲线上点坐标的范围；③特殊的已知条件。另外要注意的是，我们所求的字母有可能是某个变量的函数，我们可利用函数求值域的方法求其范围。

例4：（07四川理20）设分别是椭圆的左、右焦点。

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。

解析：（Ⅰ）易知，所以，

设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值-2，当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，可设直线，

联立，消去，整理得：

由得：或…① 又 又

，即

故由①、②得或.

点评：这个题中体现了用判别式及已知条件列不等式求范围的方法，容易找到切入点，值得提醒学生注意的是∠AOB为锐角是怎样应用的。

五、定点、定值问题

高考中常出现证明某直线过定点这样的问题，要解决这样的问题通常是表示出该直线方程，求出其要过的定点，从而证明问题。对于定值问题也是如此，都是以求代证，用求出某变量的值为定值来证明问题。

例5：（07山东理）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案：（Ⅰ）椭圆的标准方程为.（Ⅱ）直线过定点

点评：证明直线过定点的问题，即求出直线所过的定点，那么该怎样求直线所过的定点呢？其实就是利用已知条件找到直线方程中两个待定系数之间的关系，消掉其中一个即可，因为我们能够求出只含有一个待定系数的直线过怎样的定点。