1-2命题及其关系、充分条件与必要条件(1)

一、基础知识 自主学习

【要点梳理】 1. 命题的概念

在数学中,用语言、符号或式子表达的,可以_________ 的陈述句叫做命题.

其中, ___________的语句叫真命题, __________的语句叫假命题. 判断真假 判断为真 判断为假 2. 四种命题及其关系 ⑴四种命题

若q,则p 若p,则q 若q,则p ⑵ 四种命题间的逆否关系

逆命题 否命题 逆否命题 ⑶ 四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性___________. 相同 没有关系

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3. 充分条件与必要条件

⑴如果pq,则p是q的________, q是p的________; 充分条件 必要条件

⑵如果pq且qp,则p是q的__________. 充要条件,也是等价条件. 4. 特别注意:

命题的否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论; 而命题的否定是只否定命题的结论. 【基础自测】

1. 下列语句是命题的是( ) ①求证3是无理数; ②x24x40; ③你是高一的学生吗? ④一个正数不是素数就是合数; ⑤若xR,则x24x70.

A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.③④⑤

[解]①③不是命题,①是祈使句,③是疑问句.而②④⑤是

1命题,其中④是假命题,如正数既不是素数也不是合数,

2②⑤是真命题,x24x4x20恒成立,x24x7

x230恒成立.

22选C.

2. 命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是( ) A.“若xy,则x2y2” B.“若xy,则x2y2” C.“若xy,则x2y2” D.“若xy,则x2y2” [解]选C.

3. (09·江西文,1)下列命题是真命题的为( )

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A.若,则xy B.若x21,则x1

xyC.若xy,则xy D.若xy,则x2y2

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[解]由得xy,A正确.B,C,D错误.

xy选A.

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4. (08·湖北理,2)若非空集合A,B,C满足ABC,且 B不是A的子集,则( )

A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充要条件

D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是 “xA”的必要条件

[解]由题意知, A,B,C的关系可用图来 表示.

若xC,不一定有xA; 而xA,则必有xC.

故“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件. 选B.

5 (09·四川文,7)已知a,b,c,d为实数,且cd,则“ab” 是“acbd”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解]cd,cd,

当ab时,ac与bd的大小无法比较. 当acbd时,假设ab,cd, 则acbd,与题设矛盾,ab.

综上可知,“ab”是“acbd”的必要不充分 条件. 选B.

二、题型分类 深度剖析

题型一 命题的关系及命题真假的判断

【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题,并判断它们的真假.

⑴面积相等的两个三角形是全等三角形. ⑵若q1,则方程x22xq0有实根. ⑶若x2y20,则实数x,y全为零. 思维启迪 写成“若p,则q”的形式

写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假

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[解]⑴逆命题:全等三角形的面积相等.真.

否命题:面积不相等的两个三角形不是全等三角形.真. 逆否命题:两个不全等的三角形的面积不相等.假. ⑵逆命题:若方程x22xq0有实根,则q1.假. 否命题:若q1,则方程x22xq0无实根.假. 逆否命题:若方程x22xq0无实根,则q1.真. ⑶逆命题:若实数x,y全为零,则x2y20.真. 否命题:若x2y20,则实数x,y不全为零.真. 逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2y20.真. 探究提高 ①在写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题时,首 先要看这个命题是否有大前提.若有大前提,必须保留 其大前提,大前提不能动. ②原命题和其逆否命题等价.

知能迁移1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否 命题,并判断其真假.

⑴若m,n都是奇数,则mn是奇数. ⑵若xy5,则x3且y2.

[解]⑴逆命题:若mn是奇数,则m,n都是奇数.假. 否命题:若m,n不都是奇数,则mn不是奇数.假. 逆否命题:若mn不是奇数,则m,n不都是奇数.假. ⑵逆命题:若x3且y2,则xy5.真. 否命题:若xy5,则x3或y2.真. 逆否命题:若x3或y2,则xy5.假. 题型二 充要条件的判断

【例2】指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充 分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答). ⑴在ABC中,p:AB,q:sinAsinB; ⑵对于实数x,y,p:xy8,q:x2或y6; ⑶非空集合A,B中,p:xAB,q:xB; ⑷已知x,yR,p:x1y20,

22q:x1y20. 思维启迪

首先分清条件和结论,然后根据充要条件的定义进行判断.

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[解]⑴在ABC中,AB,sinAsinB,

反之,若sinAsinB,因为A与B不可能互补(因为三 角形三个内角和为180),所以只有AB. 故p是q的充要条件.

⑵易知,p:xy8,q:x2且y6. 显然qp,但条件.

根据原命题和逆否命题的等价性知, p是q的充分不必 要条件.

⑶显然xAB不一定有xB,但xB一定有

xAB,所以p是q的必要不充分条件.

,即q是p的充分不必要

⑷条件p:x1且y2,条件q:x1或y2, 所以pq,但探究提高

判断p是q的什么条件,需要从两方面分析: 一是由条件p能否推得条件q, 二是由条件q能否推得条件p.

对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集 合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用 原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为 判断它的等价命题.

知能迁移2 (09·安徽理,4)下列选项中, p是q的必要 不充分条件的是（ ） A.p:acbd,q:ab且cd

B.p:a1,b1,q:fxaxb(a0且a1)的图象不 过第二象限 C.p:x1,q:x2x

D.p:a1,q:fxlogax(a0且a1)在0,上为 增函数

[解] A中,由于ab,cdacbd,而acbd 却不一定推出ab,cd.故A中p是q的必要不充分 条件.

B中,当a1,b1时,函数fxaxb不过第二象限, 当q:fxaxb不过第二象限时,有a1,b1.故B中

,故p是q的充分不必要条件.

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p是q的充分不必要条件.

C中,因为x1时有x2x,但x2x时不一定有x1,故 C中p是q的充分不必要条件. D中, p是q的充要条件. 故选A.

题型三 充要条件的证明 【例3】(12分)求证方程ax22x10有且只有一个 负数根的充要条件为a0或a1. 思维启迪

⑴注意讨论a的不同取值情况;⑵利用根的判别式a 的取值范围. [证明]充分性:

1当a0时,方程变为2x10,其根为x,方程只

2有一负根. 2分 当a1时,方程为x22x10,其根为x1,方程 只有一负根. 4分 当a0时,41a0,方程有两个不相等的根, 1且0,方程有一正一负根. 6分 a必要性:

若方程ax22x10有且仅有一负根. 当a0时,适合条件. 8分 当a0时,方程ax22x10有实根, 则44a0,a1,

当a1时,方程有一负根x1. 10分

a1若方程有且仅有一负根,则1,a0.

0a综上方程ax22x10有且仅有一负根的充要条件为

a0或a1. 12分

探究提高

⑴条件已知,证明结论成立是充分性. 结论已知,推出条件成立是必要性； ⑵证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性.

证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论, 由结论到条件的两次证明;

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⑶证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是 结论.

知能迁移3 求证方程x2ax10的两实根的平方和 大于3的必要条件是|a|3,这个条件是其充分条件 吗?为什么？

[证明]设x2ax10的两实根为x1,x2,

2则x12x23的等价条件是

2a40, 2222xx(xx)2xx(a)23121212即a5或a5. aa5或a5Øa|a|3,

|a|3这个条件是必要条件但不是充分条件.

三、思想方法 感悟提高

【方法与技巧】

1. 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须 保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组 成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或n个) 作为大前提.

2. 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命 题与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真 的.

3. 命题的充要关系的判断方法

⑴定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假. ⑵等价法:即利用AB与BA;BA与A

B;AB与BA的等价关系,对于条件或结论

是否定式的命题,一般运用等价法.

⑶利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的 充分条件或B是A的必要条件;若AB,则A是B的 充要条件. 【失误与防范】

1. 否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而 命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别. 2. 判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的 方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.

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