概率论知识点总结及心得体会

概率论总结及心得体会

08班

08211106号 史永涛 班内序号：01

目 录 一、 前五章总结

第一章 随机事件和概率 …………………………1 第二章 随机变量及其分布……………………….5 第三章 多维随机变量及其分布…………………10 第四章 随机变量的数字特征……………………13 第五章 极限定理………………………………...18 二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20

一、前五章总结 第一章 随机事件和概率

第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

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不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BA或AB。

若AB且AB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件

“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件

称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件

称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，eB} 。

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定义：互不相容事件或互斥事件

如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件

称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā 。A与Ā满足：A∪Ā= S,且AĀ=Φ。 运算律：

设A，B，C为事件，则有

（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）德摩根律： 小结：

事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆；

四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。 第二节：

ABABABAB不得用于商业用途

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1、 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件

A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：P(A)＝k/n＝

A包含的样本点数/S中的样本点数。

2、 几何概率：设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则

向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为：

P（A）=μ（A）/μ（S） 假如样本空间S可用

一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可. 概率的性质：

（1）P()=0, PPm1m1（2）

Ai,Aj,i,j1,2,,n,ij,两两互不相容，nn则PAkPAk;k1k1（3） P(A)1P(A),（4） 若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).

第四节：条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记作P(A|B).

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率. 乘法公式： 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)

P(A|B)PABPB不得用于商业用途

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P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)

全概率公式：设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且

P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件, 则 P(B)P(Ai)P(B｜Ai)ni1贝叶斯公式：设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且

P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且P(B)>0, 则

P(Ai|B)P(Ai)P(B｜Ai)P(A)P(B｜A)jjj1n第五节 ：若两事件A、B满足

P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A、B、C，若

P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)

P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四个等式同时 成立,则

称事件 A、B、C相互独立.

第六节：定理 对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为 总结：

1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。

3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。

kknkPn(k)Cnpqk0,1,,n,q1p不得用于商业用途

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4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。

第二章：随机变量及其分布

1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数：设 X 是一个 r.v，x为一个任意实数，称函数 F(X)=P（X≤x）为 X 的分布函数。X 的分布函数是F(x)记作

X ～ F(x) 或 FX(x).

如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 （x≤X）。

3、 离散型随机变量及其分布

定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式P(X=xk)=PK,为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中PK,≥0；ΣPk=1 分布律与分布函数的关系：

（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：

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①设一离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk (k=1，2，…) 由概率的可列可加性可得X的分布函数为

②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。 （2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：

F(x)P{Xx}即F(x)xkxP{Xxk}xkxpkP{Xxk}F(xk)F(xk0)k1,2,3,一、 三种常用离散型随机变量的分布 . 1（0－1）分布：

设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为 P{X=k}=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0X 0 1

P 1-p p 易求得其分布函数为

2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为

x00F(x)1p0x1px1kk1kPXkCnpqk0,1,,n其中0不得用于商业用途

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4、 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值

为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为： P(Xk)ekk!,k0,1,2,,其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作

X~P(入).、

连续型随机变量 1概率密度f(x)的性质 （1）f(x)≥0 （2） f(t)dt1(3).X落在区间(x1，x2)的概率 Px1Xx2F(x2)F(x1)f(x)dxxx21 几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率P{x1(1)若连续型随机变量X具有概率密度f(x)，则它的分布函数为 F(x)(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F′(x).

注意：对于F(x)不可导的点x处，f(x)在该点x处的函数值可任意给出。

三种重要的连续型分布：

1．均匀分布(Uniform Distribution) 设连续随机变量X具有概率密度

1f(x)ba0axb其他xf(t)dt则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b).

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若XU(a，b)，则容易计算出X的分布函数为

0xaF(x)ba1xaaxbxbexf(x)02. 指数分布

x0x0入>0

则称 X 服从参数为 入的指数分布. 常简记为 X~E( 入) 指数分布的分布函数为

1exF(x)0x0x0指数分布的一个重要特性是”无记忆性”. 设随机变量X满足：对于任意的s>o，t>0,有 则称随机变量X具有无记忆性。 3. 正态分布

若r.v X的概率密度为

21f(x)e2(x)222PXst|XsPXt,x其中 μ和  都是常数， 任意，μ >0，

2则称X服从参数为 μ 和 的正态分布. 记作

X~N(,2)f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.

0,1 的正态分布称为标准正态分布.

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

随机变量函数的分布

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设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，求Y=g(X) （g连续）的概率密度。

1．一般方法——分布函数法 可先求出Y的分布函数FY(y)：

因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设ly={x|g(x)≤y} 则

FYyPXlyfX(x)dxlyg(x)yfX(x)dxfYyFY(y)再由FY(y)进一步求出Y的概率密度

2. 设连续型随机变量X的密度函数为X(x), y=f(x)连续, 求Y= f(X)的密度函数的方法有三种： （1）分布函数法；

（2）若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则 可用公式法；

（3）若y=g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单 调，其反函数分别为h1(y), h2(y), …,且h1(y), h 2(y), …,均为连续函数，则Y= g(X)是连续型随机变量， 其密度函数为

YyXh1yh1yXh2yh2y 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.。 第三章 、多维随机变量

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设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数:

F(x,y)P{(Xx)(Yy)}P{Xx,Yy}称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变 和Y的联合分布函数.量X. 分布函数的性质

1oF(x,y)是变量x和y的不减函数,即对于任

意固定的y,当x2x1时F(x2,y)F(x1,y),2o0F(x,y)1,对于任意固定的y， 对于任意固定的x，

F(,y)limF(x,y)0,xF(x,)limF(x,y)0,yF(, )xlimF(x,y)0,yF(,)xlimF(x,y)1.y3o

F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0),对于任意(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y1y2,

即F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续.4o

有 F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)F(x1,y2)0.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,2,,

离散型随机变量的分布、

值为(xi,yj),i,j1,2,,记称此为二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布律, 或随机变量 X和 Y 的联合分布律. 其中pij0,连续型随机变量及其概率密度

(2)不得用于商业用途

pij1.i1j1f(x,y)dxdyF(,)1.仅供个人参考

性质

(1)f(x,y)0.(3)设G是xOy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率为P{(X,Y)G}f(x,y)dxdy.2F(x,y)(4)若f(x,y)在(x,y)连续,则有f(x,y).xyG 边缘分布 1离散型随机变量的边缘分布律

设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布

律为P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,2,. 记pipijP{Xxi},i1,2,, j1

pjpijP{Yyj},i1j1,2,,分别称pi(i1,2,)和pj(j1,2,)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.连续型随机变量的边缘分布

对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率密FX(x)F(x,)[f(u,v)dv]du,x度为 f(x,y),由于

记

fX(x)f(x,v)dv,称其为随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度.随机变量的独立性：

　　设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变 量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 x,y有 即

P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy},F(x,y)FX(x)FY(y),则称随机变量X和Y是相互独立的.(3)设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),边缘概率密度分别为fX(x),fY(y),则有

X和Y相互独立不得用于商业用途

f(x,y)fX(x)fY(y).仅供个人参考

两个随机变量函数的分布

一、 离散型随机变量函数的分布 若二维离散型随机变量的分布律为

P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,2,,

则随机变量函数Z g(X,Y)的分布律为P{Zzk}P{g(X,Y)zk}二、 连续型随机变量函数的分布

一般, 设22X,Y相互独立且X~N(μ1,σ),Y~212221N(μ2,σ).则ZXY仍然服从正态分布,且有Z~N(μ1μ2,σσ).

第四章.、随机变量的数字特征 随机变量的数学期望

若X1,X2,,Xn相互独立,且Xi服从参数为αi,β(i1,2,,n)的分布,则X1X2Xn服从参数为αi,β的分布.i1n E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值. 2.连续型随机变量数学期望的定义

设离散型随机变量X的分布律为P{Xxk}pk,k1,2,.xkpk绝对收敛,则称级数xkpk为随机k1k1记为E(X).即 若级数变量X的数学期望,不得用于商业用途

E(X)xkpk.k1设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若仅供个人参考

积分

xf(x)dx绝对收敛,则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望,记为E(X).即E(X)xf(x)dx.数学期望的本质 —— 定积分 它是一个数不再是随机变量 3.数学期望的性质

E (C ) = C E (CX ) = CE (X )

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

nnEaiXiCaiE(Xi)Ci1i1当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) 若存在数 a 使 P(X ³ a) = 1, 则 E (X ) ³ a ； 若存在数 b 使 P(X  b) = 1, 则 E (X )  b. 第二节：随机变量的方差 方差的定义

设X是一个随机变量,若E{[XE(X)]2}存在,则称E{[XE(X)]2}为X的方差,

记为D (X)或Var(X),即D(X)Var(X)E{[XE(X)]2}.D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值

的平均偏离程度 5. 随机变量方差的计算

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利用公式计算

D(X)E(X2)[E(X)]2.方差的性质 1.D (C) = 0 2.D (CX ) = C2D(X)

D(aX+b ) = a2D(X)

D(XY)D(X)D(Y)2E(XE(X))(YE(Y))

特别地，若X ,Y 相互独立，则

D(XY)D(X)D(Y)若Xi，Xj均相互独立，a1,a2,,an,b均为常数，则

nDaiXibi1ai2D(Xi)i1n

2若X ,Y 相互独立可得 逆命题不成立；

D(XY)D(X)D(Y)3若X ,Y 相互独立可得 (XY)E逆命题不成立。

E(X)E(Y)4. 对任意常数C, D (X )  E(X – C)2 ,当且仅当C = E(X )时等号成立

5. D (X ) = 0 等价于P (X = E(X))=1 称为X 依概率 1 等于常数

E(X)。

切比雪夫不等式

设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 2 >0, P{|XE(X)|}22P{|XE(X)|}12不得用于商业用途

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第三节、协方差与相关系数

量 E{[XE(X)][YE(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即

Cov(X,Y)E{[XE(X)][YE(Y)]}.ρXYCov(X,Y)D(X)D(Y)不得用于商业用途

为随机变量X与Y的相关系数.仅供个人参考

若XY0,则称x，y不相关。

注：（1）X和Y的相关系数又成为标准协方差，它是一个无量纲的量。

2、若随机变量X和Y相互独立

Cov(X,Y)E{[XE(X)][Y

E(Y)]}E[XE(X)]E[YE(Y)]0.

D(XY)D(X)D(Y)

2E{[XE(X)][YE(Y)]}

D(X)D(Y)2Cov(X,Y)

D(X)D(Y).协方差的计算公式

1、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2、 D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 协方差的性质： (1)Cov(X,Y)Cov(Y,X); (2)Cov(aX,bY) (3)Cov(X相关系数：

1abCov(X,Y) , a,b为常数;X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y).Cov(X,Y).D(X)D(Y)于是　　XY1、 二维正态分布密度函数中，参数p代表了与Y的相关系数。

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2、 二维正态随机变量X和Y相关系数为零等价于X和Y相互独

立。

即 XY相互独立 等价于 XY不相关 不相关的充要条件

1o2

oX,Y不相关ρXY0;X,Y不相关Cov(X,Y)0;X,Y不相关E(XY)E(X)E(Y).3o相关系数的性质： (1)

ρXY1.P{YabX}1.(2)ρXY1的充要条件是:存在常数a,b使第五章：极限定理

大数定理：设{Xn}为一随机变量序列,E(Xn)存在，记

1nYnXiEXin1,2,ni1n1 若limPYlimPXiEXi1,nnnni1

则称{Xn}服从（弱）大数定律。

切比雪夫大数定律： 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，

i=1,2, …，则对任意的ε>0

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1n1nlimP{|XiE(Xi)|}1nni1ni1仅供个人参考

马尔科夫条件：在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出

1nlim2D(Xi)0△)， 则大数定理就能成立。 只要 (nni1切比雪夫大数定律的特殊情况：设X1,X2, …是独立随机变量

2序列，且E(Xi)= μ，D(Xi)= ， i=1,2,…,则对任给  >0,

1nlimP{|Xi|}1nni11nlim的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε >0 ， P{|nXi|}1ni1辛钦大数定律：设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限

辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 中心极限定理：

独立同分布下的中心极限定理：

设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=

 ，

D(Xi)= 

limP{nn2 ，i=1,2,…，则

iXi1nx}nx-1-t22edt2二、心得体会

1、自己学习概率论的一些感想

刚刚拿到概率论课本时，翻看了前几节，感觉都是高中学过的，心里还有点小得意，后来第一节课上老师将那些知识一带而过，并声明了后面才是重点，我才开始重视起这门课。

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通过这半个学期的学习，我感觉这门课想要大致掌握一些知识，不难；想学的很精通，不易。

我感觉自己在这门课上下的功夫远远不够，课下没有花时间去进行复习，而只是看看上节课老师讲的内容，然后做完作业就算没事了，这样导致上课的时候有时会跟不上老师的思路。比如老师在讲后面的内容时用到前面的知识，就当做已知的内容去说，而我由于对前面的知识掌握的不牢固，不知道老师的这个步骤是怎样得出的，还得花时间思考，有时还会影响接下来的听课。

所以，我觉得我们在学习这门课的过程中必须注意课下花时间去进行复习，不能说做完作业就没事了，必须牢固的掌握前面的知识，才会为后面的学习打下良好的基础。 2.、概率论这门课程在现实生活中的重要意义

从课本中的例题我们就可以看出，概率论在我们的日常生活中有着重要的现实意义。例如根据机器发生故障的概率去设定配备工人的数量；可以根据运动员平时得分的概率去决定重要的重要的比赛派谁上场；再有选举的先后性，排序的公平性，我们可以利用概率为生活中的很多判断做出依据，所以说概率论这门课程比起我们其他的专业课来有着增为重要的现实意义。

（1）、利用概率游戏规则的公平性，判断实际生活中的一些现象是否合理。

（2）、在风险与决策中经常会用到统计中的一些方法，从而做出正确的判断与选择。

（3.）、在对各种自然现象、灾害的研究过程中经常会用到概率的思想进行预测。

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总之，概率论对于我们今后的工作学习都有着较为长远的影响，它可以成为我们日后用来解决实际问题的有力的武器，所以，我们应该尽力去学好这门课程，为今后打下良好的基础。

注：参考资料

《概率论 数理统计 随机过程》 郭永江老师的教学课件

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作者：胡细宝 孙洪祥 王丽霞 仅供个人参考

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только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.

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