线性群同态的一个结论

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２４卷第３期　２００８年５月　齐齐哈尔大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｑｉｈａｒ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．２４．Ｎｏ．３　Ｍａｙ．２００８　线性群同态的一个结论　生玉秋　，闰闯　（１．黑龙江大学数学学院，哈尔滨１５００８２；２．黑龙江省教育学院数学系，哈尔滨１５００８０）　摘要：设Ｆ，Ｋ为域，ＳＬ　（Ｆ）表示Ｆ上的，ｚ级特殊线性群，ＰＧＬ　（　）表示Ｆ上的，ｚ级射影一般线性群，　￣ｏ：ＳＬ（Ｆ）－－＞ＰＧＬ　（　）　≥３）为非平凡同态，得到了当Ｋ的特征为２时有关　的一个结论。　关键词：特殊线性群；射影线性群；同态　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７－９８４Ｘ（２００８）０３－００５０—０４　群的同态是两个群之问相比较的最基本的联系形式，人们可以借助一个群来研究与其同态的另一个　群的结构。Ｙ．Ｃｈｅｎ于１９９０年在文献【１］中在　＞５，Ｋ为任意域的假设下，确定了乩２　）到　２（Ｆ）的同态　形式。查建国于１９９５年在文献［２］Ｏ？￣ＹＪｌ画了特征相同的两个域，与　的单同态　：ＳＬ（Ｆ）　ＳＬ（Ｆ）和　１７＂：ＧＬ（Ｆ）　Ｇ三（，）。本文在以上基础上继续研究，得到了从特殊线性群到同阶射影一般线性群的同态的　一个结论。　设　是体，以　表示　的乘法群，ＧＬ（Ｋ）表示　上，ｚ阶一般线性群。以　（　）（　≠　，　∈Ｋ　）表示　ＧＬ，．，（　）中主对角线上的元素都为ｌ，（ｆ，．，）位置的元素是　，而其余位置的元素都是０的矩阵。所有　（　）（　≠．，，　∈Ｋ　）所生成的群称为　上，ｚ级特殊线性群，记为ＳＬ．（Ｋ）。设，ｚ≥２，若Ｍ　Ｃ（ＧＬ（Ｋ）），　但　＝，　，则称　为一个对合。记Ｐ　（　）＝ＧＬ　（　／ｃ（　（　）），称为　上的，ｚ级射影一般线性群，记　ＰＳＬ（Ｋ）＝皿　（　）／Ｃ　（　）），称为Ｋ上的玎级射影特殊线性群。非中心矩阵　称为射影对合，如果　Ａ　＝　，且　∈Ｃ（Ｋ　），记Ｆ　＝留∈ＰＧＬ　（Ｋ）ＩＡ　＝　｝。　１　引理　若　：ＳＬ（Ｆ）　ＰＧＬ　（　），　ｍＧ．ｚ　是同态，记　（　）＝　，　根据需要选取。ｉｇｓ　＝　—Ｅ　—　＋　一　均为０的，ｚ阶矩阵。　∈ＳＬ（，），其中Ａｌ∈ＧＬ（Ｋ），且Ａｌ可　：　—２Ｅｉｆ一２Ｅ］ｊ，其中Ｅ　为（ｆ，　）位置的元为１，其余元　引理１　设Ｆ，Ｋ为域，ＣｈＫ＝２，　：皿　（Ｆ）　ＰＧＬ　（　）为同态，，ｚ　２且，ｚ＝２时Ｉ　Ｆ　＞４。若有　ｌ）的非中心元在　下的象是中心元，则　是平凡的。　证由已知条件知　（Ｆ）＝　）。若存在　∈　）＼ｃ　（Ｆ）），且　（　）＝　，以Ｎ表示由Ａ生　，＝Ｉ　成的正规子群，经文献【３］知Ｎ＝ＳＬ　），即　∈　（Ｆ），　ｆ∈观　（Ｆ），，，ｋ　∈Ｚ　，使　＝１７ＸｉＡ￣，Ｘ７　，　从而　（　）＝１７　（　，）　（　）＝１７』　＝』　，推出　是平凡的。　引理２　设，，　为域，　：ＳＬ　）　）ＰＧＬ　（　）为同态。　ＣｈＫ　２　＝　，，ｚ≥３。当　＝　时置（Ｆ－－ＣｈＦ　２　．Ａ＝　（　）（　∈Ｋ　），当ＣｈＦ≠２时置Ａ＝Ｊ　，则对于上述　，有　（　）＝Ａｌ，可使Ａ　＝Ｉｎ。　证　（ｉ）ＣｈＦ＝２时，置Ｂ＝　（　）　（　），Ｃ＝　（　），Ｐ＝　（１），其中１　ｋ　，ｚ，七≠，，ｊ，则易证　收稿日期：２００８—０１—１７　基金项目：黑龙江省教育厅科研项目（１　１５２１２１７）　作者简介：生玉秋（１９７３一），女．黑龙江双城人，讲师，博士，研究方向：矩阵代数，典型群　Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｅｎｇｙｕｑｉｕ１９７３＠１６３．ｃｏｍ。　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　线性群同态的一个结论　・５ｌ・　ＰＢＰ～　Ｃ，Ａ　ＢＣ＝ＣＢ。于是取象后有　再经文献ｆ３】及Ｃｈ　＝２即得　。∈ｒｌ。　＝一ＣＩ，故　∈Ｋ　，使　ＪＣｊ＝ｒ。又　Ｃ　＝，　，Ｎ．Ａ＝ＢＣ，　（ｉｉ）ＣｈＦ＝２时，置　＝　，Ｃ＝　（　），Ｐ＝Ｐ（ｉ，ｋ）Ｐ（ｉ，　），其中１　，　，ｋ≠ｆ，　，Ｐ（ｉ，ｊ）￣ｆ￣ｔ　Ｉ　交换ｆ，ＪＮＹ　ＥＩ得到的矩阵。类似于（ｉ）可证。　引理３　设Ｆ，Ｋ为域，ＣｈＦ≠２，ＣｈＫ＝２，　、、●●●，●●●●，／　３，　：ＳＬ（Ｆ）　ＰＧＬ　（　）为非平凡同态。置　）：ｌ　一１　ｔ　（一１　ｘ　Ｖｘｅ　Ｆ，则存在　∈ＳＬ（　），使Ｍ　＝　。　ｉｆ＿置Ｐ＝　十２～ｘＥ。：，［１ｆＪ．］ＰＪ。，Ｐ一・＝　（　），推出　ｒ，由引理２知　ｌ３　Ｊ）ｌ∈ｒｌ，￣Ａｆｆｉｉ　Ｍｌ∈　。　引理　＝　。由文献【３】知　∈Ｋ　，使　。，）　，Ｍｅ　设Ｆ，Ｋ为域，　：ＳＬ　）　ＰＧ　（　）为同态。ＣｈＫ＝２，则当　＞　时，　是平凡的。　３，　为偶数，则　引理５　设Ｆ，Ｋ为域，　：　（Ｆ）　Ｐ　（　）为同态。ＣｈＦ≠２，ＣｈＫ＝２，　（一　）＝Ｉ　。　证假设不然，记　＝一　，　ｃ　＝Ａ一１。置　＝（～　一：），ｃ　＝（，２一，　一：），。＝（一，　），贝ｎ　ＤＢＤ　＝Ｃ。类似于引理２（ｉ）的证明，可得　＝　。由文献【３】知３Ｐ　ｅ　ＧＬ（Ｋ），使ｆＰＡｌ＝ｆ　．　．ｆ，，　，．　］　Ｊ　ｆ。　ＶＢｅ　（Ｆ），则ＡＢ＝ＢＡ。又Ａ　＝　，南文献［３］知　ＩＢｌ＝　Ｉ　ｆ，Ｎ￣３Ｘｅ　ＧＬｒ（　），Ｗｅ　。＝　－２，（　），使得　）到　］ｏ　，　’’　’一一　令　ｌ：Ｂ　，　２：Ｂ　Ｗ一，则容易证明　ｌ，　２分另０￣Ｊ　ＳＬ（Ｆ）￣ｌＪＰＧＬ（　）和　，ＰＧＬ　一Ｚ，．、　）的同态。　经引理１知，　ｌ，　均为平凡的。￣［Ｉ３ｒｌ，　∈Ｋ　使　ｆ，　、　（１）　ｉｐＢｌ＝Ｉ　ｒｌ　Ｉ，‘ｒ２Ｉ．－２，．］　若　≠ｒ２，取　＝　（１），则　（　）＝　（　）＝一Ｉ，但由式（１）知　啊矛盾，故　＝　。由式（１）知　＝　‘　．］　，＝　Ｉ　。但可取　为三阶元，推出矛盾。　２主要结论　定理１　设Ｆ，Ｋ为域，　：乩　（Ｆ）　ＰＧＬ（Ｋ）为非平凡同态。ＣｈＫ＝２，且　３，则ＣｈＦ：２。　证用数学归纳法来证定理１。以下均假设ＣｈＦ≠２　Ｏ　当　＝３时，置　＝Ｊｌ２。由引理２及文献［３】知　Ｐ∈Ｇ　（　），使，Ｐ　ｌ＝　（１）。置　１／Ｊ　１　则ＡＭ（ｘ）＝Ｍ（ｘ）Ａ，且由文献【３】知Ｅ可由Ｃ和Ｄ生成，于是可推出３ｒｅ　Ｋ　，使得ｒ（ｉＰＥ　）　＝　＝（ｉ　，　ｐＥ　）一（　）　Ｊ　１　Ｉ，Ｃ＝　２（　）＝　（　）　（０），Ｄ＝　ｌ（　），Ｅ：　１—１　Ｉ　ｆ，一１　］　ｆ，０　１　、　故ｆ　＝ｒＩ　。经引理１推出矛盾。　维普资讯 http://www.cqvip.com ・５２・　齐齐哈尔大学学报　２００８年　￣ｎ＝４　Ｈ寸，￣ｄ＝Ｊｌ：。由引理２及文献［３］知　Ｐ∈ＧＬ４（　），｛￣ｉｐｄ。＝　：（１）￣ｉｐｄＩ＝（　（ｉ）Ｎ　ｉ　Ａ。＝　（１）时，置　《一１ｌ　　（　）＝Ｉ　Ｉ　。卜　ｃ＝　］　●　●　，，，．。．．。．。。。。．．．．．．．．．．。。　ｌ　＝　则ＢＡ＝ＡＢ，ＣＡ＝ＡＣ，［Ｃ，　】＝Ａ，Ｍ（ｘ）Ａ＝ＡＭ（ｘ），Ｍ（ｘ）Ｂ＝ｒ，２（　）。于是ＢＩＡｌ＝ＡＩＢＩ，ＣＩＡＩ＝ＡＩＣｌ，［ＣＩ，口口　　ｌ】＝　、、●，●，●●●●＿、、　●苁一　●●　Ａ　，（　））。４＝　（　（　））　，（　））。Ｂ。＝　：　））ｌ。经引理２、文献［３］及计算可知存在可逆阵ｊ　∈　ｑ１　０　口）使　口０　口口　ｏ　得　ｌ一　　ｌ　，，，．。．．。．。。。。．．．．．．．．．．。。　＝　●●　、、　●●●●●●＿、、　ｆ　＝、、●，●，●●●●＿、、　Ｉ　　ｉＰＭ１　●　，ｉａ　：（　））ｌ　ｌ、　●●＿、、　●　置　Ｄ　＝　，１　０　，，。．．　．，．＝　．。．．．－一／　、　●●●，●●●＿、、　若（笼２］＝　，￣１］ｉｐ，（Ｔｌ：（４　）ｌ＝　，经引理３推出矛盾。若（笼２）为一个对合，则存在可逆阵　使得　以　　ｌ　１　０　ｉｅ　ＢＩ仍旧形如　，但　Ｍ　ｌ　从而　：（８　））ｌ：‘，经引理３推出矛盾。　、　ｏ　，，，．。．．。．。。。。．．．．．．．．．．。。　－１　１　●●●●●／　＝　（　ｉｉ）当　。＝（　）发生时，设　＝　，则类似于（ｉ）可推出　。＝（　），　＝　，　＝　。　●　若Ａｏ为对合，则　∈ＧＬ　（　），　使　＼　、　●●●，●●●●＿、、　、、●，－、、　ｏ　记Ｃ＝Ｓ　则ＣＡ＝ＡＣ，ＣＬ　Ａ，　ｃ，　：　，从而推出　ｃ　＝ｆ子　一１４，Ｅ＝Ｊ３４，Ｆ＝Ｊ２４，Ｇ＝Ｓ３４，日＝　２（１），Ｊ＝［日，Ｃ】，　Ｋ＝Ｊ　，则Ｅ　＝ＡＤ，Ｆ＝ＢＤ，ＧＥ＝ＥＧ，［Ｇ，Ｆ】＝Ｅ，Ｇ　＝Ｅ，　＝ＡＨ。申引理５知　∈ＧＬ４（　）使得ｆＰ２ＤＩ＝　ｋ　∈Ｋ　，　又蚓，理２和引理５经计算可推出　＝　则类似（ｉ）　可推出矛盾。　｝　当订≥５时，置　＝　ｌ２。由引理２及文献［３］知　Ｐ∈ＧＬ（Ｋ），使　ＰＡｌ＝　．　取　ＳＬ　２（Ｆ），则ＢＡ＝ＡＢ。经文献［３］推出　４＝４ＢＩ。于是　∈ＧＬ，．（　），　∈ＧＬ　，　），　令　：Ｃ　，　：Ｃ　Ｗ一，则容易证明｛ｌ／Ｉ　Ｖ２分别为ＳＬ　（Ｆ）到ＰＧＬ（　）和　，．）的同态。若　，　均为平凡的，则类似（ｉ）可推出矛盾，故　。，　不能同时为平凡　平凡，进而推出　非平凡，从而经归纳假设推出ＣｈＦ＝２。　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　线性群同态的一个结论　・５３・　参考文献　ｆ１】Ｙ　Ｃｈｅｎ．Ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍ．Ａｌｇｅｂｒａ，１９９０，１８：２３８３—２３９６．　ｆ２］Ｚｈａ　Ｊｉａｎｇｕｏ．Ｄｅｔｅｒｍｚｉａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｖｅｒ　ｄｉｖｉｓｉｏｎ　ｒｉｎｇｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｌｏｎｄ　Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，　１９９６，５３（２）：４７９—４８８．　ｆ３】华罗庚，万哲先．典型群ｆ　，上海：上海科学技　出版社，１９６２，　ｆ４］张龙，王路群．域上不同级的射影特殊线性群的同态ｆＪ］．黑龙江大学自然科学学报，１９９９，１６（３）：１—５，　Ａ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｕｐｓ　ＳＨＥＮＧ　Ｙｕ—ｑｉｕ　，ＹＡＮ　Ｃｈｕａｎｇ２　一　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５００８２，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｉｌｏｎｇｉｉａｎｇ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｌｌｅｄｇｅ，Ｈａｒｂｉｎ　１　５００８０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａ　ｃｔ：Ｌｅｔ　Ｆ，Ｋ　ｂｅ　ｉｆｅｌｄｓ，ＳＬ（Ｆ），ＰＧＬ　（Ｋ）ｄｅｎｏｔｅ　ｔｈｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｕｐ　ａｎｄ　ｈｅ　ｔｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｄｅｇｒｅｅ，ｚ　ｏｖｅｒＦ　ａｎｄＫ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｌｙ．　：ＳＬ（Ｆ）　ＰＧＬ　（　）　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｉｓ　ｇｏｔ　ｉｎ　ｈｉｔｓ　ｐａｐｅｒｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｏｆ　Ｋ　ｉｓ　２．　３）ｉｓ　ａ　ｕｎｔｒｉｖａｌ　ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ・Ａ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｉｅｌｄ；ｓｐｅｃｉａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｕｐ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｕｐ；ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ　图书快速上架流通的方法及赔偿　在图书管理的实际工作中，读者因损书、丢失图书而赔偿的情况较为常见，这　书一般是读者比较喜欢、借阅率较高的　图书。赔偿后的网书的补做工作按常规是由采编部处理后才能上架。但由于一些客观原因，造成赔偿的书不能及时上架流通，　影响了读者的借阅及资源的共享。为了提高图书馆的馆藏利用率，减轻采编部的工作负担，作者认为以下方法能较快捷的将　赔偿的图书补做后再与读者见面。　１）读者赔偿的书一般由于损毁和丢失不能再流通的，并且按要求所赔的书的内容、作者、出版社要一样，价格不低于　原书价。所以补做时只要用上原书的财产号、条形码和索书号。不存在重码现象，而且高校一般都已完成了回溯建库工作，　冈此不需要重新录入。　２）这种赔书现象有图书馆服务一线部门，如：流通部较为常见。流通部门可指派熟悉业务、责任心强的人员负责。　３）为了便于工作，在馆领导者的支持下，配备必须的补做工具，如：打号机、馆藏专用章、磁条、标签、条形码等。　４）在处理这类工作时要协调好部门关系，如：采编部、　算机窒等。　５）对于读者按要求赔偿的图书要及时做好补做工作，基本流程是：（１）按计算机中显示的条形码号还掉该书；（２）在　图书的书名页上方和图书的１００页处打上财产号（和原书相同的）；（３）在图书的书名页上和图书的合页处盖上网书馆馆藏　专用章；（４）在图书的书缝中分别贴上２根磁条；（５）在书脊的下方和书名页的左上角分别贴上索书号的标签（和原书相同）；　（６）在图书的书名页和图书的１００页处分别贴上条形码（和原书相同），如没有现成的要到计算机室临时扣‘印。　以上整个工作如果顺利，２０　ｍｉｎ即可完成。　进入２ｌ世纪的图书馆讲究的就是提高服务效率，千方百计地为读者服务，让读者满意。这种方法的使用，手续简捷，　而且减少了很多中间环节及人力物力，既减轻了采编部的工作负担，提高了图书的利用率，以防止了因工作疏忽和不重视而　造成的网书积压，致使资源浪费现象，可使一些读者喜爱的图书尽早上架流通。　（李秀菊，齐齐哈尔市广播电视报社，黑龙江齐齐哈尔１６１００５）