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【校级联考】湖南省三湘名校（五市十校)2019届高三下学期
第一次联考数学（文)试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 ……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题
1．已知全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．已知 是虚数单位， 是 的共轭复数，若
，则 的虚部为（ ） A．
B．
C．
D．
3．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
试卷第1页，总6页
………线…………○…………
C．与2015年相比，2018年艺体达线人数相同 D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
4．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A．174斤
B．184斤
C．191斤 D．201斤
………线…………○………… 5．已知椭圆 的离心率为 ，则实数 等于（ ） A．2
B．2或
C．2或6 D．2或8
6．若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如下图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．在矩形 中， ， ，若向该矩形内随机投一点 ，那么使 与 的面积都小于4的概率为 A．
B．
C．
D．
9．已知集合 ，在集合 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为 ，现将组成 的三个数字按从小到大排成的三位数记为 ，按从大到小排成的三位数记为 （例如 ，则 ， ），阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 ，则输出 的值为（ ）
试卷第2页，总6页
……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※不……※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………
……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………A．792 B．693 C．594 D．495
10．过点 的直线 被圆 所截得的弦长最短时，直线 的斜率为（ ）A．1
B．-1
C．
D．
11．已知函数
， ， ，若
，且
，则 的单调递增区间为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
12．已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且当 时， .若 是函数 图像上的两个动点，点 ，则当 的最小值为0时，函数 的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
试卷第3页，总6页
………线…………○…………
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
13．已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为__________．
14．若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为__________．
………线…………○………… 15．已知数列 的前 项和为 ， .当 时， ，则 __________．
16．如图，在三棱锥 中， 、 、 两两垂直，且 ， ， .设 是底面 内一点，定义 ，其中 分别是三棱锥 、三棱锥 、三棱锥 的体积.若
，且 恒成立 ，则正实数 的最小值为__________．
评卷人 得分 三、解答题
17．在 中，内角 所对的边分别为 ，且 . （1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
18．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.
试卷第4页，总6页
……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………
注：年份代码 分别表示对应年份 .
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数 （ 线性相关较强）加以说明；
（2）建立 与 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
，
，
，
……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………
，
，
，
.
参考公式：相关系数
，
在回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
. 19．如图所示的几何体中， 为三棱柱，且 平面 ， ，四边形 为平行四边形， ， .
（1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积.
20．已知动圆 过定点 ，且与定直线 相切. （1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（2）过点 的任一条直线 与轨迹 交于不同的两点 ，试探究在 轴上是否存在定点 （异于点 ），使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由. 21．已知
.
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
试卷第5页，总6页
………线…………○…………
（2）当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 . （1）求圆 的直角坐标系方程与直线 的普通方程；
………线…………○………… （2）设直线 截圆 的弦长等于圆 的半径长的 倍，求 的值. 23．选修4-5：不等式选讲
已知关于 的不等式 的解集不是空集，记 的最小值为 . （1）求 ；
（2）已知 ， ， max
求证： .
注： 表示数集 中的最大数.
试卷第6页，总6页
……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
解出集合M，然后取补集即可. 【详解】
= ,全集 则 或 故选：C 【点睛】
本题考查集合的补集运算，属于简单题. 2．A 【解析】
由题意可得：
，
，据此可得， 的虚部为. 则
本题选择A选项.
3．D 【解析】 【分析】
设2015年该校参加高考的人数为 ，则2018年该校参加高考的人数为 . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】
设2015年该校参加高考的人数为 ，则2018年该校参加高考的人数为 .
对于选项A.2015年一本达线人数为 .2018年一本达线人数为 ，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；
对于选项B，2015年二本达线人数为 ，2018年二本达线人数为 ，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；
对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误； 对于选项D，2015年不上线人数为 .2018年不上线人数为 .不达线
答案第1页，总13页
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人数有所增加.故选D. 【点睛】
本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键． 4．B 【解析】
用 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴
，
解得 ．
∴ ．选B． 5．D 【解析】
若焦点在 轴时， ，根据
，即
，焦点在 轴时， ，即 ，所以 等于 或
8，故选D.
6．B 【解析】
若 ，因为 垂直于平面 ，则 或 ；若 ，又 垂直于平面 ，则 ，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．
考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 7．C 【解析】 【分析】
进行分解后可得结果． 画出图形，以 为基底将向量 【详解】
画出图形，如下图．
答案第2页，总13页
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选取 为基底，则 ，
． ∴
故选C． 【点睛】
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算． 8．A 【解析】 【分析】
本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，则三角形的高要 ，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率 【详解】
由题意知本题是一个几何概型的概率，
以AB为底边，要使面积小于4，由于
，
则三角形的高要 ，同样，P点到AD的距离要小于 ，满足条件的P 的区域如图， 其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 ，
∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为： ＝ ； 故选：A． 【点睛】
本题考查几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．
答案第3页，总13页
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9．D 【解析】
试题分析：A，如果输出的值为792，则 ， （ ） ， （ ） ， （ ） （ ） ，不满足题意． B，如果输出的值为693，则 ，
（ ） ， （ ） ， （ ） （ ） ，不满足题意． C，如果输出的值为594，则 ，
（ ） ， （ ） ， （ ） （ ） ，，不满足题意． D，如果输出的值为495，则 ，， （ ） ， （ ） ， （ ） （ ） ，满足题意．故选D． 考点：程序框图 10．A 【解析】
试题分析：点 在 圆内，要使得过点 的直线 被圆 所截得的弦长最短，则该弦以 为中点，与圆心和 连线垂直，而圆心和 连线的斜率为
，所以所求直线斜率为1，故选择A．
考点：直线与圆的位置关系． 11．B 【解析】 【分析】
由已知条件 求出三角函数 的周期，再由 求出 的值，结合三角函数的单调性求出单调增区间 【详解】
设 的周期为 ，由 ， ， ，得 ，
由 ，得 ，即 ， 又 ，
∴ ， ．
答案第4页，总13页
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由 ， 得 ．
∴ 的单调递增区间为 ．
故选：B． 【点睛】
本题主要考查利用 的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题 12．B 【解析】 【分析】
首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得 值,问题得解 ． 【详解】
的模不为 0 ， 解：如图， 显然
最小值为0时,只能是图中的情况，故当 此时， ，且 , 与函数图象相切，根据对称性， 易得 ， 设 ， ， 当 时， ，
答案第5页，总13页
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， ， 即 ， ， ，
当 时， ，递增， 故其最小值为： ，
根据对称性可知， 函数 在 上最小值为 ． 故选： ． 【点睛】
此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 ． 13．-13 【解析】 【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，z＝2x+y取得最小值． 【详解】
作出不等式组 表示的平面区域：
解得B（﹣11，﹣2）设z＝F（x，y）＝x+y，将得到如图的阴影部分，由
直线l：z＝x+y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最小值，
答案第6页，总13页
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∴z最小值＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13． 故答案为：﹣13 【点睛】
本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 14． 【解析】 【分析】
由函数y=f（x）的定义域为[，2]，知≤log2x≤2，由此能求出函数y=f（log2x）的定义域即
可． 【详解】
∵函数y=f（x）的定义域为[ ，2]， ∴≤log2x≤2，
∴ ≤x≤4． 故答案为： 【点睛】
本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 15．1010 【解析】 【分析】
由题意可得： ，整理变形可知当 时，数列任意连续两项之和为1，据此求解 的值即可. 【详解】
由题意可得： ， 两式作差可得： ，即 , 即当 时，数列任意连续两项之和为1， 据此可知：
.
答案第7页，总13页
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【点睛】
给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用 转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 16．1 【解析】
∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴ = +x+y 即x+y= 则2x+2y=1，又 解得a≥1
∴正实数a的最小值为1
17．（1） ;（2） . 【解析】 【分析】
（1）由题意利用正弦定理边化角可得 ，则 ，据此确定角C的值即可；
（2）由题意结合面积公式可得 ，结合余弦定理可得 ，据此求解 ABC的周长即可. 【详解】
（1）∵ ，∴由正弦定理可得： ， ∵ ，∴ ，可得： ， ∵ ，∴ .
，
（2）∵ ， ， 的面积为
，
∴可得： ，
∵由余弦定理可得： ， ∴解得： ，
∴ 的周长 . 【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
答案第8页，总13页
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18．（1）见解析；（2）1.744 【解析】 【分析】
(1)根据题中所给的公式得到r=0.99>0.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将2019年所对应的t=8代入方程可得到估计值.. 【详解】 (1)由题意得,
∴所以
与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合
与的关系.
（2）由已知得
，
，
所以， 关于 的回归方程为：
. 将2019年对应的 代入回归方程得：
所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约 万吨. 【点睛】
本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 19．（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】
（1）推导出AC1⊥A1C，AC⊥AB，AA1⊥AB，从而AB⊥平面ACC1A1，进而A1B1⊥AC1，由此能证明AC1⊥平面A1B1CD．
（2）由CD＝2，得AD＝4，AC＝AA1 2 ，三棱谁C1﹣A1CD的体积： ，由此能求出结果． 【详解】
答案第9页，总13页
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(1)∵ 为三棱柱，且 平面ABC， ，
四边形ABCD为平行四边形， ， ． 是正方形， ，
设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， ，
， 平面 ．
解：(2)∵ ， ， ， 三棱谁 的体积：
，
． 【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．(1) ，（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）假设存在点 满足题设条件，由题意可得直线 与 的斜率互为相反数，即 ，设 ， 直线与抛物线联立，利用韦达定理代入求解即可. 【详解】
答案第10页，总13页
，设 ,再由
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（1）解法1：依题意动圆圆心 到定点 的距离与到定直线 的距离相等， 由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线， 其中 ．
动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．
解法2：设动圆圆心 ，依题意： . 化简得： ，即为动圆圆心 的轨迹 的方程 （2）解：假设存在点 满足题设条件．
由 可知，直线 与 的斜率互为相反数， 即 ①
直线 的斜率必存在且不为 ，设 , 由 得 ．
由 ,得 或 ． 设 ，则 ． 由①式得
,
,即 ．
消去 ，得 ,
, ,
存在点 使得 ． 【点睛】
定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（1）见解析；（2） . 【解析】 【分析】
答案第11页，总13页
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（1） 的定义域为 ，且
，据此确定函数的单调性即可；
（2）由题意可知 在 上恒成立，分类讨论 和 两种情况确定实数b的取值范围即可. 【详解】
（1） 的定义域为 ∵
， ，
∴当 时， ； 时， ∴函数 在 上单调递减；在 上单调递增.
（2）当 时， 由题意， 在 上恒成立
①若 ，当 时，显然有 恒成立；不符题意. ②若 ，记 ，则 , 显然 在 单调递增，
（i）当 时，当 时，
∴ 时，
（ii）当 ， ， ∴存在 ，使 .
当 时， ， 时， ∴ 在 上单调递减；在 上单调递增 ∴当 时， ，不符合题意 综上所述，所求 的取值范围是 【点睛】
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．(1)圆 的直角坐标方程为 (2) 或 . 【解析】
答案第12页，总13页
；直线 的普通方程为 .
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试题分析：（Ⅰ）将 参数消去可得直线 的普通方程，根据 ， ， 带入圆 可得直角坐标系方程；
（Ⅱ）利用弦长公式直接建立关系求解即可． 试题解析：（1）圆 的直角坐标方程为
；
直线 的普通方程为 ．
（2）圆 ，直线 ， ∵直线 截圆 的弦长等于圆 的半径长的 倍， ∴圆心 到直线的距离 解得 或
，
．
23．(1) (2)见证明 【解析】 【分析】
（1）根据绝对值三角不等式求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值即可求出t；（2）由（1）得：
根据基本不等式的性质求出即可．
【详解】
解：（1）因为 . 当 时取等号，故 ，即 . （2）由（1）知
，则
，
等号当且仅当
， 即 时成立.
∵ ，∴ . 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．
答案第13页，总13页
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