均匀圆阵ROOT

ROOT-MUSIC 算法是一种MUSIC 算法的变形，它的性能明显优于谱峰搜索MUSIC 算法，一般 MUSIC 算法需要谱峰搜索，而ROOT-MUSIC 算法是基于多项式求根，它的运算量小，并且能够改善分辨门限和估计性能。对均匀线阵列(ULA)，它的阵列流行阵列是范德蒙结构的，所以MUSIC 算法的谱峰搜索过程可以用多项式求根代替，即ULA-ROOT-MUSIC 算法；而对于均匀圆阵列(UCA)，阵列流形矩阵不再是范德蒙结构，所以利用范德蒙结构开发的ROOT-MUSIC 算法无法直接应用于圆阵，为了解决这一问题可以利用相位模式激励法使圆阵阵列流形具有类线阵的形式（结构），这样谱峰搜索过程也可以用多项式求根来代替，形成UCA-ROOT-MUSIC算法。ROOT-MUSIC算法扩大了估计范围,提高了估计精度,无需谱峰搜索,就可得到来波方向的估计值，扩大了估计范围,提高了估计精度。本章主要研究ROOT-MUSIC 算法，首先简单回顾一下直线阵ROOT-MUSIC算法，然后使用相位模式激励的技术将ROOT-MUSIC算法应用于圆阵。通过仿真结果可得出ROOT-MUSIC 算法具有比MUSIC 算法更优的性能[1]。

4.1 ROOT-MUSIC算法的基本原理

如图4.1所示，均匀线阵有N个各向同性的全向天线阵元，有P(PN)个互不相关的远场窄带平面波信号入射到此阵列上，入射方向分别为{1,2,,P},噪声为互不相关的高斯白噪声，与信号源不相关，方差为N2，则第i个阵元的观测信号为

xi(t)sk1k(t)exp[j2(d/)(i1)sini]ni(t)，其中sk(t)为信号的包络, d为阵元

间距，ni(t)为第i个阵元上的噪声。将上式写成向量形式：

x(t)As(t)n(t) 4-1

其中x(t)[x1(t),x2(t),,xN(t))]T为观测数据矢量

Ts(t)[s1(t),s2(t),,sP(t))]为信号矢量

n(t)[n1(t),n2(t),,nN(t))]为噪声矢量，通常假定ni(t)为独立的零均值白噪声，

T且与信号源无关。

对于窄带信号，矩阵A是的函数，有

A()[a(1),a(2),,a(P)]

a(i)[1,ej2dsini,,ej2d(N1)sini]（ i1,2,,P）为第i个信源的导向矢量。角

T度超分辨算法所要解决的问题即为基于（4-1）式所描述的阵列接收信号来估计信号源的到达方向{1,2,,P}。

用上面的数学模型，可得输入协方差矩阵RXX，可表示为：

x0x1x*E0xM1E[XXRXXx1*xM1*H]AE[ssH]AHE[nnH ] （3-8）

RXXARssAHnI （3-9）

H2其中Rss为信号自相关矩阵，RssE[ss]。设RXX的特征值为[1,2,,P],则由式

H2（3-9），易知ARssA的特征值vi为viin（i=1,2,…,P）。

由于矩阵A的列向量（即响应信源的导向矢量）线性独立，于是其列满秩。只要信源之间不是强相关，信号自相关矩阵Rss为非奇异矩阵。阵列流形矩阵A满秩和Rss为非奇异

H矩阵保证当信源个数P小于阵元个数N时，N×N阶矩阵ARssA半正定且秩为P。根据矩

H2阵理论，易得ARssA有N-P个特征值vi=0；RXX有N-P个特征值为n，若按降序排列

2特征值，则有P,,NPn

由上面对RXX的分析，对RXX进行特征值分解可得：

RxxVVM （3-10）

其中，Mdiag[λ0,λ1,,λM1],λ0λ1......λM1为特征值，diag表示对角阵，

V[q0,q1,,qM1]为相对应的特征向量。利用最小特征值min的重数K估计信号数

P=N-K。

则相关矩阵的特征向量空间分为两个正交子空间。信号子空间为P个大的特征值对应的P个特征向量，Vs{q1,q2,,qP}。噪声子空间为N-P个小的相等特征值对应的N-P个特征向量，Vn{qP1,qP2,,qNP}。设对应于特征值i的特征向量为qi，有

(RXXI)qi0；将K个最小特征重值22n代入，则有

H22(RXXnI)qi0ARssAqinInI （3.11）

得到ARssAHqi0，又因为A满秩且Rss为非奇异矩阵，故有AHqi0；说明对应于N-P个小特征值的特征向量与阵列流形A的P个导向矢量正交。由此则可通过在所有可能的阵列导引向量中搜索与噪声子空间正交的向量，就可确定DOA角度。定义MUSIC空间谱为：

PMUSIC()1aH()EnEa()Hn （3.12）

HH当为信号的波达方向角时，a()EnEna()=0。这种正交性使分母达到最小，于

是通过谱峰搜索，便可求出DOA，这便是著名的MUSIC算法。

如果令zej2dxsin(i)/1N1T]，，则有a(i)[1,z,,z上式为z的一个多项式,可通

过多项式求根得到波达方向，这就是ROOT-MUSIC算法。它将MUSIC算法的谱峰搜索转化为多项式求根,从而不再需要谱峰搜索就可以直接得到准确的DOA估计，使得计算量减小，大大的节省了MUSIC算法的估计时间，成为有效的DOA估计算法。

下面给出ULA-ROOT-MUSIC 算法步骤：

1) 计算接收数据协方差矩阵R。R矩阵的(i,k)元素通过下面的方法求出 x(t)As(t)n(t)

RE[xxH]=AE(ssH)AHIARssA2HI

22) 对R进行特征值分解,在由R所张成的实空间中，可以使特征值分解得到信号子空

间Es和噪声子空间估计En。噪声子空间矩阵为En{eP1,,eN}。 3) 解多项式p(z)a(z)EnEna(z)的P个根,其中

HH a(z)[1,z,,z1N1T] zej2dxsin(i)/

P p(z)p0p1zp1zP1p0z

4) 根据求得的p(z)选择P个信号根zi, i1,2,,P。求出目标方位估计值为

iarcsin(2darg(zi))

i1,2,,P

仿真1：八元均匀直线阵。阵元间距选半波长，两个非相关窄带信号，第一个信号的入射来自30°，第二个信号的入射来自34 °。信噪比均为20dB，比较MUSIC与ROOT-MUSIC算法分辨率。

估计出来的角度为 （29.9714，34.0114）

分析与讨论：从结果中可以看到，当信噪比(SNR=20)比较高的时候，两个角度相差4度，MUSIC与ROOT-MUSIC算法都可以把角度分辨出来，说明他们在大信噪比的条件下分辨率相当。

仿真2：八元均匀直线阵。阵元间距选半波长，两个非相关窄带信号，第一个信号的入射来自30°，第二个信号的入射来自34 °。信噪比均为5dB，比较MUSIC与ROOT-MUSIC算法分辨率。

估计的角度为：29.7216 ，33.8384

结论：当信噪比为5dB时，MUSIC算法对30，34的角度分辨已失效，而ROOT-MUSIC

对角度的分辨还相当的明显，并且很精确。ROOT-MUSIC算法的性能明显优于MUSIC 算法。从上图可以清楚看到，ROOT-MUSIC算法对MUSIC算法无法分辨的十分靠近的信号仍然具有分辨能力。

4.2 UCA-ROOT-MUSIC算法

本文把ROOT-MUSIC算法推广到圆阵，利用相位模式激励可以把圆阵输出转换到相位模式空间输出，圆阵在相位模式空间可以等效为一个虚拟线阵结构，使得圆阵的阵列流形向量具有范德蒙结构，这样，通过相位模式转换，ROOT-MUSIC算法就可以很自然地应用到圆阵了。计算机仿真结果表明，UCA-ROOT-MUSIC算法运算量低，对目标方位的估计精度高于UCA-RB-MUSIC算法，

如图2.10所示，具有N个阵元的均匀圆阵，其N个各向同性的全向天线阵元均匀分布在半径为r的圆上，选择圆心是接收天线阵的参考点，阵面与目标共面，即仰角为90度。

图5.21 均匀圆阵几何结构

虚拟线阵结构：

为了提高波束空间MUSIC算法性能，利用上一章节的实波束空间投影矩阵Fe，Fr 。首先Fe波束空间阵列流形为：

aeFeaCeVHHHHHajNJv() （5-25）

,ej0上式中v()[ejM,,eH,ej,,ejM]即为虚拟线阵结构。

H波束形成器Fr是Fe乘以一个具有中心希尔伯特特性的矩阵W束空间具有实值阵列流形[10]。

FrHH形成的，Fr使其波

HWHFeHWHCeVH （5-28）

形成的实值阵列流形矢量为：

arFrHaNWHJv() （5-29）

我们可以通过引入正交波束形成器FrH，在求解信号子空间矩阵S时，使求解过程简化。 同时也可以提高估计精度。 步骤如下：

1）通过FrH将阵元接收信号响应x(t)As(t)n(t)转变为：

y(t)FrAs(t)Frn(t)Abs(t)Frn(t)

HHH此时DOA矩阵由原阵元空间阵列流形矩阵A转换为实值波束空间阵列流形矩阵

AbFrA。

H2）求解FrH波束空间的相关矩阵：

RE[y(t)y(t)]AbPAbI=CvVHTHARsVCvI2M1，

H23）取相关矩阵实值Rereal(R)做特征值分解，得到噪声子空间估计矩阵G。 4）实导引向量ar(,)Fra(,)p(z)ar(,)GGHHHNWHHJv()与噪声子空间解多项式

Har(,)v()J()[WGGjWH]J1H()v()

Mv()[ejM,,ej,ej0,e,,ejM][zM,,z1,1,z,,z] ，zej

P1Pp0z p(z)p0p1zp1z5）根据求得的p(z)选择P个信号根，zi, i1,2,,P。求出目标方位估计值为

iarg(zi))

i1,2,,P

仿真1：UCA-ROOT- MUSIC算法估计DOA

仿真条件：选用12元均匀圆环阵，r/=0.5，选用的两个互不相关入射信号DOA分别为30°，40°；信噪比20dB,快拍数为100。

30.6430，39.7029

仿真2：由波束形成器FrH形成的UCA-ROOT- MUSIC算法进行DOA估计

仿真条件：我们选用12元均匀圆阵，r/=0.5，最大模式数M=6；选用的两个入射信号DOA分别为30°，40°；快拍数为100。采用DOA估计定位误差的均方差(RMS)作为精度的度量。信噪比从10dB到40dB变化，每隔2dB选一点。每个选定信噪比经10次Mote-Carlo独立计算平均得出结果。

4.3一种改进的UCA-ROOT-MUSIC算法

一种实值（unitary）ROOT-MUSIC DOA估计技术被发展，这种Unitary-ROOT-MUSIC算法在ROOT-MUSIC算法的基础上改进得到，它使用了实值的相关矩阵，所以降低了计算的复杂度。目前它的应用只限于直线阵。

通过实值（unitary）特征值分解技术，我们可以降低计算的复杂度，在最近的文献中，我们可以看出这项技术已经得到广泛的重视。在[]，Huang和Yeh基于Unitary转换提出了实值变量来改善MUSIC谱峰。在[],Zoltowski发展了一种实值的波束空间ROOT-MUSIC算法。Linebarger在[]中提出了一种新的有效的实值-奇异值分解（SVD）。基于Unitary转换，Haardt和Nossek发展了一种Unitary-ESPRIT算法，采用了一种具有中心-厄密共轭矩阵性质的经过前后向平滑的协方差矩阵。

本文提出了一种实用的圆阵DOA估计算法-Unitary-ROOT-MUSIC算法它利用了实特征值分解，降低了计算的复杂度。仿真结果表明Unitary-ROOT-MUSIC算法有效的降低了信噪比的门限值，这种Unitary技术可以很好的和传统ROOT-MUSIC算法相结合。 模型分析与Unitary转换矩阵的构造 通常的协方差矩阵为：

H2 RE{x(t)x(t)H}=ARssAI

构造前项平滑centro-Hermitian:

RfJRJ

构造前后项平滑centro-Hermitian:

1 Rfb(RJRJ)

2这里J是交换矩阵，它的反对角元素为1，其余全为零，当为非相关信源时Rss()代表共轭，为对角矩阵，而R为centro-Hermitian矩阵，当信号为相关或相干信源时Rss为任意矩阵，加入前后项平滑技术后，具有centro-Hermitian矩阵性质的R经常会被前后项平滑技术（FB-averaging）所破坏，前后项平滑技术经常会被应用于存在相关源的DOA估计中， 代替了传统的只用前项平滑技术的弊端，它可以很容易的表示为 利用Unitary转换技术构造实值协方差矩阵 我们引入实值协方差矩阵为：

CQRfbQH

Q为归一化NN维的列对称矩阵，所以它具有QJQ的性质。

例如，Q可根据阵元数为奇数或偶数，分别选取以下的稀疏矩阵作为其归一化矩阵：

Q1I2JjI jJI1TQ02J020jIT0

jJ这里矢量0(0,0,,0)T，我们可以看出公式可以仅仅借助前向协方差矩阵获得

C12(QHRQQHJRJQ)=

12(QHRQ(Q)HJRJQ)=Re{QHRQ}

特征值分解： CEEHESSESHENEN

2HES{e1,,eP} EN{eP1,,eN} Sdiag{1,,P}

所以有：

pUMUSIC(z)=aq(1/z)ENENaq(z)

TH其中 aq(z)Qa(z) 实值的协方差矩阵为： CQHHARssAQQQAqRssAqI

HH2HH2这里：Aq(z)QA(z)

Unitary-ROOT-MUSIC算法步骤如下：

1）通过Fe将阵元接收信号响应x(t)As(t)n(t)转变为：

y(t)Fex(t)FeAs(t)Fen(t)Aes(t)Fen(t)

HHHHH2）求解Fe波束空间的相关矩阵：

RE[y(t)y(t)]AePAeI=CeVHTHHARsAVCeI2M1

HH23）实值协方差矩阵为：

CQHRQ

3）取相关矩阵实值Rereal(C)做特征值分解，得到噪声子空间估计矩阵G。 4）实导引向量aq(,)Qa(,)QJv()与噪声子空间解多项式

p(z)aq(,)GGHHHHaq(,)v()J()[QGGjHHQ]J()v()

Hv()[ejM,,ej,ej0,e,,ejM][zM,,z1,1,z,,z1M] ，zej

P p(z)p0p1zp1zP1p0z

5）根据求得的p(z)选择P个信号根，zi, i1,2,,P。求出目标方位估计值为

iarg(zi)

i1,2,,P

我们可以得出Unitary-ROOT-MUSIC算法整个的计算量只是传统ROOT-MUSIC算法计算量的1/4。我们也要指出这个结论不能推广至谱峰搜索MUSIC算法，因为谱峰搜索MUSIC的计算量主要是花费在谱峰搜索上，而不是在特征值分解上。

在这里我们对比一下Unitary-ROOT-MUSIC算法和波束空间ROOT- MUSIC算法，后者依靠中心阵元的假设（而这种假设是不容易达到的），而前者不需要这样的假设。再者， Unitary-ROOT-MUSIC算法忽略了波束空间协方差矩阵的复杂性，最后前后向平滑ROOT-MUSIC算法Unitary-ROOT-MUSIC算法在性能上是一致的，他们都可以应用到有相关源信号的环境中，而波束空间ROOT-MUSIC算法则不能应用。 仿真1：由波束形成器FrH形成Unitary-ROOT-MUSIC算法估计DOA

仿真条件：我们选用12元均匀圆阵，r/=0.5，最大模式数M=6；选用的两个入射信号DOA分别为30°，40°；快拍数为100。采用DOA估计定位误差的均方差(RMS)作为精度的度量。信噪比从5dB到40dB变化，每隔2dB选一点。每个选定信噪比经10次Mote-Carlo独立计算平均得出结果。

结论

5dB时，UCA-ROOT- MUSIC算法对30，40的角度分辨已失效，而

Unitary-ROOT-MUSIC算法在信噪比为5dB时，对角度的分辨还相当的明显，并且很精确。在10dB时，UCA-ROOT- MUSIC算法对30，40度的均方误差为0.9，1.1；而Unitary-ROOT-MUSIC算法在信噪比为10dB时，对同样的角度的均方误差为0.5，0.7，Unitary-ROOT-MUSIC算法性能明显优于UCA-ROOT- MUSIC算法。

仿真2：小角度