函数的最大值和最小值

函数的最大值和最小值

一、学习目标 理解极值与最值的区别联系，会求某些函数的最值，会运用最值知

识解决一些实际问题．

二、重点难点

本节重点：最值定义及求最值步骤

本节难点：极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念.

三、典型例题

1．怎样求函数的最大、最小值．

例1求f（x）＝x3－3 x2－9 x ＋5在[－4，4]上的最大值和最小值． 【解】f′(x)＝3 x－6 x －9＝3（x ＋1）（x －3）

令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3

f″(x)＝6 x －6

f″(－1)＝－12＜0；f″(3)＝12＞0

∴ f（x）在x ＝－1处有极大值f（－1）＝10

f（x）在x ＝3处有极小值f（3）＝－22

在区间端点处f（－4）＝－71，f（4）＝－15

比较上述结果得：f（x）在[－4，4]上的最大值为f（－1）＝10，最小值为f（－4）＝－71．

【点评】

求在闭区间上的最大最小值：① 求出导数为0的点和导数不存在的点，② 求出导数为0的点和导数不存在的点及端点的函数值，③ 直接比较它们的大小．

2

2．怎样求解应用题的最大最小值问题？

例2已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），

在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2． 设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2． 由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝x ＝

43233，易知

是S在（0，2）上的极值点，

即是最大值点，

所以这种矩形中面积最大者的边长为

233和

83．

【点评】

应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如

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确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．

例3一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？ 【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即y ＝

150xx2，故有

×30＋

x2×40，y′＝－

45002令y′＝0，得x ＝15，且y″＝

x9000x3＋20， ，f″(15)＞0，

所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一， 故 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为

15015＝10（次）．

即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

【点评】

本题应用了二阶导数判定极小值．又由于极小值唯一，即为最小值．

例4有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，

则CD ＝x40． y ＝500（50－x）＋700

x1600

2222＝25000－500 x ＋700x1600， y′＝－500＋700 ·

122

12(x ＋1600)· 2 x

＝－500＋

700xx16005032，

令y′＝0，解得x ＝

6．

答：水厂距甲距离为50－

5036千米时，总费用最省．

【点评】

当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．

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