工程力学材料力学第四完整版本习题答案解析

工程力

学材料力学

（北京科技大学与东北大学）

第一章 轴向拉伸和压缩

1-1：用截面法求下列各杆指定截面的内力

解：

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(a):N1=0,N2=N3=P

(b):N1=N2=2kN

(c):N1=P,N2=2P,N3= -P

(d):N1=-2P,N2=P

(e):N1= -50N,N2= -90N

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(f):N1=0.896P,N2=-0.732P

注（轴向拉伸为正，压缩为负）

1-2：高炉装料器中的大钟拉杆如图a所示，拉杆下端以连接楔与大钟连接，连接处拉杆的横截面如图b所示；拉杆上端螺纹的内

径d=175mm。以知作用于拉杆上的静拉力P=850kN，试计算大钟拉杆的最大静应力。

P850kN2S1d14 解： σ1= =35.3Mpa

P850kN2S2d24 σ2= =30.4MPa

∴σmax=35.3Mpa

1-3：试计算图a所示钢水包吊杆的最大应力。以知钢水包及其所盛钢水共重90kN，吊杆的尺寸如图b所示。 解：

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90P2S0.065*0.045 =15.4Mpa

下端螺孔截面：σ1=1PS2上端单螺孔截面：σ2==8.72MPa

上端双螺孔截面：σ3=

∴σmax=15.4Mpa

PS3=9.15Mpa

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1-4：一桅杆起重机如图所示，起重杆AB为一钢管，其外径D=20mm,内径d=18mm;钢绳CB

2

的横截面面积为0.1cm。已知起重量

P=2000N， 试计算起重机杆和钢丝绳的应力。

解： 受力分析得：

F1*sin15=F2*sin45

F1*cos15=P+F2*sin45

∴σAB=

F1S1=-47.7MPa

σBC=

F2S2=103.5 MPa

1-5：图a所示为一斗式提升机.斗与斗之间用链条连接,链条的计算简图如图b 所示,每个料斗连同物料的总重量P=2000N.钢链又

两层钢板构成,如c所示.每个链板厚t=4.5mm,宽h=40mm,H=65mm,钉孔直径d=30mm.试求链板的最大应力.

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解:

F=6P

2

S1=h*t=40*4.5=180mm

S2=(H-d)*t=(65-30)*4.5=157.5mm

2

∴σmax=

FS2=38.1MPa

1-6:一长为30cm的钢杆,其受力情况如图所示.已知杆截面面积A=10cm2,材料的弹性模量E=200Gpa,试求;

(1) AC. CD DB 各段的应力和变形.

(2) AB杆的总变形.

解: (1)σAC=-20MPa,σCD=0,σDB=-20MPa;

NLACL

△ l AC=EA=EA=-0.01mm

CDL

△

l CD=

EA=0

DBL

△

L DB=

EA=-0.01mm

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(2) ∴

lAB=-0.02mm

1-7:一圆截面阶梯杆受力如图所示,已知 材料的弹性模量E=200Gpa,试求各段的应力和应变. 解:

ACCB

P31.8MPaSACP127MPaSCB

ACNLACLEAEAAC1.59*104,

CBNLCBLEAEACB6.36*104

1-8:为测定轧钢机的轧制力,在压下螺旋与上轧辊轴承之间装置一测压用的压头.压头是一个钢制的圆筒,其外径D=50mm,内径

d=40mm,在压头的外表面上沿纵向贴有测变形的电阻丝片.若测得轧辊两端两个压头的纵向

-2

应变均为ε=0.9*10,试求轧机的总轧

制压力.压头材料的弹性模量E=200Gpa. 解:

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NlEAll lNEA

NEA2.54*106N

1-9：用一板状试样进行拉伸试验，在试样表面贴上纵向和横向的电阻丝来测定试样的改变。已知b=30mm,h=4mm;每增加3000N的拉力时，测得试样的纵向改变

1=120*10，横向应变

-6

238*106 解：

。求试样材料的弹性模量和泊松比。

E208GPa,0.317

1-10：连杆端部与销轴相连，其构造如图，设作用在连杆的轴向力P128kN，螺纹处的内径d3.7cm，螺栓材料的许用应 力

60MPa，试校核螺栓的强度。

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解：

max59.5MPa

21-11：用绳索吊运一重P20kN的重物。设绳索的横截面积A12.6cm，许用应力

10MPa,试问：

o（1）当45时，绳索强度是否够用？

o（2）如改为60，再校核绳索的强度。

o11.2解：（1）当45，强度不够 o9.17 （2）当60， 强度够

1-12：图示一板卷夹钳同时吊两个钢卷，已知每个钢卷重100kN,AB与AC两杆夹角为120，其横截面为100*150mm的矩形，

材料的许用应力

解：

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2o80MPa，试校核两杆的强度。

Y0,p200kNSP200kNS200*10313.3MPa6A100*150*10

1-13：某金属矿矿井深200m ,j井架高18m ,起提升系统简图如图所示，设罐笼及其装载的矿石重Q45kN，钢丝的自重为

p23.8N/m；钢丝横截面面积为A2.51cm2，抗拉强度b1600MPa。设安全系数，

试校核钢丝的强度。

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解：

max200MPa213MPa

1-14：化铁炉上的料罐如图所示，罐自重10kN，料20kN。试计算拉杆和链环拉伸部分所需的直径。材料的许用应力

120MPa

解：

d拉杆1.78cm,d链环1.26cm

1-15 悬臂吊车的尺寸和载荷情况如图所示。斜杆BC由两角钢组成，载荷Q=25 kN。设材料的许用应力[]=140 MPa，试选择

角钢的型号。

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解：

FBC22Q=70.7 kN

SFSF70.70.505140

查表得： 45*45*3

1-16 图示一手动压力机，在工件上所加的最大压力为150 kN。已知立柱和螺杆所用材料的屈服点

s=240 Mpa，规定的安全系数

n=1.5。

（1） （2）

解：(1)

试按强度要求选择立柱的直径D；

若螺杆的内径d=40 mm，试校核其强度。



sns2401601.5 MPa

PSP2d4

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D24.4mm (2)

PSP2d2119.5MPa160MPa

1-17 一汽缸如图所示，其内径D=560 mm，汽缸内的液体压强p=250 N/cm，活塞杆直径d=100 mm，所用材料的屈服点 Mpa。

（1）

（2）

2s=300

试求活塞杆的正应力和工作安全系数； 若连接汽缸与汽缸盖的螺栓直径

d1=30 mm，螺栓所用材料的许用应力

[]=60 MPa，试求所需的螺栓数。

解：（1）

DFP*A250*615440N2 F78.4MPaS 300ns3.8378.4

2AC

F''S可编辑wordN文档 F'S'60*3.14*15*1542390

n

F61544014.5215'F42390

1-18 起重吊钩上端借助螺母支搁，吊钩螺纹部分的外径d=63.5 mm，内径为20钢，许用应力[]=50 Mpa。试

根据吊钩螺纹部分的强度确定吊钩的许用起重量P。

解：P=119kN

d1=55 mm；材料

1-19 如入所示结构的AB杆为钢杆，其横截面积杆为木杆，横截面积用压应力[

A1=6 cm，许用应力[]=140 MPa；BC

2A2=300cm，许

2C]=3.5 MPa。试求最大许可载荷P。

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解：

SAB:P:SBC3:4:5SAB

35P(拉)，SBCP44

34同理P284kNSABA184kNSPAB112kN1

所以最大载荷 84kN

1-20 起重机如图所示，钢丝绳AB的横截面面积为500mm，许用应力[]=40 Mpa。试根

2据钢丝绳的强度求起重机的许用起重量 P。

解： P=33.3 kN

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1-21 一不变形的刚性梁AB搁于三个相同的弹簧上，在梁上D处作用一力P，如图所示。设

S已知弹簧刚性系数C（=l），试求

A、B、C处三个弹簧各受力多少？ 解：

FAP71,FBP,FCP12123

1-22 如图所示为一中间切槽的钢板，以螺钉固定于刚性平面上，在C处作用一力P=5000 N，有关尺寸如图所示。试求此钢板的

最大应力。 解：

MAX10MPa

1-23 两钢杆如图所示，已知截面面积

6A1=1 cm，

2A2=2 cm；材料的弹性模量E=210Gpa，

2线膨胀系数=12.5×10 l/C。当

温度升30C时，试求两杆内的最大应力。 解：

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X0RARBR

ltlr

ltlABt

lRlAClDBlCD2RlRlcdEA2EA1lAFR2RlACRlCD3RlCDEA2EA1EA1EA1t5EA1t3lCD3S131.3MPaA1

MAX

第二章 剪切

2-1 一螺栓连接如图所示，已知P=200 kN， =2 cm，螺栓材料的许用切应力[τ]=80Mpa，试求螺栓的直径。

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解：d4cm

2-2 销钉式安全离合器如图所示，允许传递的外力偶距 m=10kN·cm，销钉材料的剪切强度极限

b=360 Mpa，轴的直径D=30

mm，为保证m＞30000 N·cm 时销钉被剪切断，求销钉的直径 d。

解：

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M00T0QD0Q10000NQ3.142d4d5.95mm

2-3 冲床的最大冲力为400 kN，冲头材料的许用应力[σ]=440 Mpa，被冲剪钢板的剪切强度极限

下所能冲剪圆孔的最小直径D和钢板的最大厚度。

b=360 Mpa。求在最大冲力作用

解：d34mm,10.4mm

2-4 已知图示铆接钢板的厚度=10 mm，铆钉的直径为[τ]=140 Mpa，许用挤压应力[

bs

]=320 Mpa，P=24 kN，试做强度校核。

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解：

105.7MPaj141.2MPaLj

2-5 图示为测定剪切强度极限的试验装置。若已经低碳钢试件的直径D=1 cm，剪断试件的外力P=50.2Kn，问材料的剪切强度极

限为多少？ 解：

b320MPa

2-6一减速机上齿轮与轴通过平键连接。已知键受外力P=12 kN，所用平键的尺寸为b=28 mm，h=16 mm，l=60 mm，键的许用应 力[τ]=87 Mpa，[

bs

]=100 Mpa。试校核键的强度。

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解：

QP12kNAlb1680mm2Q7.14MPaAP12kNAiKl7.7*60462mm2P1200026MPajA462

i

所以都满足

2-7图示连轴器，用四个螺栓连接，螺栓对称的安排在直径D=480 mm的圆周上。这个连轴结传递的力偶矩m=24 kN·m，求螺

栓的直径d需要多大？材料的许用切应力[τ]=80 Mpa。

（提示：由于对称，可假设个螺栓所受的剪力相等）

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解：d20mm

2-8 图示夹剪，销子C的之间直径为0.6 cm，剪直径与销子直径相同的铜丝时，若力P=200 N，a=3 cm，b=15 cm，求铜丝与销子

横截面上的平均切应力。

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解：

MC0,RAaPb0RAPb1000NaY0,RCRAP0RCRAP1200Q销RC1200NQ铜RA1000N铜50.9MPa销61.1MPa：

2-9 一冶炼厂使用的高压泵安全阀如图所示，要求当活塞下高压液体的压强达到p=3.4 Mpa时，使安全销沿1-1和2-2两截面剪断，从而使高压液体流出，以保证泵的安全。已知活塞直径D=5.2cm，安全销采用15号钢，其剪切强度极限

定安全销的直径d。

b=320 Mpa，试确

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解： d3.79mm

第三章 扭转

3-1 试求图视各轴在指定横截面1-1、2-2和3-3上的扭矩，并在各截面上表示出钮

矩的方向。

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解：

据截面沿指定截面i-i (i=123)将杆截为两段，考虑任一段的平衡即可得该指定截面上的扭矩

Ti，例如题b:

（1）1-1截面

由 图所示，为负扭矩）

（2）2-2截面

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Mx=0，1+2-

T1=0 得

T1=1+2=3kN.m（方向如

由 示，为正扭矩)

（3）3-3截面

由 由以上各扭矩

Mx=0，1+2-6+

T2=0 得

T2=6-2-1=3kN.m (方向如图所

Mx=0，

T3=0

Ti的计算式可知，轴内任一横截面的扭矩，在数值上就等于该截面一侧各外

力偶矩值的代数和；而扭矩的方向则与截面任一侧合外力偶的方向

相反。利用这一规则可迅速求得任一截面的扭矩，而无须将轴截开。剧此规则可得a各截面的扭矩：

T1=3kN.m，

T2T3=

=-2kN.m

3-2

试绘出下列各轴的钮矩图，并求

Tmax。

解： （a） 3-3

Tmax=2

T0， （b）

Tmax=4

T0

试绘下列各轴的扭矩图，并求出

Tmax。已知

ma=200N.m,mb=400N.m,mc=600N,m.

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解： （a）

Tmax=600N.m ，（b）

Tmax=400N.m

3-4 一传动轴如图所示，已知ma=130N..cm, mb=300N.cm , mc=100N.cm, md=70N.cm;各段轴的直径分别为：Dab=5cm, Dbc=7.5cm, Dcd=5cm

(1)画出扭矩图；

（2）求1-1、2-2、3-3截面的最大切应力。 解：

T1=-130N.m，

T2=170 N.m，

T3=70N.m

1max=5.3 MPa , 2max=2.05 MPa , 3max=2.85MPa

3-5 图示的空心圆轴，外径D=8cm,内径d=6.25cm,承受扭矩m=1000N.m. (1)求

max、

min

（2）绘出横截面上的切应力分布图；

（3）求单位长度扭转角，已知G=80000Mpa.

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解：

max15.9a,min12.4a,0.284/mmb=1800N.m,

3-6 已知变截面钢轴上的外力偶矩相对扭矩。已知G=80*10Pa.

9mc=1200N.m, 试求最大切应力和最大

解：

（1）各段轴横截面的扭矩：

AB段

ABAB180012003000N.mBCC1200N.m（为负扭矩）

（负扭矩）

BC段

(2) 最大剪应力计算： 因两段轴扭矩不同，所以应分别计算每段轴内横截面的最大剪应力值，然后加以比较找到最大减应力值。

max1AB段

AB16300036.2MPa39WTAB7510

max2BC段

比较

BC16120048.9MPaWTBC503109

max1,max2得最大剪应力发生在BC段，其数值为

max1max248.9MPa

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(3)最大相对扭转角 因轴内各截面扭矩方向都一致，所以最大相对扭转角

max即

为整个轴长的总扭转角。在使用扭转角公式

TlGIp时，注意到该式的使用

条件必须是对应于所算转角的长度l段内，G、扭转角，然后相加即得最大相对扭转角。

Ip、T为常数。故分别计算两段轴的

maxABBC

TABlABTBClBC3000750108GIPABGIPBC80109754101232+

12005001038010 3-7

93212501040.0213弧度=1.22度

一钢轴的转矩n=240/min. 传递功率

pk=44.1kN.m.已知

=40Mpa,=1,G=80*103MPa,

试按强度和刚度条件计算轴的直径

解： 轴的直径由强度条件确定，d60.7mm。 3-8

图示实心轴通过牙嵌离合器把功率传给空心轴。传递的功率

pk=7.5kw,轴的转速

n=100r/min,试选择实心轴直径d和空心轴外径

d2。已知

d1d2/

=0.5，

=40Mpa.

解： （1）外力偶矩的计算

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T09550Nk95507.5716N.mn100

（2） 两轴各截面传递的扭矩

TT0716N.m

max （3） 实心轴所需直径由

TWT得

d

316T316716401060.045m 选d=45mm.

max (4) 空心轴的外、内选择 由

T16d2(1)34得

d2 选

316T1671630.046m(14)40106(10.54) 所以

d246mmd1d20.54623mm。

3-9 图示AB轴的转速n=120r/min,从B轮上输入功率

pk=40kw,此功率的一半通过锥齿轮

传给垂直轴V，另一半功率由水平轴H传走。已知锥齿轮的节圆直径

D1=600mm；各轴直径为

d1=100mm,

d2=80mm,

d3=60mm,

=20MPa，试对各轴进行强度校

核。 解： AB 轴

水平轴H

垂直轴 V

1max16.2MPa

2max15.8MPa

3max15.0MPa

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3-10 船用推进器的轴，一段是实心的，直径为280mm，另一段是空心的，其内径为外径的一半。在两段产生相同的最大切应力的条件下，求空心部分轴的外径 D.

解：提示 设扭矩为T，分别列出实心轴及空心轴截面上的最大剪应力计算式，然后将其代入条件式

实max、

空max的

空max实max即可求出D.

D=286mm

3-11 有一减速器如图所示。已知电动机的转速n=960r/min, 功率45钢，

pk=5kw；轴的材料为

=40MPa 试按扭转强度计算减速器第一轴的直径。

解： d18.5mm

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3-12 一传动轴传动功率

试计算轴的直径。

pk=3kw，转速n=27r/min，材料为45钢，许用切应力

=40MPa。

解： d51.3mm

3-13 一钢制传动轴，受扭矩T=4kN.m，轴的剪切弹性模量G=80GPa，许用切应力

40MPa，单位长度的许用转角1/m，试计算轴的直径。

解： 由

T180GI可求d79.9mm，取d=80mm

3-14 手摇绞车驱动轴AB的直径d=3 cm，由两人摇动，每人加在手柄上的力P=250 N，若轴的许用切应力 解：

=40 Mpa，试校核AB轴的扭转强度。

,强度足够。

max18.9MPa

3-15 汽车的驾驶盘如图所示，驾驶盘的直径向力P=200 N，转向轴材料的许用切应力

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D1=52 cm，驾驶员每只手作用于盘上的最大切

=50 MPa，试设计实心转

d向轴的直径。若改为=D=0.8的空心轴，则空心轴的内径和外径各多大？并比较两者的

重量。 解：

d实22mm,D26.2mm,d21mm ，重量比 实/空=1.97

3-16 二级齿轮减速箱如图所示。已知输入功率为10 kW，又知减速箱轴Ⅱ的转速为1530 r/min，轴的直径d=2.5 cm，许用切应力

轴Ⅱ的扭转强度。 解：

=30 MPa，试按扭转强度校核

max20.3MPa，强度足够。

3-17 已知钻探机钻杆的外径D=6 cm，内径d=5 cm，功率钻杆入土深度l=40 m，

Pk=7.36kW，转速n=180 r/min，

=40 MPa。假设土壤对钻杆的阻力沿钻杆长度

均匀分布，试求：

（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩T；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核。

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解：

（1）钻杆上单位长度所受的阻力矩T

总的阻力偶矩

T0

而

T09550Nk7.369550390.5N.mn180

单位长度钻杆上的阻力矩

tT0390.59.76N.m/ml40

（2）钻杆的扭矩图 设钻杆任一横截面踞下端距离为x m()，则据截面法，该截面的扭矩

Tx在数值上即等于截面以下作用的合外力偶矩，方向则相反，即

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Txtx9.76x

（单位N.m）

T 上式为直线方程，由此画出扭矩图如图b，其最大扭矩max在杆的上端

Tmax9.76l9.7640390.4N.m

（3）钻杆的扭矩强度校核

。

max

TmaxTmax16390.417.8MPa345DdWT346(14)6[1()]10616D

钻杆的扭转强度足够。

3-18 四辊轧机的传动机构如图所示，已知万向接轴的直径d=11 cm，材料为40 Cr，其剪切屈服点

s=450 Mpa，转速n=16.4 r/min；轧机电动机的功率

PK=60 kW。

试求此轴的安全系数。

解： n6.72

第四章 弯曲内力

4-1 求下列各梁指定截面上的剪力Q和弯矩M。各截面无限趋近于梁上A、B、C等各点。

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解：

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题（b） （1）

求支反力（见图

b）

22PMA0RBRB33由，l-Pl=0 =



由

Y0，RARBP0 RAP3

（2）剪力 按计算剪力的规则

Q1RA

P3

2Q2RBP3

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（3）弯矩 按计算弯矩的规则

22M1RAlPl39

12M2RBlPl39

其它各题的答案： （a）

1113Q1ql,M1ql2;Q2ql,M2ql2;2828

（c）

1Pl11Q1Pql,M1ql2;QPql,M2Plql2;22822

（d）

Q1M0MM2,M10,Q20,M2M0,l3l3

（e）

Q1 （f）

PPl1,M1;QP,M2Pl;2222

1111Q1ql,M1ql2;Q2ql,M2ql2;8288

4-2

试列出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并求

Qmax和

Mmax。

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解：题c

(1)

剪力和弯矩方程 以左端A为原点，任一截面距左端的距离为x（图c）\\

剪力方程:

Q(x)P200N(0x1m)

弯矩方程:

M(x)Px200x(0x2m)

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M(x)PxM0200x150(2mx4m)

(2 )剪力图与弯矩图 按上述剪力方程和弯矩方程绘剪力图c和弯矩图c （3）

Qmax

与

Mmax值 由c及c得

Qmax

题（f）

=200N

Mmax=950Nm

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（1） 由

求支反力（见图

f）

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M

A0，

RB600-1004040=0

10040402667NRB60=

由

MB0，q4020-

RA60=0

10040201333NRA60=

校核：

RARB+=2667+1333=4000N=q40=10040 所以支反力计算正确

（2）剪力和弯矩方程 以左端为原点，任一截面距左端的距离为x，

则得剪力方程 ：

Q(x)RA1333N(0x20cm)

Q(x)RAq(x20)1333100x20003333100x(20cmx40cm)

弯矩方程

Q(x)RAx1333x(0x20cm)

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qM(x)RAx(x20)21333x50x22000x20000250x23333x20000(20cmx60cm)

（2）

剪力图和弯矩图

 按上述剪力及弯矩方程绘出图f及f所示的剪力图和

弯矩图所示剪力图和弯矩图.

dMdM0Q0dx图中最大弯矩的截面位置可由dx，即剪力 的条件求得

Q（x）=3333-100x=0

 x=33.3cm

Mmax5033.32333333.320000 35544Ncm （4）

Qmax

及

Mmax

由f及f得

Qmax=2667N ，

Mmax=355Nm

其他各题的答案：

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ql2QMmax2（a）max=ql =

（b） （d）

Qmax0,MmaxM0

QmaxP,MmaxPa

（e） （g） （h）

QmaxM0,MlmaxM0

QmaxP,MmaxPa

Qmax50N,Mmax10Nm

（i）

Qmaxqa,Mmaxqa2,2

（j）

Qmax5qa,M4maxqa2,2

4-3 用叠加法作以下各梁的弯矩图。并求出

Mmax。

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解：题c

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分别作

M0、q单独作用时的弯矩图（图c、c），然后将此二图叠加得总的弯矩图c。

由c可知

Mmaxql2,8

题（f）

 分别作P和q单独作用时的弯矩图（图f、f），然后将此二图叠加得总的弯矩图f。由f可知

Mmax32qa,2

其他各题答案为：

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M（a）

maxPl,4（b）Mmax3kNm

M（d）

maxPl,4（e）MmaxPa,

4-4 用剪力、弯矩和分布载荷集度之间的微分关系校核前面已画的剪力图和弯矩图是否正确。

4-5 不列剪力方程和弯矩方程，作以下各梁的剪力图和弯矩图，并求出

Qmax和

Mmax。

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解：题（d）

（1）

求支反力（图

d）

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由

MA0，

RB3a-P2a-Pa=0

3PaPR B=3a

由

MB0,Pa-Pa-

RA3a=0

R  A=0

校核

RARB+

=P+0=P

 满足

（2） （3）

y0计算正确

d、d所示

绘剪力图及弯矩图如图

Qmax及

Mmax

其他各题答案： （a） (b)

Qmax=2P,|

M|max=3 Pa

Qmax=2qa,|

M|max=qa

2可编辑word文档

392QM|(c) max=8ql, max=128ql

4-6 用合适的方法作下列各梁的剪力图和弯矩图。

解:题(a)

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(1) 求支反力(图a)

/由

Mal3llR=0， b×l-q×2×4+ql×2=0

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Rbql(Rb实际向下)8由Mb0lllRAlqlq02243qlRA(RA实际方向向下)8

校核

|RARB|

ql2qlqlqlp满足y0,8822

计算正确

（2）绘弯矩图 如a所示

//可编辑word文档

（3）|M|max计算由图a//知3ql2|M|max16其他各题答案（b）|M|maxqa25qa2(c)|M|max8(d)|M|maxqa2

4-7 试根据载荷、剪力图和弯矩图之间的关系，检查下列各梁的剪力图和弯矩图是否正确，并对错误之处加以改正。

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解：题（b）

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此梁为带中间绞的静定梁。求解时可将梁AB段视为中点受集中力P的简支梁，梁BD段视为在悬臂端受集中力

RB/作用的悬

PR/R/R臂梁，B值可由AB梁的平衡条件求得 B=B=2。由此绘出两段梁的弯矩图分别

如图b、b所示。

///pa///M|bb由图、知|max=2

题(c)

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(1) 求支反力（图c）

/1l由MB0,Rl(q0l)()023qlRA0612l由MA0，Rbl(q0l)()023qlRB03qlqlql校核RARB000满足y0,计算正确632

（2） 弯矩方程 以A为截面位置的坐标x的弯矩方程为：

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1xq0l1xxq0lx3M(x)RAx(qxx)x(q0x)(x2)2362l33l为三次曲线方程弯矩最大值的截面位置由q0l3x2l（1-2）=0 得 x=6l3l2q0lqllx3  Mmax(x2)0(13)26l6l3q0ll2q0l2 =0.06415q0l263393

（3）弯矩图如图c所示。 （4）|

//dM0，即dx

M|max=0.06415

q0l2

其他各题答案

5212qaM|max2M|max2qa（a）|= (d) |=

4-8 作下列构件的内力图。

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4-9 在梁上行走的小车二轮的轮压均为P ，如图所示。问小车行至何位置时梁内的弯矩最大？最大弯矩值是多少？设小车的轮

距为c，大梁的跨度为l。 答：

x

ld24或

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x

l3d,24

MmaxPPd2(ld)28l

第五章 弯曲应力

5-1一矩形截面梁如图所示，试计算I-I截面A、B、C、D各点的正应力，并指明是拉应力还是压应力。

解：截面弯矩 1.50.20.3Kn.m

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y0.310315103A111pa333IZ1810(3010)12 (拉)

y0.3103(15)103B111pa333IZ1810(3010)12 （压）

C0

y0.3103(10)103B74.1paIZ18103(30103)312 （压）.

5-2一外伸梁如图所示，梁为16a号槽刚所支撑，试求梁的最大拉应力和最大压应力，并指明其所作用的界面和位置。

解：由静力平衡求出支座A、B的支反力

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A0 RB1.630.860.8 RB1.5Kn

Y0

RA7.5Kn

最大正弯矩

MC1.50.81.2Kn.m

最大负弯矩 MA(3)0.82.4Kn.m

4Y18mmI73.3cm查表得 Z b=63mm 0

最大拉应力在C截面最下方

TmaxC下1.2103（6318）10373.7Mpa873.310

最大压应力在A截面最下方

CmaxA下2.4103（6318）103147.3Mpa873.310.

5-3一矩形截面梁如图所示，已知P=2KN,横截面的高宽比h/b=3;材料为松木，其许用应力为

8Pa。试选择横截面的尺

寸。

解：由静力平衡求出支座A、B的支反力

RARB3Kn

最大弯矩在中间截面上，且

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max4Kn.m

maxyIZbh12h28pa3 又 h3b

解得， b69.3mm h208mm.

5-4一圆轴如图所示，其外伸部分为空心管状，试做弯矩图，并求轴内的最大正应力。

解：（1）求支反力：

由

B0,

RA0.5KN

A0,RB0.5KN

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（2）画弯矩 （如右图）

（3）求最大正应力：

由弯矩图上可知最大弯矩发生在截面B。

抗弯截面模量

4W1326D34317cm

圆轴的最大弯曲正应力

maxmax1200670.610Pa70.6MPa6W1710.

5-5 一矿车车轴如图所示。已知 a=0.6cm,p=5KN,材料的许用应力选择车轴轴径。

解： 最大弯矩 W50.63KN.m

80Pa

，试

310380MPad3W32

解得

，

d72.6mm

W3KN.m

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5-6 一受均布载荷的外伸刚梁 ，已知q=12KN/m,材料的许用用力

160Pa。试选

择此量的工字钢的号码. 解： （1）求支反力：由对知 30KN.m

称性可

RARBql121060KN22

（2）画弯矩图

24KN.m

（3）选择截面尺寸

Wmaxc3000187.5cm3616010

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选择18号工字钢。

5-7 图示的空气泵的操纵杆右端受力为8.5KN,截面I-I和II-II位矩形，其高宽比为h/b=3，材料的许用应力

50Pa。试求此

二截面的尺寸。

解： 由

o0 8.50.72P0.38 P16.1KN

在截面II

IW8.5103(0.720.08)bh3II12 hIbI

在截面IIII

IIW16.1103(0.380.08)b3IIhII12 hIIbII

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得

解得

bI41.7mm

hI125.1mm

bII41.7mm

hII125.1mm

5-8 图示为以铸造用的钢水包。试按其耳轴的正应力强度确定充满钢水所允许的总重量，已知材料的许用应力

100Pa，

d=200mm.

解：最大应力发生在耳轴根处



P0.3P0.3100MPa33d0.2W3232

G2P

解得 G523KN

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5-9 求以下各图形对形心轴的z的惯性矩。

解：（a） （b）

IZ89106mm4

IZ7.64106mm4

24834832IZ248(9.574)2418(269.579)1212 （d）

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188.2106mm4

（e）查表

Ix'148.3cm4 A15.64cm y'2.76cm

1.2403IZ4148.315.64(202.76)2256106mm412

4064336603IZ2260106mm41212（f）

5-10 横梁受力如图所试。 已知P=97KN,许用应力 \\

32Pa。校核其强度。

解：此横梁为变截面梁，应校核C、D二截面的强度

（1）计算C、D二截面的弯矩

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C

970000.4823280Nm2

D970000.29700Nm2

（2）计算惯性矩

321.6IZC21370321.69.8212590cm412

IZD213702740cm4

（3）校核横梁强度

D截面处

max2328010.610219.65MPa12590108

C截面处

max9700910231.8MPa8274010

5-11 铸铁抽承架尺寸如图所示，受力P=16KN。 材料的许用拉应力应力

30Pa。许用压

c100Pa。校核截面A-A

的强度，并化出其正应力分布图。

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解：截面A处弯矩 A160.58KN.m

截面A的上缘处，

tmax

Ay1t30MPaIZ

截面A的下缘处，

cmax 得

Ay2c100MPaIZ

tmax28.5MPat， cmax28.5MPac

5-12 铸铁T形截面如图所示。设材料的许用应力与许用压应力之比为翼缘的合理跨度b.

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t1c3，试确定

5-13 试求题5-1中截面I-I上A、B、C、D各点处的切应力。

5-14 制动装置的杠杆，在B处用直径d=30mm的销钉支承。若杠杆的许用应力

140Pa，销钉的100MPa，试求许

可载荷

p1和

p2。

解： 由平衡条件可得 p14p2, 再用杠杆的弯曲正应力强度条件及销钉的剪应力强度条件。 得

5-15 有工字钢制成的外伸梁如图所示。设材料的弯曲许用应力力

P11765N,P27060N

160Pa，许用且应

100MPa，试选择工字钢的型

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号。

5-16 一单梁

在梁中段的上下翼缘上各加焊一块

吊车由40a号工字钢制成，

12010mm2的盖板，如图所示。已知梁跨长l=8m,a=5.2m,材料的弯曲许用应力

140Pa，许用且应力80MPa。

试按正应力强度条件确定梁的许可载荷

p，并校核梁的切应力。梁的自重不考虑。

5-17 某车间用一台150KN的吊车和一台20KN的吊车，借一辅助梁共同起吊一重量P=300KN的设备，如图所示。

（1）重量矩150KN吊车的距离x应在什么范围内，才能保证两台吊车都不致超载；

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（2）若用工字刚作辅助梁，试选择工字钢的型号，已知许用应力160Pa。

解：

（1）求距离 x 由 A0，

2004300x10 由 B0，

300(4x2)15040

若使两台吊车都不致超载，就要求 2.0x2.67m

（2）选择工字钢型号

当重量P在辅助梁的中点时弯矩最大如图（b）（c）。则

pl 430044300KNm

max

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得

x12.67m得

x22.0m

由弯矩正应力强度条件，

Wmax300001875106m31875m3616010

查表，选50.b号工字钢。

5-18 图示简支

梁AB，若载荷P直接

作用于梁的中点，梁的最大正应力超过了许可值的30%。为避免这种过载现象，配置了副梁CD，试求此副梁所需的长度a。

解： 提示,算出无幅梁和有幅梁二种情形得罪大弯矩，使前者除以1.3应等于后者。 得到

a1.38mm.

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第六章 弯曲变形 静不定梁

6—1 用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。

解： (a)

挠曲线微分方程为：

EIv''m

积分得：

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EIv'mxC

（1）

mx2EIv''CxD2

（2）

在固定端A，转角和挠度均应等于零，即：

当x=0时，

vA'A0；

vA0

把边界条件代入（1），（2）得

C=0 D=0

再将所得积分常数

EIv'mx

''mx2EIv2

求B点处转角和挠度

x=l时代入（3），（4）

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（3）

4）

（

BmlEI

ml2vB2EI

（b）

任意截面上的弯矩为：

BMP(lx)

挠曲线的微分方程： EIv''MP(lx)

积分得

Px2EIv'PlxC2

Px3Plx2EIvCxD62(1)

(2)

在固定端B

当x=0时

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v'0v0

将边界条件代入（1）、（2）中，得：

C=D=0

再将所得积分常数C和D代回（1）、（2）式，得转角方程和挠曲线方程

Px2EIv'Plx2Px3Plx2EIv62

以截面C的横坐标x=l/2代入以上两式，得截面C的转角和挠度分别为

Pl2C8EIPl3vC24EI

(c)

求支座反力：

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MAPBlm=0

PBml

YPAPB0

PmAPBl

选取如图坐标，任意截面上的弯矩为：

Mml(lx)m

挠曲线的微分方程为：

EIv''Mml(lx)m

积分得：

EIv'mxmx2mx22lmxC2lC

可编辑word文档1） （

mx3EIvCxD6l （2）

铰支座上的挠度等于零，故

x=0时 v0

因为梁上的外力和边界条件都对跨度中点对称，挠曲线也对该点对称。因此，在跨度中点，挠曲线切线的斜率

v'和截面的转角都应等于零，即

lx=2时 v'=0

分别代入（1）、（2）式，得

C

ml8 ，D=0

以上两式代入（1）（2）得

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mx2mlEIv'2l8

mx3mlEIvx6l8

当x=0时，

A

ml8EI

当x=l/2时，

6-2、用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。

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解：AC段，

（d）、

解：取坐标系如图。

（1）、求支坐反力、列弯矩方程

支座反力，

RA

ql5RBql8 8

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AB段，

Mx1Rx1

BC段，

qlx18

qMx2RAx2(x2l)2RB(x2l)2qlq5qlx2(x2l)2(x2l)828

(2)列梁挠曲线近似微分方程并积分

AB段，

qlx18qlEIy1'x12C116qlEIy1x13C1xD148 EIy1''

BC段，

EIy2''qlq5qlx2(x2l)2(x2l)828

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EIy2'

ql2q5qlx2(x2l)3(x2l)2C216616

EIy2ql3q5qlx2(x2l)4(x2l)C2x2D2482448

（3）确定积分常数

利用边界条件：

x10

处，

y10，代入上面

EIy1式中，得

D10，

ql3C1EIy1x1ly1048 处，，再代入式中，得

x1x2l

处，

y1'y2'，由

EIy1'和

EIy2'式可得

C1C2。

x2l处，

y20，代入

EIy2式中，得

D20

（4）转角方程和挠度方程

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AB段，

ql3ql2ql2EIy1'x1(l3x12)481648

ql3qlqlEIy1x1x13(l2x1x13)484848

BC段，

ql3ql25qlqEIy2'x2(x2l)2(x2l)34816166

ql3ql35qlqEIy2x2x2(x2l)3(x2l)448484824

最后指出，列弯矩方程时，

Mx1不变，

Mx2也可取截面右侧的载荷列出，

q(Mx23lx2)222，这样可使计算大为简化。

6-3、用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。已知梁的抗弯刚读EI为常数。

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解：

（a）计算转角

B左、右集中力P分别为

P1和

P2表示集中力

P2作用下引起的转角，

BP2P2(2a)22P2a22Pa22EIEIEI

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集中力

P1作用下引起的转角，

BP12PaPa212EI2EI

所以

BBBP1P25Pa22EI

（1）

计算挠度

yB

集中力

P2作用下引起的挠度，

集中力

yBP2P2(2a)38P2a38Pa33EI3EI3EI

P1作用下引起的挠度

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2PPa311yBP1yCP1yCP2*a(a*a)3EI2EI5Pa315Pa36EI6EI

所以

yByBP1yBP2

答（b）

7Pa32EI

7ql311ql4AyA24EI，48EI

（c） (1) 力偶

计算转角

B

M0作用下引起的转角

BM

0M0lPl23EI3EI

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力P作用下引起的转角

Pl2BP16EI

所以

2BBM13Pl0BP48EI

（2）、计算挠度yC

力偶M0 作用下引起的挠度

yM0l2Pl3CM016EI16EI

力P作用下引起的转角

yPl3C148EI

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所以

yCyCM0yCPPl324EI

回答

5qa32qa4CyC6EI3EI (d ),

5ql317ql4AyC24EI384EI (e) ,

(f) 解答：

（1计算转角

B力P作用下引用的转角

BP

2Pa23EI

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力偶

M0作用下引起的转角

M0aPa2BM012EI12EI

所以

BBPBM

（2计算挠度

03Pa24EI

yD力P作用下引起的挠度

yDP 力偶

Pa3EI

M0作用下引起的挠度

yDM0

Pa2Pa3B*M0*a*a12EI12EI

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所以

yDyDPyDM013Pa312EI

6-4阶梯形悬臂梁如图所示，AC段的惯性矩为CB段的二倍。用积分法求B端的转角以及挠度。

6-5一齿轮轴受力如图所示。已知：a=100mm,b=200mm,c=150mm,l=300mm;材料的弹性模量E=210Pa;轴在轴承处的许用转角[]

=0.005rad。近似的设全轴的直径均为d=60mm,试校核轴的刚度。

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回答：

A0.375*103rad

B0.572*103rad

6-6一跨度为4m的简支梁，受均布载荷q=10Kn/m,集中载荷P=20Kn,梁由两个槽钢组成。设材料的许用应力[]=160Ma,梁的许

l用挠度[y]=400。试选择槽钢的号码，并校核其刚度。梁的自重忽略不计。

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解：

（1） 选择截面

采用迭加法可求得最大弯矩

MmaxPlql22000*410000*4240Nm4848

由正应力强度条件可得

WZ （2）

Mmax40000250*106m3250cm36[]160*10

校核刚度

采用迭加法可求得最大挠度

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Pl35ql420000*43ymax48EI384EI48*210*109*2545.4*1085*10000*430.01m384*210*109*2545.4*1018

[y]

l40.01m400400

计算可知

ymax[y]，此钢梁的刚度够。

6-7两端简支的输气管道，外径D=114mm。壁厚=4mm,单位长度重量q=106N/m,材料的弹性模量E=210Gpa。设管道的许用挠度

[y]l,500试确定管道的最大跨度。

答：l8.6m

6-8 45a号工字钢的简支梁，跨长l=10m,材料的弹性模量E-210Gpa。若梁的最大挠度不得

l超过600，求梁所能承受的布满全梁的

最大均布载荷q。

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答：q8.67kN/m

6-9一直角拐如图所示，AB段横截面为圆形，BC 段为矩形，A段固定，B段为滑动轴承。C端作用一集中力P=60N。有关尺寸如

图所示。材料的弹性模量E=210Gpa,剪切弹性模量G=0.4E。试求C端的挠度。

提示：由于A端固定，B端为滑动轴承，所以BC杆可饶AB杆的轴线转动。C端挠度由二部分组成；（1）把BC杆当作悬臂梁，受

集中力P作用于C端产生的挠度度

y1，

y10.00617m；（2）AB杆受扭转在C锻又产生了挠

y2，

y20.00205m。最后，可得

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C端的挠度

ymax0.00822m8.22mm

6-10、以弹性元件作为测力装置的实验如图所示，通过测量BC梁中点的挠度来确定卡头A处作用的力P，已知l1m,a0.1m,

梁截面宽b=60mm,高h=40mm,材料的弹性模量E=210Gpa。试问当百分表F指针转动一小格（1/100mm）时，载荷P增加多少？

6-11试求以下各梁的支反力，并做弯矩图。

由图可见有三个支反力，但在平面能够力系中，只可列出二个静力平衡方程，可知此梁是静不定梁问题。

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（1）选取静定基，建立变形条件

假想解除多余约束C，选取静定基如图（b），变形条件为

yCyCqyCRc0

（2）计算变形

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5q(2l)45ql4yCq384EI24EIR(2l)3Rl3yCRc48EL6EI

（3）

建立补充方程，解出多余反力

利用变形条件，可得补充方程

5ql4Rl3024EI6EI

算出中间支座的反力，

RC5ql4

（4）

由平衡条件求其他支座反力

因为此梁的载荷和结构有对称性，可知

3RARBql8

（5）

作弯矩图如图

c)

Mmax162ql128在中间支座处

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答：（b）

RARB511162P,RCP,Mmaxql168128

提示：题（c）在固定端处，除有反力偶此梁是一次静不定梁。可以解除支

座B，选择反力

答：

MA及竖直反力

YA外，还有水平反力

XA

，

RB作多余反力，建立补充方程求解。

XAP,YA 答 （d）

9PbPb9Pb,MA,Mmax16a816

RA6500N,R9500N,MA2800Nm,Mmax2.8kNm，在固定端。

6-12加热炉内的水管横梁，支持在三个支点上，承受纵管传来的钢锭载荷。求A、B、C处的反力。并作横梁的弯矩图。

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提示：横管简化成三支点的静不定梁。 答：

RARB234123lP,RCP,MmaxPl,3216128在距离两端的4处。

6-13在车床加工工件，已知工件的弹性模量E=220GP a,试问（1）按图（a）方式加工时，因工件而引起的直径误差是多少？

（2）如在工件自由端加上顶尖 后，按车刀行至工作中点时考虑（b），这时因工件变形而引起的直径误差又是多少？（3）二

者误差的百分比如何？

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提示：（a）情形可简化成在右端作用一集中力P的静定是悬臂梁，（b）情形可简化成左端固定右端简支的静不定梁，在中点作

用一集中力Ｐ。计算直径的误差时，应是所求得挠度y的二倍。

答：（１）

2y10.816mm,(2)2y20.0223mm,(3)二者误差百分比为２.７３％

６－１4、悬臂梁ＡＢ因强度和刚度不足，用同材料同截面的一根短梁ＡＣ加固，如图所示。问（１）支座Ｃ处的反力

RC为多

少？（２）梁ＡＢ的最大弯矩和最大挠度要比没有梁 AＣ支撑时减少多少？

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解：（1）计算约束反力

根据在加固处两个悬臂梁的挠度相等这个变形条件，来计算约束反力

RC

RC。即

lllP()2R()3R()32(3ll)2223EI3EI 6EI

可得

（2） 比较最大弯矩

没有加固梁时，

RC5P4

MmaxMAPl

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有加固时，

5l3MAPlPPl428

MCPlMmax2

比较可知，梁AB加固后，最大弯矩可减少一半。

（3） 比较最大挠度

没有加固梁时，

ymaxPl33EI

有加固时，

ymaxlRC()333lPl39Pl2(3l)6EI23EI192EI

经加固后，梁AB在右端的最大挠度要减少

Pl339Pl325Pl3 3EI192EI192EI

6-15、图示一铣床齿轮轴AB，已知传动功率若仅考虑齿轮切向力的影响，试求此

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NK7.5kW，转速n=230rpm,D轮为主动轮。

轴的弯矩图。

解：

（1）

计算AB轴上的外力

AB轴上的外力偶矩

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T09550NK7.59550*312Nmn230

作用于AB轴的左右齿轮上的切向力为

P1P2

（2）

2T02*3123280ND1190*1032T02*3126240ND2100*103

求AB轴上的约束反力

AB轴是一次静不定梁，取静定基如图（b）,变形条件为

yCyP2yP1yRC0

而

YP1P*0.15(3*0.824*0.152)48EI

yP2yRC

P2*0.15(3*0.1824*0.152)48EIRC*0.8348EI

代入有关数据，再代回变形条件中，可得

RC1580N

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由平衡条件，

（3）

RA2280N,RB3670N

作弯矩图

AB轴的弯矩图如图（c）

第七章 应力状态和强度理论

7-1 直径d=2cm的拉伸试件，当与杆轴成45斜截面上的切应力150MPa时，杆表面上将出现滑移线。求此时试件的拉力 P。

答案 略

7-2在拉杆的某一斜截面上，正应力为50MPa，切应力为50MPa。试求最大正应力和最大切应力。 解

已知：

Mmax550Nm。

xy50MP

xyyx50MP

max解 ：

xy2y2xxy5050100MP

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2

max

xy2xyxy50MP

2

7-3 已知应力状态如图a、b、c所示，求指定斜截面ab上的应力，并画在单元体上。

（a） 解

已知：

 x100MP y50MP xyyx=0

解 ：

xycos2xysin221005010050cos12062.5MP22

xy

xy10050sin2cos2sin12065MPxy2

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(b) 解

已知：

 x30MP y30MP xyyx=0

解 :

xycos2xysin2230303030cos31521.2MP22

xy

xy3030sin2cos2sin31521.2MPxy2

(c) 解

已知：

x70MP

解 ：

y70MP

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xy2yxcos2xysin270MP

xysin2xycos20

7-4已知应力状态如图a、b、c所示，求指定斜截面ab上的应力，并画在单元体上。

(a) 解

已知：

 x50MP y0MP xy20MP yx20MP

解 ：

xy2xycos2xysin2

5050cos905MP22

xy50sin2cos2sin9020cos9025MPxy2

(b) 解

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已知：

 x0MP y60MP xy40MP

解 ：

xy2xycos2xysin26060cos12040sin12010.4MP22

xy60sin2cos2sin12040cos12046MPxy2

(c) 解

已知：

 x20MP y30MP xy30MP

解 ：

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xycos2xysin2220302030cos22530sin2251.46MP22

xy

xy2030sin2cos2sin22530cos22538.9MPxy2

7-5

求图示各单元体的三个主应力，最大切应力和它们的作用面方位，并画在单元体图上。

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7-6 已知一点为平面应力状态，过该点两平面上的应力如图所示，求和最大切应力。

及主应力、主方向

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7-7 一圆轴受力如图所示，已知固定端横截面上的最大弯曲应力为40MPa，最大扭转切应力为30 Mpa，因剪力而引起的最大切

应力为6kPa.

（1） 用单元体画出在A、B、C、D各点处的应力状态；

（2） 求A点的主应力和最大切应力以及它们的作用面的方位。 答

max=56MPa max=36MPa

min=-16MPa

7-8 求图示各应力状态的主应力、最大切应力以及它们的作用面的方位。

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325kN/m0.27-9 设地层为石灰岩，波松比，单位体积重。试计算离地面400m

深处的压应力。

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7-10 图示一钢制圆截面轴，直径d=60mm,材料的弹性模量E=210Gpa。波松比 0.28，用电测法测得A点与水平面成45方向 的线应变

45431106，求轴受的外力偶矩m。

7-11 列车通过钢桥时，在大梁侧表面某点测得x和y向的线应变

x400106,y120106

，材料的弹性模量E=200Gpa，

波松比 0.3，求该点 x、y面的正应力x和y。

7-12 铸铁薄壁管如图所示，管的外直径D=200mm,壁厚t=15mm，内压p=4MPa,轴向压力P=200Kn，许用应力

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30MPa，波

松比 0.25，试用第二强度理论校核该管的强度。

7-13 薄壁锅炉的平均直径为1250mm，最大内压为23个大气压（1大气压0.1MPa），在高温下工作，屈服点

s182.5MPa。若安全系数为1.8，试按第三、第四强度理论设计锅炉的壁厚。

第8章 组合变形构件的强度

2

8-1斜杆AB的截面为100×100mm的正方形，若P=3kN,试求其最大拉应力和最大压应力。

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解：

对A点取矩

∑M（A）=FB×2.5-P×0.75=0

FB =0.9kN

可以得到弯矩图

1125N·M

A B

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轴力FAB=P×cosΦ= 2.4kN 轴力图

2.4kN

由轴向力产生的压应力=-2400/0.01=240000Pa=-0.24MPa

由弯矩在梁的截面上产生的最大正应力为

Mmax

max =

W

=1125/0.000167=6.74106Pa=6.74MPa

在梁街面上产生的最大的拉应力

1=6.74-0.24=6.5MPa

最大的压应力

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×

2=-6.74-0.24=-6.98MPa

8-2水塔受水平风力的作用，风压的合力P=60kN.作用在离地面高H=15m 的位置，基础入土深 h=3m 设土的许用压应力[б]

=0.3MPa,基础的直径d=5m 为使基础不受拉应力最大压应力又不超过[б]，求水塔连同基础的总重G允许的范围。

d2解： 水塔的底端的截面面积：A=4

由重力G产生的压应力为：

=19.625m

2

g=G/A

由风压合力P产生的最大正应力为

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W

由已知条件可得：

0.088MPa≤

d332=12.27m3

maxM/W=P·(H+h)/W=0.088MPa

=

max -

g≤0

max +

g ≤[

 ]

g≤0.212MPa

1.727kN≤G≤4.163kN

8-3悬臂吊车如图所示起重量（包括电葫芦）G=30kN衡量BC 为工字钢，许用应力[]=140MPa,试选择工字钢的型号（可近似按

G行至梁中点位置计算）

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∑M（C）= Fb×1.25-G×1.25=0

Fb=G=30kN

。

轴向力 FBC=Fb×cos30=29.58kN

29580N

轴力图

弯矩图

Mmax=18750N·m

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由弯矩产生的正应力

max=M·y/Iz

由轴向力产生的正应力

=FBC/A

其中A为梁的横截面面积

+ max≤[бg]=140MPa

查表得选择 18号工字钢

8-4 如图所示，已知P2kN，偏心距e6cm，b1cm,h2.2cm.材料是3号钢，s240MPa，

规定安全系数n=1.5。试校核竖杆的强度。

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杆的矩形截面尺寸

竖

答：算得n=1.52>

n,所以安全.

8-5 若在正方形截面短柱的中间处开一个槽，使截面面积减小为原截面面积的一半，问最大压应力将比不开槽时增大几倍？

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答：增大7倍。

8-6 图示一矩形截面杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向应变分别为

a1103,b0.4103,

材料的弹性模量

E210GPa。

（1） （2）

试绘制横截面的正应力分布图。

求拉力P及其偏心距e的数值。

答： 略

8-7 一矩形截面短柱，受图示偏心压力P作用，已知许用拉应力压应力

t30MPa,许用

c90MPa,求许用压力

P。

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8-8 加热炉炉门的升降装置如图所示。轴AB的直径d=4cm，CD为42cm的矩形截面杆，材料都是Q235钢，

知力P=200N。

（1） （2）

2s240MPa,已

试求杆CD的最大正应力；

求轴AB的工作安全系数。

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提示：CD杆是压缩与弯曲的组合变形问题。AB轴是弯曲与扭转的组合变形构件，E处是危险截面，M=154.5N*m,T=173.2 N*m。 答：（1）

max32.6MPa

（2）按第三强度理论，n=6.5 按第四强度理论，n=7.0

8-9 一轴上装有两个圆轮如图所示，P、Q两力分别作用于两轮上并处于平衡状态。圆轴直径d=110mm，

=60Mpa，试按照第

四强度理论确定许用载荷。

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8-10 铁道路标的圆信号板，装在外径D=60mm的空心圆柱上。若信号板上作用的最大风载的强度p=2kPa,已知

试按第三强度理论选定空心柱的壁厚。

60MPa，

答：=0.26cm

8-11 一传动轴其尺寸如图所示，传递的功率P=7kW，转速n200r/min，齿轮I上的啮合力

Pn与齿轮结圆切线成20的夹

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角，皮带轮Ⅱ上的两胶带平行，拉力为

F1和

F2，且

F12F2。若

80MPa，试在下列

两种情形下，按第三强度理论选择

轴的直径。

（1） 带轮质量忽略不计；

（2） 考虑带轮质量，设其质量Q=1.8kN。

提示：（1） 情形轴的危险截面在支座B处，M=800N•m,T=334N•m。（2）情形轴的危险截面也在支座B处，M=877

N•m,T=334N•m。

答：（1）d=48.1mm ,(2) d=49.5mm

8-12 已知一牙轮钻机的钻杆为无缝钢管，外直径D=152mm，内直径d=120mm，许用应力

100MPa。钻杆的最大推进压

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力P=180 kN，扭矩T=17.3kN*m,试按第三强度理论校核钻杆的强度。

答案:略

第九章 压杆的稳定

9-1 图示的细长压杆均为圆杆，其直径d均相同．材料是Q 235钢．E＝210 GPa。其中：图a为两端铰支；图b为—端固定，一端

铰支；图c为两端固定，试判别哪一种情形的t临界力最大，哪种其次，哪种最小?若四杆直径d＝16cm，试求最大的临界力Pcr。

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解：如上图，由书中公式得：

22

Pcr=пEI/（μl）

2

I=пd/64≈0.0012566μ=1,μ=0.7,μ=0.5,

答：（a）情形最小 （b）情形次之 （c）情形最大

22

Pcr=пEI/（μl）=3290KN

9-2 图示压杆的材料为Q 235钢，E＝210GPa在正视图a的平面内，两端为铰支，在俯视图b的平面内，两端认为固定。试求此杆的临界力。

解：

分析：b向与h向先失稳的P为最终力！

3

故分别计算如下：Iz=bh/12=72cm

3

Iy=hb/12=32cm

μc=1 ,μc=0.5

22

Pcrz=пEI/（μl）=259KN

22

PcrY =пEI/（μl）=458KN PcrY > PcrZ

所以P=259KN为此压杆的临界力

9-3 图示立柱由两根10号槽钢组成，立柱上端为球铰，下端固定，柱长L＝6m，试求 两槽钢距离a值取多少立柱的临界力最大?其佰是多少?已知材料的弹性模量E＝200 GPa． 比例极限σp＝200MPa。

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解：分析：本题可通过改变横截面的I来调整立柱的性质使得立柱向两个方向失稳的P相同，这样，就使得立柱的临界力P最大：

-8-8

10号槽钢：Ix=198*10；Iy=54.9*10 截面积A=0.0012748

-8

Ix真=2Ix=396*10

2-82

Iy真=2（Iy+(a/2) A）=109.8*10+a/2*0.0012748 使用柔度判断公式：λ=（πE/σ）≈100

2

-8(396*10/2*0.12748) ≈532.9>100 I/2Aλx=μl/ =0.7*6/欧拉公式：

Pcrx=EIx/（μxl）=443.1250955591KN Iy真=Ix真

所以： a=0.067m

9-4 图示结构AB为圆截面直杆，直径d＝80mm，A端固定，B端与BC直秆球铰连接。BC杆为正方形截面，边长a＝70 mm，C端也是球铰。两杆材料相同，弹性模量E＝200GPa，比例极限σp＝200 MPa，长度l＝3m，求该结构的临界力.

2

2

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解：该结构的临界力为MIN{AB或BC的临界力} 分别求AB，BC 1． AB：（1）判断λ=（πE/σ）=≈100

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λx=μl/ I/A=0.7*4.5/0.08*4=157.3>λ （2）欧拉公式：PcrY =πEI/（μl）=399980N 2．BC:（1）判断λ=（πE/σ）≈100

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λx=μl/ I/A=1*3/0.07/2/3=>λ

（2）欧拉公式：PcrY =πEI/（μl）=N

9-5 图示托架中杆AB的直径d＝4 cm，长度l＝80 cm．两端可视为铰支，材料是Q235钢.(1)试按杆AB的稳定条件求托架的临界力Qcr; (2)若巳知实际载荷Q=70 kN，稳定安全 系数[nst]＝2，问此托架是否安全?

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9-6 悬臀回转吊车如图所示，斜杆AB由钢管制成，在B点铰支；铜管的外径D＝100mm，内径d＝86mm，杆长l＝3m,材料为Q235钢,E＝200 GPa、起重量Q＝20 kN，稳定安全系数[nst]＝2．5。试校核斜杆的稳定性。

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解：（1）计算支柱的临界力

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从型钢表上查得Imin=Iy=225cm，

rmin=ry=2.31cm。柱两端铰支，μ=1，则柔度λ=μl/ rmin*1*250/2.31=108 由表9-2知λ>λp ,故由欧拉公式计算临界力，

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Pcrx=EI/（μl）=746KN， （2）校合支柱的稳定性

nC=PCr/P=746000/200000=3.37>[nc]

9—7 矿井采空区在充填前为防止顶板陷落，常用木柱支撑，若木柱为红松，弹性模量E＝10GPa．直径d＝l 4cm规定稳定安全系数[nst]＝4,求木柱所允许承受的顶板最大压力。

9—8 螺旋千斤顶（图9-16）的最大起重量P＝150 kN，丝杠长l＝0.5m,材料为45号钢，E＝210 GPa．规定稳定安全系数[nst]＝4.2，求丝杠所允许的最小内直径d。(提示：可采用试算法，在稳定性条件式(9-11)中的临界力按大柔度公式机算，若由求出的直径算得的柔度大于λP，则即为所求直径。否则．需改用中柔度杆临界力公式计算)

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9-9 一根20a号工字钢的直杆，长l＝6m．两端固定。在温度Tl＝20℃时进行按装．此

-5。

时杆不受力。获知钢的线膨胀系数α＝125×10l／C＝2l0GPa．试问当温度升高到多少度时．杆将丧失稳定。提示：由于温度升高将引起轴向压力P，利用拉压虎克定律可算出其缩短变形

lp；其次，利用温度定律计算温度升高时的伸长变形l；再从杆的变形条件，

lp=

lT

，及临界公式，就可算得失稳时的温度

T2。

答：

T2=59.1c。

9—10 图示结构，AD为铸铁圆杆，直径d1＝6cm。弹性模量E＝9lGPa，许用压应力[σP]＝120 MPa，规定稳定安全系数[nst]=5.5，横梁EB为18号工字钢BC，BD为直径d=1的直杆，材料均为Q235钢．许用应力[σ]＝l60 Mp，各杆间的连接均为铰接。求该结构的许用栽荷

[q]＝?

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