0579-江苏省东海县高级中学2010-2011学年度第一学期高三第三次学情调研数学试题 12.16

江苏省东海县高级中学2010－2011学年度第一学期

高三第三次学情调研数学试题

2010.12.16

考生注意：

1．本试卷包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）,

本试卷满分160分，考试时间120分钟.

2．答题前,请您务必将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置.

3．作答各题时,必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效. 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1. 在复平面内，复数zi(12i)对应的点位于第 ▲ 象限. 2. 已知函数ylg(4x)的定义域为A，集合B{x|xa}，

若P：“xA”是Q：“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围 ▲ ． 3. 已知{an}满足a1a21,an2an1an1an . 1则a6a5的值为 ▲4. 若l,m,n是三条互不相同的空间直线，,是两个不重合的平面，

则下列命题中为真命题的是 ▲ ．

①若//,l,n,则l//n； ②若,l,则l； ③若ln,mn,则l//m； ④若l,l//,则.

325. 奇函数f(x)axbxcx在x1处有极值，则3abc的值为 ▲ ．

6. 执行右边的程序框图，若p4，则输出的S ▲ ．

7. 已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(a,2),B(4,a),C(a1,1)， 则三角形ABC的外接圆的方程是 ▲ . 8. 函数f(x)xax在[1，4]上单调递增，则实数a的最大值为 ▲ ． 9. 已知P是以F1,F2为焦点的椭圆

xa22yb221(ab0)上的一点，

若PF1PF20，tanPF1F212，则此椭圆的离心率为 ▲ ．

1

10. 函数f(x)x2bx在点A(1,f(1))处的切线方程为3xy10，

_______.  的前n项和为Sn，则S2011为_____▲f(n)1设数列11. 在三角形ABC中，A,B,C所对的边长分别为a,b,c， 其外接圆的半径

5636R，

1sinA2sinBsinC12. 设点O在△ABC的内部且满足:4OAOBOC0，现将一粒豆子随机撒在△ABC中，

则(a2b2c2)(1212_ ____. )的最小值为_____ ▲

则豆子落在△OBC中的概率是 ▲ ．

13. 设函数f(x)x2axa3,g(x)ax2a．若x0R，使得f(x0)0与g(x0)0同时成立，

则实数a的取值范围是 ▲ ．

14. 数列an的前n项和为Sn，若数列an的各项按如下规律排列：

112123123412n1,,,,,,,,,,,,,,,有如下运算和结论： 2334445555nnn3① a24;

8② 数列a1,a2a3,a4a5a6,a7a8a9a10,是等比数列；

nn42③ 数列a1,a2a3,a4a5a6,a7a8a9a10,前n项和为Tn④ 若存在正整数k，使Sk10,Sk110,则ak

57;

.

其中正确的结论有 ▲ .(请填上所有正确结论的序号)

二、解答题（共6小题，共90分）

15．(本题满分14分)

在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinBcosC， （1）求角A，B，C的大小； （2）若BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积．

2

16. (本题满分14分)

如图甲，直角梯形ABCD中， ABAD,AD//BC,F为AD的中点，E在BC上，且

EF//AB,

已知ABADCE2,现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE平面ABEF.

(1) 求证：AD//平面BCE； (2) 求证：AB平面BCE；

(3) 求三棱锥CADE的体积.

图甲 图乙

17. (本题满分14分)

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元） 项 目 类 别 A产品 B产品 年固定成本 20 40 每件产品 成本 m 8 每件产品 销售价 10 18 每年最多可 生产的件数 200 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m[6,8]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明

其定义域；

（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．

3

2

18．(本题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中 ，已知以O为圆心的圆与直线l：ymx(34m)，(mR)恒有公共点，

且要求使圆O的面积最小. （1）写出圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|PA|、|PO|、求PAPB|PB|成等比数列，

的范围；

（3）已知定点Q（4，3），直线l与圆O交于M、N

否有最大值，

若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由.

19. (本题满分16分)

已知函数f(x)x2mx(mR),g(x)lnx.

（1）记h(x)f(x)g(x),当m1时，求函数h(x)的单调区间；

（2）若对任意有意义的x，不等式f(x)g(x)恒成立，求m的取值范围； （3）求证：当m1时，方程f(x)g(x)有两个不等的实根

20．(本题满分16分)

4

两点，试判断QMQNtanMQN 是

已知整数数列{an}满足：a11,a22，2an1an1an12an1(nN,n2). ．．(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 将数列{an}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

……

依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{bn}， 求b5b100的值； (3) 令cn2banb2an1 (b为大于等于3的正整数)，问数列{cn}中是否存在连续三项

成等比数列？

若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.

东海县高级中学高三第三次学情调研数学试题参考答案

一、填空题

1. 二 2. a4 3. 96 4. ④ 5. 0 6.

(x2)y221516 7.

5 8. 2

201120129.

53 10. 11.

256 12.

23 13. （7，＋∞） 14. ① ③

④

二、解答题

15．解:（1）由sinAsinB知AB，所以C2A，又sinAcosC得sinAcos2A，

即2sin2AsinA10，解得sinA故AB612，sinA1（舍）．

，C23． …………………………………………6分

（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为7，故在△ABM中，由余弦定理得

5

AM2c2a242ca2cos6， 即7c2a2432ac. ① ………………8分

在△ABC中，由正弦定理得 asinbsinsinc23, 即abc366. ② ………………10分

由①②解得a2,b2,c23. ………………12分 故ABC的面积S12absinC1222323.

………………14分

16.证明:（1）由题意知AF//BE,AF//面BCE,同理，DF//CEDF//面BCE………2分 又AFDFF,AF面ADF,DF面ADF面ADF//面BCE ………………4分

AD面ADFAD//面BCE． ………………………………………5分

(2)在图甲中，EF//AB,ABADEFAD在图乙中CEEF ………………………6分

平面CDEF平面ABFE,平面CDEF平面ABFE=EFCE平面ABEFCEAB，又ABBE,AB平面BCE ………………………10分

（3）平面CDEF平面ABEF,AFEFAF平面CDEF，AF为三棱锥A-CDE的高，且

AF1

又AB=CE=2,SCDE=1222=2VC-ADE=VA-CDE=1321=23 ………………………14分

17．解：（Ⅰ）设年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润y1,y2分别为：

y110x20mx10m2x2020x且2x00N………3分

y218x408x0.05x0.05x10x40

y20.05x100460,0x120,xN. …… 6分 （Ⅱ）6m8，，10m0，y1(10m)x20为增函数，

又0x200,xNx2002时，生产A产品有最大利润为

10m200201980200m

（万美元）……………………………………8分

又y20.05x100460,0x120,xN.x100时，生产B产品

2 6

有最大利润为460（万美元） 10分

作差比较：

6m7.60,　　(1980200m)4601520200m0,　　m7.6…12分

0,　　7.6m8(y1)max(y2)max 所以：当6m7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；

当m7.6时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；

当7.6m8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润． …………14分

18．解：（1）因为直线l：ymx(34m)过定点T（4，3） ,由题意，要使圆O的面积最小,

定点T（4，3）在圆上， 所以圆O的方程为x2y225. …………………………4

分

22（2）A（-5，0），B（5，0），设P(x0,y0)，则x0y025……（1）

PA(5x0,y0)2，|PO||PA||PB |，PB(5x0,y0)，由|PA|,|PO|,P|成B等比数列得，

222222即x0y0(x05)y0(x05)y022，整理得：x0y0252,即x02252y0 ……（2） 22由（1）（2）得：0y025PAPB[,0)2254，PAPB(x0225)y022y02252， ……………………

10分

（3）QMQNtanMQN|QM||QN|cosMQNtanMQN

|QM||QN|sinMQN2SMQN . …………………………12分

由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（4，3）， 直线lMQ：y3，|MQ|8，则当N(0,5)时SMQN有最大值32. ………14

分

即QMQNtanMQN有最大值为32，此时直线l的方程为

2xy5. 0 ………16分

1时，h(x)xxlnx(x0),219. 解：(1)当m

7

h'(x)2x11x2xx1x2(x1)(2x1)x(x0),……3分

当0x1时，h'(x)0,h(x)的单调减区间为(0,1);…………4分 当x1时，h'(x)0,h(x)的单调减区间为(1,).…………5分 (2) f(x)g(x)等价于xmxlnx，其中x令t(x)xlnxx,得t'(x)xlnx12220,mxlnxx2xlnxx…………6分

x当0x1时，t'(x)0,当x1,…………7分 分

0.

2时，t'(x)0,

mt(x)mint(1)1,m1…………10

(3)设h(x)f(x)g(x)x2mxlnx,，其中xh'(x)2xm1x2xmx1x220,等价于2xmx10,此方程有且只有一个正

根为

x0mm428,…………11分

且当x(0,x0)时，h'(x)0,h(x)在(0,x0)上单调递减； 当x(x0,)时，h'(x)0,h(x)在(x0,)上单调递增； ∴函数只有一个极值h(x)min当m分

m1,(m8)9m8(1m)0,m83mmm422h(x0)x0mx0lnx0.…………12

2分

1时，x0mm428,关于m在(1,)递增，x0(1,),lnx00.…………13

2222 分 ………15分

x0m8mm283m40,…………14

h(x)minh(x0)x0mx0lnx0x0(x0m)lnx00,当m1时，方程f(x)g(x)有两个不等的实根。………16分

20．解：（1）因为数列{an}是整数列，所以an是整数， 所以2an1,an1an1,2an1都是整数，

又2an1an1an12an1(nN,n2)，所以2anan1an1.……3分 即数列{an}是首项为1，公差da2a11的等差数列， 所

an1以

. ……………5分 a1(（2）设每一个循环（4行）记为一组，由于每一个循环含有4行，

故b100是第25个循环中第4行中各数之和. ……………6分

8

由循环分组规律知，每个循环共有10项，

故第25个循环中的第4行内的4个数分别为数列{an} 的第247项至第250项，

又ann，

所以b100247248249250994.…8分

又b5a1111，所以b5b100119941005. ……………10分 （3）因为cn2banb2等比数列，

即

(n2n2an12bnb2n1， 设数列{cn}中，cn,cn1,cn2成

cn1cncn12，

2n1所

以

(nnbbb). 2bb)化简得b2nnb(n1. 2

(*) ……………12分

当n1时，b1，等式(*)成立，而b3，故等式(*)不成立； 当n2时，b4，等式(*)成立；

当n3时，b2n(n2)b2n1(n2)b2n14b，这与b3矛盾， 这时等式(*)不成立. ………… …14分

综上所述，当b4时，数列{cn}中不存在连续三项成等比数列；

当b4时，数列{cn}中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，

50. ………16分

9