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圆中三大切线定理
满分晋级阶梯
圆5级
圆中三大切线定理 圆6级
期末复习之圆的综合 圆7级
期末复习之圆中的 重要结论及应用
秋季班第八讲秋季班第二讲 秋季班第六讲 秋季班第十三讲 暑期班第六讲 秋季班第十五讲漫画释义
围田地
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中考内容与要求
中考内容 A 中考要求 B 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 能解决与切线有关的问题 C 圆的有关概念 理解圆及其有关概念 圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、能用弧、弦、圆心角的关圆心角的关系 系解决简单问题 圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题 能用垂径定理解决有关问题 能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 垂径定理 点与圆的位置关系 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 了解点与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念 了解圆与圆的位置关系 会计算弧长 会计算扇形面积 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 弧长 扇形 圆锥的侧面积和全面积 能利用弧长解决有关问题 能利用扇形面积解决有关问题 能解决与圆锥有关的简单实际问题 会求圆锥的侧面积和全面积
中考考点分析
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也15
以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份 题号 分值 2011年 20，25 13分 圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系 2017年 8，20，25 17分 圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 2013年 8，20，25 17分 圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 考点
知识互联网
题型一：切线的性质定理
思路导航
题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。 16
典题精练
A
【例1】 如图，在△ABC中，ABBC，以AC为直径的⊙0与BC边
交于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AB于点E，若 DE⊥AB．求证：AE3BE．
OEBDC题型二：切线的判定定理
思路导航
判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。
典题精练
【例2】 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC
于点E，过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F， 连结CF并延长交BA的延长线于点P. ⑴ 求证：PC是⊙O的切线.
2，求CF的长. ⑵ 若AB=4，AP：PC1：
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【例3】 如图，已知Rt△ABC中，ACB90，BD平分ABC，以
D为圆心、CD长为半径作⊙D，与AC的另一个交点为E．
⑴ 求证：AB与⊙D相切； E⑵ 若AC4，BC3，求AE的长． A
【例4】 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于
点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． ⑴ 求证：BE与⊙O相切；
2⑵ 连结AD并延长交BE于点F，OB9，sinABC，
3求BF的长．
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CDB
题型三 切线长定理
思路导航
切线长和切线长定理：
⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
例题精讲
PB分别与⊙O相切于A、B两点．求证：⑴ APOBPO； 【引例】已知：如图，PA、⑵ PAPB；⑶ OP垂直平分线段AB．
OB 【解析】 连结OA，A∵PA，PB分别与⊙O相切，
PPBOB， ∴PAOA，CO∵OAOB，OP=OP ∴△AOP≌△BOP B∴APOBPO． ∴PAPB，
由等腰三角形“三线合一”可知：OPAB且ACBC， ∴OP垂直平分线段AB．
APCOB典题精练
【例5】 ⑴ 如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，若PO10，
△PDE周长为16，求⊙O的半径．
19
ADPCEBO
⑵ 梯形ABCD中，AB∥CD，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AD、CD、BC都相切．已知AD6，BC4，求AB的长．
A
【例6】 ⑴ 如右图所示，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA分别切
F于D、E、F.AB13cm，BC14cm，CA11cm，求AD、BE、CF的长．
A
⑵ 如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，圆O为 ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tanODA . DCOBCEDBC O D
A B 【例7】 已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，DCB的平分线与半圆M交于点E． (1) 求证：CD是半圆O的切线（图1）；
(2) 作EFAB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明. D 20
E B
C
M A 图1
O
D E C
A M 图2
F O
B 21
训练1. 如图，AB是半圆的直径，直线MN切半圆于C，AMMN，BNMN，如果AMa，BNb，那么半圆的半径是
_____________．
A思维拓展训练(选讲)
MCNBO
训练2. 如图所示，△ABC中，内切⊙O和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.若FDE70，
求A的度数.
AFEOCDB
训练3. 如图，⊙O1和⊙O2为Rt△ABC的内切等圆，C90，AC4，BC3，求⊙O1的半径r．
CO1BO2A
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训练4. 已知，如图在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的圆O与AD、AC分别交
于点E、F，ACBDCE． DC⑴ 判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
2，BC2，求⊙O的半径． ⑵ 若tanACB2
复习巩固
EFOAB题型一 切线的性质定理 巩固练习
【练习1】 如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，
AOB60，BC4cm，则切线AB cm.
题型二 切线的判定定理 巩固练习
BOADC
D60，以AB为直径作⊙O， 【练习2】 在平行四边形ABCD中，AB10，ADm，⑴ 求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）； AD⑵ 当m取何值时，CD与⊙O相切．
O CB
D【练习3】 已知：如图，由正方形ABCD的顶点A引一条直线分别交BD、 AECD及BC的延长线于点E、F、G，求证：CE和△CGF的外F23
OBCG
接圆相切．
【练习4】 如图，AB是⊙O的直径，BCAB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦 于点G． DFAB⑴ 求证：点E是BD的中点； ⑵ 求证：CD是⊙O的切线；
4⑶ 若sinBAD，⊙O的半径为5，求DF的长．
5
题型三 切线长定理 巩固练习
CDEAGOFBAF⊙O是△ABC的内切圆，D【练习5】 ⑴ 如图，、E、F是切点，AB18cm，EMOBC20cm，AC12cm，B、BC又直线MN切⊙O于G，交AG于M、N，则△BMN的周长为______________． BCND
BC8，则△ABC的内切圆半径r________． ⑵ Rt△ABC中，C90，AC6， ⑶ 等腰梯形ABCD外切于圆，且中位线MN的长为10，那么这个等腰梯形的周长是
_____．
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第十七种品格：成就
巴雷尼与诺贝尔奖
巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。她想，孩子现在最需要的是鼓励和帮助，而不是妈妈的眼泪。
母亲来到巴雷尼的病床前，拉着他的手说：“孩子，妈妈相信你是个有志气的人，希望你能用自己的双腿，在人生的道路上勇敢地走下去！好巴雷尼，你能够答应妈妈吗？”
母亲的话，像铁锤一样撞击着巴雷尼的心扉，他“哇”地一声，扑到母亲怀里大哭起来。从那以后，妈妈只要一有空，就给巴雷尼练习走路，做体操，常常累得满头大汗。有一次妈妈得了重感冒，她想，做母亲的不仅要言传，还要身教。尽管发着高烧，她还是下床按计划帮助巴雷尼练习走路。黄豆般的汗水从妈妈脸上淌下来，她用干毛巾擦擦，咬紧牙，硬是帮巴雷尼完成了当天的锻炼计划。
体育锻炼弥补了由于残疾给巴雷尼带来的不便。母亲的榜样作用，更是深深教育了巴雷尼，他终于经受住了命运给他的严酷打击。他刻苦学习，学习成绩一直在班上名列前茅。
最后，以优异的成绩考进了维也纳大学医学院。大学毕业后，巴雷尼以全部精力，致力于耳科神经学的研究。最后，终于登上了诺贝尔生理学和医学奖的领奖台。
今天我学到了
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