【全国百强校】福建省福州市第一中学2016年自主招生(面向福州以外地区)数学试题

综合素质测试数学试卷

（满分100分，考试时间60分钟）

学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置． ．．．．．．．

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的．） （1）下列等式正确的是（★★★）

（A）329

（B）5x2y3x2y2

（D）(2x3y)(3y2x)3y22x2

（C）(a)4(a)3a7

（2）下列说法错误的是（★★★）

（A）平均数受极端值的影响较大，众数和中位数都不易受极端值的影响 （B）数据1，3，2，3，5，4的中位数是3

（C）事件“任意画一个三角形，其内角和是360”是不可能事件 （D）某一彩票的中奖概率是

1，那么买1000张彩票就一定会中奖 1000（3）已知△ABC的三边长分别为13、13、10，则其内切圆半径为（★★★）

5（A）

3（B）

10 3（C）

20 3（D）

169 24（4）符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.6]2，[1]1，[2.6]3．若关于x的

方程[x][2x]kx(k0)在0x1内有解，则k的取值范围是（★★★）

（A）1k2

（B）1k2

（C）0k2

（D）0k1

（5）如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点，四边形ABCD和EFGH的面

积分别记为S1和S2．则下列关系式不一定正确的是（★★★）

1（A）HF(ABCD)

2EAFHB（B）S12S2 （C）S21EGHF 2D11（D）S1(ABCD)(ADBC)

22G第（5）题图 C（6）将正整数按如下规律排列：

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …… 第一行 1

第二行 2 4 第三行 3 5 7

第四行 6 8 10 12

第五行 9 11 13 15 17 …… ……

设2016在第i行第j列，则ij等于（★★★）

（A）79

（B）80

（C）81

（D）82

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共 30分．） （7）已知|x|y，给出下列四个不等式：

①xy0；②xy0；③x2y20；④x3y30．

其中正确的不等式的序号为★★★（填上你认为正确的所有不等式的序号）．

2xy2（8）若方程组的解满足条件1xy4，则k的取值范围是★★★．

x2y5k1（9）从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中任取三条，这三条线段可构成三角形的概率

是★★★．

（10）数、学、好、玩这四个文字分别表示09之间的不同数字，且满足算式

“数学×好玩＝1988”，则四位数“玩好数学”为★★★．

（11）矩形ABCD中，AB3，BC1，矩形内动点P满足PAAD，PBBC，则动点P所在区域的面积为★★★．

（12）若函数yx22ax3(0x3)的图像恒在x轴上方，则实数a的取值范围是★★★． 三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （13）（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别 是AB、BC、CD、DA边上的动点（不含端点），且

EG、FH均过正方形的中心O．

HOFDGC（Ⅰ）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（Ⅱ）试探究：当线段CG与CF满足什么数量关系时， 四边形EFGH为矩形．

AE第（13）题图

B（14）（本小题满分14分）

我们知道，若x1，x2是方程ax2bxc0(a0)的两个实数根，则有

即ax2bxcax2a(x1x2)xax1x2，于是ba(x1x2)，ax2bxca(xx1)(xx2)．

bc：x1x2，x1x2． cax1x2．由此可得一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）

aa参考上述推理过程，解答下列问题：

若x1，x2，x3是关于x的方程x(x3)2t的三个实数根，且x1x2x3．

22（Ⅰ）求x1x2x2x3x3x1，x12x2的值； x3（Ⅱ）试用只含x2的代数式表示x3x1，并求x3x1的最大值．

（15）（本小题满分14分）

已知抛物线yax2bxc过点M(0，3)，且关于x的方程

x2(2a1)x(b23a4b19)0有两个相等的实数根． 4（Ⅰ）求抛物线的解析式；

t)作y轴的垂线交抛物线于点A和点B（点A在点B的左侧）（Ⅱ）过点P(0，．

（i）若BP2PA，试求t的值；

（ii）设抛物线的顶点为E，△ABM的外接圆O'与抛物线交于另一点N，若直线EN与圆O'相切，试求t的值．

福州一中2016年高中招生（面向福州以外地区）

综合素质测试数学试卷参考答案

（满分100分，考试时间60分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的．）

题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 A 5 D 6 B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共 30分．）

（7） ①④

（8） 3k0

33 43（9）

3 10 （10） 1728或8271 （11）

（12） a3 三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （13）（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ AB//DC，AOOC，

G ………………………1分 ∴ OAEOC，

HOFDGC在△AOE和△COG中，

OAEOCG AOOCAOECOGAEB∴ △AOE≌△COG（ASA）．…………… 3分 ∴ OEOG．

同理可证 OFOH． …………… 4分 ∴ 四边形EFGH是平行四边形．………… 5分

（注：根据正方形的对称性直接得出OEOG，OFOH，只扣1分．）

（Ⅱ）设CGx，CFy，由（Ⅰ）知DG1x，DHBF1y． ……………6分

当四边形EFGH为矩形时，CGFDGH90， 又∵ DGHDHG90，

∴ CGFDHG， ∵ GCFHDG90，

∴ △CGF∽△DHG． ……………………8分 ∴

CGDHx1y，即． ……………………9分 CFDGy1x∴ x(1x)y(1y)，即xyx2y2，

∴ xy0 或 xy1． ……………………11分 以上推理可逆，故当CGCF或CGCF1时，四边形EFGH为矩形． …12分

（14）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）∵ x1，x2，x3是方程x(x3)2t的三个实数根，

∴ x(x3)2t(xx1)(xx2)(xx3)． ………………………2分 即x36x29xtx3(x1x2x3)x2(x1x2x2x3x3x1)xx1x2x3． …………3分 ∴ x1x2x36， ………………………4分

x1x2x2x3x3x19， ………………………5分 x1x2x3t．

22∴ x12x2x3(x1x2x3)22(x1x2x2x3x3x1) ………………………7分

361818． ………………………8分

（Ⅱ）∵ x1x2x2x3x3x1x2(x1x3)+x3x1x2(6x2)+x3x19，

2∴ x3x1x26x29． ………………………9分 2222∵ (x3x1)2x3x122x3x118x22(x26x29)3x212x2， …………11分 212x2．∴ x3x13x2 ………………………12分 212x23(x22)212， ∵ x3x13x2∴ x22时，x3x1取最大值23．（此时，t2，x123，x323．） ∴ x3x1的最大值是23． ………………………14分

（15）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）依题意得c3， ………………………1分

△(2a1)24(b23a4b19) 4yEMAOCO'BPxN 4a24b28a16b20

4(a1)24(b2)2

由△0得a1，b2， …………………3分 所以，抛物线的解析式为yx22x3．…………4分 （Ⅱ）令x22x3t，得(x1)24t． 由直线与抛物线有两个不同的交点得t4，

∴ x114t，x214t．

∴ A(14t，t)． ………………………6分 t)，B(14t，（i）由BP2PA，得14t214t， ………………………7分

∴ 14t2(14t) 或 14t2(4t1)， 由14t2(14t)，得t35， 9由14t2(4t1)，得t5． 综上，t35 或 t5． ………………………9分 9（ii）∵ 点A、B关于抛物线的对称轴x1对称，

m)．……………………10分 ∴ △ABM的外接圆圆心O'在直线x1上，设O(1，由对称性知，圆O'与抛物线的的另一交点N与M关于直线x1对称．

3)．∴ N(2， ………………………11分 3)． 如图，设MN交对称轴于点C，则C(1，4)，知ECCN1，CEN45， 由E(1，由EN为圆O的切线，知ENON，△EON为等腰直角三角形．

2)， ………………………12分 ∴ OCCE1，O(1，OAONNE2．

由勾股定理得(4t)2|t2|2(2)2， 化简得t25t60． 解得t2 或 t3（舍去）．

∴ t的值是2． ………………………14分