2022-2023学年浙江七年级数学上学期拔尖题精练3-12 实数的运算(拓展提高)(解析版)

一、单选题

1．计算|12||23||32|的值为（ ） A．1 【答案】A

【分析】直接利用绝对值的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】解：原式213223 B．﹣1

C．1﹣23 D．22﹣1

1．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，正确去掉绝对值，然后合并同类二次根式是解题关键．

2．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）

A．380 【答案】B

B．382 C．384 D．386

【分析】根据已知图形得出下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，据此可得答案． 2+2， 【详解】解：由4＝1×8＝2×3+2， 14＝3×4+2， 22＝4×5+2，

得到规律：下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和， y＝19×20+2＝382， 故选：B．

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出右边数字是左边数字与1的和，下面数字是上面两个数字乘积与2的和． 3．自然数a，b，c，d满足1A．

43811111111222＝1，则2345等于（ ） 2abcdabcdB． C．

7 16D．

15 32【答案】D

【分析】只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，可得：a＝b＝c＝d＝2，即可求解． 【详解】解:

1111＝1，只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立， a2b2c2d2∴a＝b＝c＝d＝2； 11111111842115345． 2abcd4816323232故选：D．

【点睛】本题考查新定义下的实数运算，熟练掌握“当且仅当a=b=c=d=2时，键．

4．a2，a3，…，an，a2=一列实数a1，其中a1=﹣1，的结果为（ ） A．﹣ 【答案】B

【分析】首先根据公式an【详解】解：当a1=-1， a2111， 1a11(1)211a2111221计算出a1、a2、a3、…的值，找到规律可得结论． 1an11211111”是解题关a2b2c2d211111==，a3=…，an=，，则a1a2a3…a2021

1an11a11(1)21a2B．

12C．673 D．﹣2021

a3，

a4111， 1a312…，

所以每3个数一循环； 2021÷3=673…2， 第2020个数是﹣1， 1第2021个数是，

212=﹣1，（﹣1）××（﹣1）673=﹣1； 211（﹣1）×（﹣1）×．

22故选：B．

【点睛】本题考查了实数的运算，通过运算找到规律是解题关键．

5．把所有正奇数从小到大排序，按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…现有等式Am＝(i，j)表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝(2，3)，则A89＝（ ） A．(6，7) 【答案】C

【分析】先计算出89是第45个数，然后判断第45个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可； 【详解】∵89是第

891=45个数， 2B．(7，8) C．(7，9) D．(6，9)

设89在第n组，则 1+3+5+7+...+(2n-1)≥45， 当n6时，1+3+5+7+9+11=36； 当n7时，1+3+5+7+9+11+13=49； 故第45个数在第7组；； 49-1=97， 第49个数为：2×

37-1=73， 第7组的第一个数为：2×7-1=13个数， 第7组一共有：2×

89731=9个数， 则89是2故A89 =(7，9)， 故选：C．

【点睛】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题； 6．若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下： f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，… g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3… 利用上述规律计算：f(2012)g(2012)A．1 【答案】C

【分析】根据题意知“f”表示的运算是比原数小1， “g”表示的运算是原数的相反数，由此化简原式进行实数计算即可．

B．331

0f(13)+|g(3)f(3)|结果为（ ）

C．33 D．0

【详解】解：∵f（0）＝-1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2， ∴f（2012）＝2012﹣1＝2011，f（13）＝13﹣1＝12， ∵g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3， ∴g（2012）＝﹣2012， ∴f(2012)g(2012)＝1+12+|3﹣2| ＝1+23+2﹣3 ＝3+3， 故选：C．

【点睛】此题考查新定义运算，实数的混合运算，掌握计算公式的规律，正确化简原式，熟记零指数幂定义，绝对值的性质是解题的关键．

二、填空题

7．下列4个数：0.13，【答案】2

0f(13)+|g(3)f(3)|

7，π﹣3.14，5，其中无理数有_____个． 37是分数，π﹣3.14是无理数，5是开方不尽数，是无理数． 37【详解】∵0.13是无限循环小数，是有理数；是分数，是有理数，π﹣3.14是无理数，5是开方不尽数，3【分析】0.13是无限循环小数，是无理数． ∴有两个无理数， 故答案为：2．

【点睛】本题考查了有理数，无理数，熟练掌握无理数，有理数的定义及其分类标准是解题的关键． 8．写一个介于2与21之间的无理数是______． 【答案】3、或5 （答案不唯一）．

【分析】按要求找到2到21之间的无理数，21≈2.4须使被开方数大于2小于5.76即可求解． 【详解】解：设此无理数为x， ∵此无理数在2到21≈2.4之间，

∴2＜x＜5.76，

∴符合条件的无理数可以为：3、5（答案不唯一）． 故答案为：3、5 （答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．本题属开放性题目，答案不唯一．

9．比较大小：9_____3；6____2.5（填、或） 【答案】＞ ＞

【分析】根据被开方数越大，算术平方根越大进行比较即可． 【详解】解：∵9＞3 ∴9＞3； ∵6.25＞6 ∴2.5＞6， ∴6＞2.5 故答案为：＞，＞．

【点睛】本题考查了比较实数大小，解题关键是明确被开方数越大，算术平方根越大，通过比较平方根确定两个实数的大小．

10．公元3世纪，我过古代数学家就能利用近似公式ara2r得到无理数的近似值，例如：2化2a为121，再由近似公式得到21131.5，若利用此公式计算17的近似值时，r取正整数，212且a取尽可能大的正整数，则17____________． 【答案】4.125

【分析】先把17化为421，再根据近似公式ara即可得出答案．

【详解】解：根据题意得：2化为121，

2r1得出174，然后进行计算

242a由近似公式得到174故答案为：4.125．

1334.125 248【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握近似公式ara2r是解题的关键． 2a11．b互为相反数，c、d互为倒数，e是13的整数部分，f是5的小数部分，已知实数a、求代数式ab﹣3cd＋e﹣f＝__． 【答案】45

【分析】根据互为相反数、互为倒数、无理数的整数部分、小数部分的意义求解即可． 【详解】解：∵实数a、b互为相反数， ∴a+b＝0， ∵c、d互为倒数， ∴cd＝1， ∵3＜13＜4，

∴13的整数部分为3，e＝3， ∵2＜5＜3，

∴5的小数部分为5﹣2，即f＝5﹣2， ∴ab-3cd＋e﹣f =013=4-5 故答案为：4-5．

【点睛】本题考查相反数、倒数、无理数的估算，掌握相反数、倒数的意义，以及无理数的整数部分、小数部分的表示方法是解决问题的关键．

12．若m1，m2，…，m2019是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，m1m2m20191525，

52

m11m21【答案】508

22m2，m2019中，…， 则在m1，取值为2的个数为___________．m201911510，

2【分析】通过m1，m2，…，m2019是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，

m11m212的个数．

222m201911510，从而得到1的个数，再由m1m2m20191525得到

【详解】解：∵m11m21m201911510， 又∵m1，m2，…，m2019是从0，1，2，这三个数中取值的一列数， ∴m1，m2，…，m2019中为1的个数是2019−1510＝509， ∵m1m2m20191525， ∴2的个数为（1525−509）÷2＝508个． 故答案为：508．

【点睛】此题考查完全平方的性质，找出m1，m2，…，m2019中为1的个数是解决问题的关键． 13．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B两点，则点A，B表示的数分别为__________．

222

【答案】15，15 【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴圆的半径为5，

∴点A表示的数为15，点Ｂ表示的数为15． 故答案为：15，15．

【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．

14．古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数．我们注意到，

某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：

71113，则写成两个埃及分数的和的形式为

42123413__________． 4211【答案】

67【分析】根据题中埃及分数的概念，将

13拆成两个分子为1的分数之和即可． 421311 426711故答案为： ．

67【详解】

【点睛】本题考查了分数的基本性质，分数的加减法等，解题的关键是找到分子为1的两个分数之和．

三、解答题 15．计算：

（1）﹣2﹣3×（﹣1）； （2）(1)20122(9)||42(2)；

9（3）16(384)． 【答案】（1）1；（2）7；（3）2．

【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序依次计算即可； （2）根据有理数的混合运算顺序依次计算即可； （3）根据实数的运算法则依次计算即可． 【详解】（1）﹣2﹣3×（﹣1） ＝﹣2﹣（﹣3） ＝1． （2）(1)20122(9)||42(2)

92＝1+（﹣9）×﹣16÷（﹣2）

9＝1﹣2+8 ＝7．

（3）16(384) ＝4﹣（﹣2+4） ＝4﹣2

＝2．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练运用实数的混合运算法则是解决问题的关键． 16．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．

【答案】222．

【分析】根据两个正方形的面积可求出两个正方形的边长，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算即可得答案．

【详解】大正方形的边长=4=2，小正方形的边长=2， 2-4-2 阴影部分的面积=（2+2）×=22﹣2．

【点睛】本题考查实数的运算，正确求出两个正方形的边长并熟练掌握实数运算法则是解题关键． 17．b、c在数轴上的位置如图所示，实数a、其中c为8的立方根，求代数式a2ba的值．

【答案】2．

【分析】先根据数轴的定义可得ba0c，从而可得ba0,bc0，再根据立方根的定义可得

bc22bc2，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．

【详解】解：由数轴的定义得：ba0c，

ba0,bc0，

c为8的立方根，

c2，

则a2babc22baabcb2b，

aabcb2b，

c，

2．

【点睛】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 18．如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形，记此正方形的面积为S，边长为a．

（1）S_______，a_______． （2）估计边长a的值在哪两个整数之间；

（3）在图中的数轴上画出表示数a的点，并标记为点A．（保留画图痕迹） 【答案】（1）17，17；（2）4和5；（3）见解析

【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解；再利用算术平方根的定义求出边长； （2）根据无理数的大小估算方法解答； （3）利用勾股定理作出边长表示的无理数即可． 【详解】解：（1）由图可知：

1S=55441=17，

2∴a=17； （2）∵1617∴4175，

∴边长a的值在4和5之间； （3）如图所示：

25，

【点睛】本题考查了算术平方根，实数与数轴，以及无理数大小的比较，此种阴影部分的面积的求法是常用方法，需熟练掌握并灵活运用．

19．已知正数x的两个不等的平方根分别是2a14和a2，b1的立方根为-3；c是5的整数部分； （1）求x和b的值；

（2）式子abc的值 ；

（3）可判断2ac是 数（填“有理”或“无理”）． 【答案】（1）x36，b28；（2）34；（3）有理

【分析】（1）根据平方根性质，得2a14a2，通过求解一元一次方程，得a的值，根据乘方的性质，计算得x；根据立方根的性质，得b1327，通过求解方程即可得到答案；

（2）结合题意，根据算术平方根、实数大小比较的性质，得c2；再根据代数式的性质计算，即可得到答案；

（3）结合题意，根据算术平方根和实数分类的性质分析，即可得到答案. 【详解】（1）根据题意，得2a14a2 ∴a4

∴xa236 ∵b1的立方根为-3 ∴b1327 ∴b28；

（2）∵c是5的整数部分，且459，即2∴c2

∴abc428234 故答案为：34； （3）2ac32353

242164

∴2ac是有理数 故答案为：有理．

【点睛】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程、乘方、算术平方根、代数式、实数的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、一元一次方程、代数式、实数分类的性质，从而完成求解．

20．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：xmn（m，n是正整数，且mn），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称mn是x的最佳分解．并规定：

fxm． n31． 62例如：18可以分解成118，29或36，因为1819263，所以36是18的最佳分解，所以

f18（1）填空：f6 ；f9 ．

（2）一个两位正整数t（t10ab，1ab9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求ft的最大值； （3）填空：

①f2357 ； ②f2357 ；

23【答案】（1）

414220，1；（2）39，28，17；最大值；（3）①，②． 321157【分析】（1）仿照样例进行计算即可；

（2）由题设可以看出交换前原数的十位上数字为a，个位上数字为b，则原数可以表示为10a+b，交换后十位上数字为b，个位上数字为a，则交换后数字可以表示为10b+a，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出a与b的关系式，进而求出所有的两位数，然后求解确定出ft的最大值即可； （3）根据样例分解计算即可． 6＝2×3， 【详解】解：（1）6＝1×∵6−1＞3−2， ∴f6＝

2； 39＝1×9＝3×3，

∵9−1＞3−3， ∴f9＝1， 故答案为：

2；1； 3（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为： 10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54， ∴b−a＝6， ∵1≤a≤b≤9，

∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1， ∴t为39，28，17； ∵39＝1×39＝3×13， ∴f39＝

3； 1328＝1×28＝2×14＝4×7， ∴f28＝17＝1×17， ∴f174； 71； 17∴ft的最大值

4． 721 （3）①∵22357＝20×∴f2357220； 21②23357＝24×35 ∴f2357故答案为：

32814； 30152014；． 2115【点睛】本题主要考察实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．