2015年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ） A． {x|﹣1＜x＜3} B． {x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D． {x|2＜x＜3}
考点：并 集及其运算． 专题：函 数的性质及应用． 分析：求 解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，
根据集合的并集可求解答案． 解答：解 ：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，
∴集合A={x|﹣1＜x＜2}， ∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}， 故选：A 点评：本 题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．
2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（ ） A． ﹣i B． ﹣3i C． i D． 3i
考点：复 数代数形式的乘除运算． 专题：计 算题． 分析：
通分得出，利用i的性质运算即可．
解答：
解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，
∴===i，
故选；C 点评：本 题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题． 3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
1
A．
﹣
B．
C．
﹣
D．
考点：程 序框图． 专题：图 表型；算法和程序框图． 分析：模 拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计
算并输出S的值为． 解答：解 ：模拟执行程序框图，可得
k=1 k=2
不满足条件k＞4，k=3 不满足条件k＞4，k=4 不满足条件k＞4，k=5
满足条件k＞4，S=sin输出S的值为．
故选：D． 点评：本 题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A． B．
y=cos（2x+） y=sin（2x+） C． y=sin2x+cos2x D． y=sinx+cosx
考点：两 角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 专题：三 角函数的图像与性质． 分析：求 出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
=，
2
解答：解 ：
y=cos（2x+y=sin（2x+
）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 ）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
sin（2x+sin（x+
），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y=sin2x+cos2x=y=sinx+cosx=
），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选：A． 点评：本 题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能
力．
5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣
=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的
两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（ ） A． B． C． 6 2
D． 4
考点：双 曲线的简单性质． 专题：圆 锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求 出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|． 解答：
解：双曲线x2﹣
=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，
过双曲线x2﹣
=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，
可得yA=2，yB=﹣2，
∴|AB|=4． 故选：D． 点评：本 题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用． 6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A． 144个 B． 120个 C． 96个 D． 72个
考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：根 据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4
中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
3
解答：解 ：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、
4中其中1个； 分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选：B 点评：本 题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位
数字的特征，进而可得其可选的情况．
7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|
，
，则
=（ ）
C． 9
D． 6
|=6，|
|=4，若点M、N满足
A． 20 B． 15
考点：平 面向量数量积的运算． 专题：平 面向量及应用． 分析：
根据图形得出=+=
， =
•（
）=
2
==，﹣，
结合向量结合向量的数量积求解即可． 解答：
解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足
∴根据图形可得：=∴∵
2
，，
=+，
=，
=
=
=
， •（
）=
2
2
﹣，
=
2
，
，
=
|∴故选：C
22
|=6，|
=
|=4，
2
2
=12﹣3=9
4
点评：本 题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的
分解，表示． 8．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ） A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
考点：必 要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简 易逻辑． 分析： 解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1， 求
loga3＜logb3，或根据对数函数的性质求解即可，
再利用充分必要条件的定义判断即可． 解答：解 ：a、b都是不等于1的正数，
∵3a＞3b＞3，
∴a＞b＞1， ∵loga3＜logb3， ∴即
， ＜0，
或
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件， 故选：B． 点评：本 题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关
键是分类讨论．
9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）
B． 18
C． 25
D．
A． 16
考点：基 本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
5
专题：函 数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析：
函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，则
f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值． 解答：
解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
减，
∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即
]上单调递
由（2）得m≤（12﹣n）， ∴mn≤n（12﹣n）≤
检验m=3，n=6满足（1）和（2）． 故选：B．
解法二：
∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[∴①m=2，n＜8 对称轴x=﹣
，
]上单调递减，
=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经
②即
③即
设或或
6
设y=，y′=
，
当切点为（x0，y0），k取最大值． ①﹣
=﹣2．k=2x
，
∴y0=﹣2x0+12，y0=∵x=3＞2
∴k的最大值为3×6=18 ②﹣
=﹣．，k=
=2x0，可得x0=3，y0=6，
，
y0==，
2y0+x0﹣18=0， 解得：x0=9，y0= ∵x0＜2
∴不符合题意．
7
③m=2，n=8，k=mn=16
综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18， 故选；B 点评：本 题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判
断，难度较大，属于难题．
10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） A． （1，3） B． （1，4） C． （2，3） D． （2，4）
考点：抛 物线的简单性质；直线与圆的位置关系． 专题：综 合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）先
的距离为4，即可得出结论． 解答： ：设A（x1，y1）解，B（x2，y2），M（x0，y0），
斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，
则
，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2， 因为直线与圆相切，所以即M的轨迹是直线x=3． 将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴∵M在圆上，∴
，∴r2=
，
，
=﹣，所以x0=3，
∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，
故2＜r＜4时，直线l有2条； 斜率不存在时，直线l有2条； 所以直线l恰有4条，2＜r＜4， 故选：D． 点评：本 题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，
属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是 ﹣40 （用数字填写答案）．
考点：二 项式定理的应用． 专题：二 项式定理． 分析：根 据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令
8
x的指数为2求得r，再代入系数求出结果． 解答：解 ：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1=
要求x2的项的系数，
∴5﹣r=2， ∴r=3，
∴x2的项的系数是22（﹣1）3C53=﹣40． 故答案为：﹣40． 点评：本 题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种
题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是
．
；
考点：两 角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值． 专题：三 角函数的求值． 分析：利 用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 解答：
解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=
sin60°=．
故答案为：．
点评：本 题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力． 13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 24 小时．
考点：函 数与方程的综合运用． 专题：计 算题；函数的性质及应用． 分析： 题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=ekx+b，解方程，可得k，由
b，再由x=33，代入即可得到结论． 解答：解 ：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．
代入函数y=ekx+b，
可得eb=192，e22k+b=48，
即有e11k=，eb=192，
则当x=33时，y=e33k+b=×192=24．
故答案为：24． 点评：本 题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．
9
14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为
．
考点：异 面直线及其所成的角． 专题：空 间角；空间向量及应用． 分析：首 先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长
为2，M（0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cosθ=
得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数
为减函数，从而求出cosθ的最大值． 解答：解 ：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则： A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）； M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；
∴∴cosθ=
=
； ；
设f（y）=，；
函数g（y）=﹣2y﹣5是一次函数，且为减函数，g（0）=﹣5＜0； ∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0； ∴f（y）在[0，2]上单调递减； ∴y=0时，f（y）取到最大值． 故答案为：．
10
点评：考 查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成
角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．
15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=
，n=
．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n． 其中的真命题有 ①④ （写出所有真命题的序号）．
考点：命 题的真假判断与应用． 专题：创 新题型；开放型；函数的性质及应用． 分析：运 用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；
通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；
通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④． 解答：解 ：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，
则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立， 则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，
h′（x）=2x+a﹣2xln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误； 对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确． 故答案为：①④． 点评：本 题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判
断单调性是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11
16．（12分）（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记数列{
}的前n项和为Tn，求使得|Tn﹣1|
成立的n的最小值．
考点：数 列的求和． 专题：等 差数列与等比数列． 分析： Ⅰ）由已知数列递推式得到an=2an﹣1（n≥2）（，再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求
出数列首项，可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{
}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得Tn，结合
求解指数不等式得n的最小值．
解答： ：解（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 （n≥2）， 即an=2an﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，
又∵a1，a2+1，a3成等差数列， ∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
，
；
∴．
由，得
，即2n＞1000．
∵29=512＜1000＜1024=210， ∴n≥10． 于是，使|Tn﹣1|
成立的n的最小值为10．
点评：本 题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知
识，考查运算求解能力，是中档题． 17．（12分）（2015•四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
12
考点：离 散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概 率与统计． 分析：（ Ⅰ）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；
（Ⅱ）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望． 解答：解 ：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价
于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生
入选代表队的概率为：1﹣=；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人
数，
则X的可能取值为：1，2，3， P（X=1）=
=，
P（X=2）==，
P（X=3）=X的分布列： X P
=．
1
=2．
2
3
和数学期望EX=1×
点评：本 题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分
析问题解决问题的能力． 18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．
13
考点：二 面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 专题：空 间位置关系与距离；空间角． 分析：（ Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；
（Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH；（Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解． 法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可． 解答：解 ：（Ⅰ）F、G、H的位置如图；
证明：（Ⅱ）连接BD，设O是BD的中点， ∵BC的中点为M、GH的中点为N，
∴OM∥CD，OM=CD， HN∥CD，HN=CD，
∴OM∥HN，OM=HN，
即四边形MNHO是平行四边形， ∴MN∥OH，
∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH， ∴直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）方法一：
连接AC，过M作MH⊥AC于P，
则正方体ABCD﹣EFGH中，AC∥EG， ∴MP⊥EG，
过P作PK⊥EG于K，连接KM， ∴EG⊥平面PKM 则KM⊥EG，
则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角， 设AD=2，则CM=1，PK=2， 在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=， 在Rt△PKM中，KM==
，
∴cos∠PKM=
，
即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为． 方法二：以D为坐标原点，
14
分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图： 设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0）， 则
=（2，﹣2，0），
，
设平面EGM的法向量为=（x，y，z）， 则
，即
，令x=2，得=（2，2，1），
在正方体中，DO⊥平面AEGC， 则=
=（1，1，0）是平面AEG的一个法向量，
＞=
=
=
=
．
则cos＜
二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．
点评：本 题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力． 19．（12分）（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． （Ⅰ）证明：tan
；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．
15
考三角函数恒等式的证明． 点：
专三角函数的图像与性质；解三角形． 题：
分（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可． 析： Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简（
tan+tan+tan+tan=，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，
连结AC，求出sinB，然后求解即可． 解答：
证明：（Ⅰ）tan=
==．等式成立．
（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan=
=
，
连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5， 在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，
所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC， 则：cosA=
=
=．
于是sinA==，
连结AC，同理可得：cosB===，
于是sinB==．
=
=
．
所以tan+tan+tan+tan=
点本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的评： 思想，转化与化归思想的应用．
16
20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P
（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
恒成立？
考点：直 线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：创 新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：
（Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2
及离心率是，计算
即得结论；
（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有
即可．
，
解答： ：解（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2∴点（，1）在椭圆E上，
又∵离心率是
，
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆E的方程为：+=1；
恒成立．
（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得理由如下：
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点， 如果存在定点Q满足条件，则有
=
=1，即|QC|=|QD|．
∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．
17
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点， 则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），
又∵
=
，∴
=
，解得y0=1或y0=2．
∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）． 下面证明：对任意直线l，均有
．
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1， A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立
，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0， ∴x1+x2=﹣
，x1x2=﹣
，
∴+==2k，
已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2）， 又kAQ=
=
=k﹣
，kQB′=
=
=﹣k+
=k﹣
，∴kAQ=kQB′，即Q、A、B′三点共线， ∴
=
=
=
．
故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．
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点评：本 题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
考利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 点：
专创新题型；导数的综合应用． 题：
分（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得析：到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数 g（x）的单调期间；
（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）
=
x2
，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ
（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，
1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在
a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
19
解解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 答：
g（x）=，
∴
当0＜a＜时，g（x）在在区间当a
上单调递减；
时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
．
上单调递增，
（Ⅱ）由令φ（x）=
x2
=0，解得，
，
则φ（1）=1＞0，φ（e）=
故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0． 令
，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），
．
由∴
知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．
．
即a0∈（0，1），
当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0． 由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0； 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0． ∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0． 综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
点本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理评：论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化
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归与转化等数学思想方法，是压轴题．
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2015年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ） A． {x|﹣1＜x＜3} B． {x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D． {x|2＜x＜3}
2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（ ） A． ﹣i B． ﹣3i C． i D． 3i 3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．
﹣
B．
C．
﹣
D．
4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A． B．
y=cos（2x+） y=sin（2x+） C． y=sin2x+cos2x
5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣
D． y=sinx+cosx
=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的
两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（ ） A． B． C． 6 2
D． 4
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6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A． 144个 B． 120个 C． 96个 D． 72个
7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|
，
，则
=（ ）
|=6，|
|=4，若点M、N满足
A． 20 B． 15 C． 9 D． 6 8．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ） A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）
B． 18
C． 25
D．
A． 16
10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） A． （1，3） B． （1，4） C． （2，3） D． （2，4）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字填写答案）． 12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是 ． 13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时． 14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ．
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15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=
，n=
．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n． 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记数列{
}的前n项和为Tn，求使得|Tn﹣1|
成立的n的最小值．
17．（12分）（2015•四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望． 18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．
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19．（12分）（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． （Ⅰ）证明：tan
；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．
20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：
的离心率是
，过点P
（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
恒成立？
21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
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