微分方程(7)

§4.1 微分方程的基本概念

一、引例

例1 已知曲线上任意一点M(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标2倍，且曲线过点(1,1)，求该曲线方程．

例2一火车在直线轨道上以30m/s的速度行驶，当制动时，火车获得负加速度为0.3m/s2，求制动后要经过多少时间才能刹住火车？

二、微分方程的基本概念

微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程，叫做微分方程．

微分方程的阶：常微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为常微分方程的阶．n阶常微分方程一般记为：

f(x, y, y, , y(n))0．

微分方程的解：若将yy(x)代入微分方程中，若微分方程恒成立，则称yy(x)是方程的解. 微分方程的通解：若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为方程的通解.

初始条件：为了确定通解中的任意常数，要给定条件，所给定条件称为初始条件.

yf(x,y) yy0xx0yf(x,y,y) yy,yy00xxxx00yxx0y0与yxx0y0,yxx0分别为上述两个方程的初始条件. y0微分方程的特解：确定了任意常数的解，称为常微分方程的一个特解．

§4.2 一阶微分方程

一、可分离变量的方程

形如

dyf(x)g(y) dx微分方程，称为可分离变量的微分方程．这里f(x),g(y)分别是关于x,y连续函数．求解方法：原方程化为

1

高等数学教案

dyf(x)dx g(y)两边积分

dy+c f(x)dxg(y)通解为G(y)F(x)c，称为隐式通解.

dy2xy的通解． dxdy例2 求微分方程2xy2的通解．

dxdy例3 求微分方程sinx0的通解．

dx例1 求微分方程

例4 求微分方程x(y1)dx(xyy)dy0的通解． 例5 求微分方程x例6 求微分方程

dyylny的通解． dxdyx的通解． dxy

二、齐次微分方程

形如

dyy() dxx的微分方程称为齐次方程．齐次方程的解法为：

令u=

y则yux，于是 xdyduux dxdx代入得

ux再分离变量， 得

du(u) dxdu1=dx.

(u)ux两端分别积分后得

du(u)ulnxc1

得到通解为u(x,c)． 再用

y代替u，便得到原方程的通解． x2

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例1 求微分方程 xyy(1lnylnx)的通解． 例2 求微分方程yx 例3 求微分方程

22dydyxy. dxdxx1dyxy满足初始条件ydxyx2的特解.

例4 求微分方程xyy2xy通解. 例5 求微分方程xyyxy满足初始条件y22x12的特解.

三、一阶线性微分方程

形如

dyp(x)yQ(x) dx的方程(其中p(x),Q(x)是x的已知连续函数)，称为一阶线性微分方程．

dyp(x)y0称为一阶线性齐次微分方程． dxdy若Q(x)0时，方程p(x)yQ(x)称为一阶线性非齐次微分方程．

dxdy一阶线性齐次微分方程p(x)y0，可化为:

dx若Q(x)0时，方程

dy=p(x)dx y两边积分得通解为

P(x)dx yce对于一阶线性非齐次微分方程

dyp(x)yQ(x) dx常数变易法：令其解为yc(x)ep(x)dx，则

p(x)dxP(x)dx-p(x)c(x)e y=c(x)e代入方程，得

p(x)dxp(x)dxP(x)dx-p(x)c(x)e+p(x)c(x)e=Q(x) c(x)e即

c(x)=Q(x)e两边积分，得

P(x)dx

c(x)=Q(x)eP(x)dxdxc

3

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因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为

p(x)dxp(x)dxQ(x)ec ye注：非齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解 例1 求微分方程xyye的通解． 例2 求微分方程

xdy2y(x1)52的通解． dxx12例3 求微分方程(y6x)y2y0的通解．

关于方程

dyp(x)yQ(x)的积分因子解法 dxP(x)dx取(x)e，称为积分因子. 则

(x)dy(x)p(x)y(x)Q(x) dx(x)y(x)Q(x)

(x)y(x)Q(x)dxc

于是，通解为

y

1 (x)Q(x)dxc(x)dyyex的通解． dxdy例5 求微分方程2xy4x的通解．

dx例4 求微分方程例6 求微分方程

dy11的通解． dxxydy11的通解． 2dx(yx)例7 求微分方程

§4.4 线性微分方程解的性质与解的结构

一、二阶齐次线性微分方程的性质

形如

yp(x)yq(x)yf(x)

的微分方程称为二阶线性微分方程.

当f(x)0时，则称

4

高等数学教案

yp(x)yq(x)y0

为二阶线性齐次微分方程.

当f(x)0时，则称

yp(x)yq(x)yf(x)

为二阶线性非齐次微分方程.

定理1 若y1(x)与y2(x)是二阶线性齐次微分方程

yp(x)yq(x)y0 （1）

的两个解，则yC1y1(x)C2y2(x)（C1，C2是任意常数）也是方程（1）的解.

例如：yy0，两个特解：y1(x)cosx；y2(x)sinx. 例如：y3y2y0，两个特解：y1(x)e；y2(x)2e. 线性无关：若函数性相关.

定理2 若y1(x)与y2(x)是方程（1）的两个线性无关的特解，则

xxy1(x)k（k为常数），则称y1(x)与y2(x)线性无关.否则，称y1(x)与y2(x)线y2(x)yC1y1(x)C2y2(x)

是方程（1）的通解（C1，C2是任意常数）.

例如：y3y2y0，两个特解：y1(x)e；y2(x)e. 定理3 设y(x)是二阶非齐次线性微分方程

*x2xyp(x)yq(x)yf(x) （2）

的一个特解，Y(x)是其对应的齐次方程

yp(x)yq(x)y0

的通解，则yY(x)y(x)是二阶线性非齐次微分方程（2）的通解.

定理4 设y1(x)，y2(x)分别是

***yp(x)yq(x)yf1(x)

及

yp(x)yq(x)yf2(x)

5

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***的特解，yy1(x)y2(x)方程

yp(x)yq(x)yf1(x)f2(x)

的特解.

*x*例如：yyx的特解y1x，yye的特解y21xe，则方程yyxex的特解为21y*y1*y2*xex.

2

§4.5 二阶常系数齐次线性微分方程

形如

ypyqy0 （1）

的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程.

猜想它的解可能具有ye形式的解，试一试. 令ye，则yre，yre及ye代入得：

rxrx2rxrxrx(r2prq)erx0

由于erx0得

rprq0 （2）

2因此，当r满足方程（2）时，ye就为方程（1）的解.称方程（2）为方程（1）的特征方程.

r2prq0

2（i）当特征方程rprq0有两个不等实根r1与r2时，得两个特解y1e1，y2e2. 又

rxrxrxy2(x)e(r2r1)xk，则通解为： y1(x)yC1er1xC2er2x

（ii）当特征方程rprq0两个相等实根r1r2r，得特解为y1erx.下面来求另一个与y1线性无关的特解y2，设y2(x)u(x)y1(x)代入方程（1）中得

2u(x)0

rx不妨取u(x)x，则y2xe. 于是，通解为：

y(C1C2x)e

rx6

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2（iii）特征方程rprq0有一对共轭复根r1,2i，两个特解为

y1e(i)x，y2e(i)x

利用欧拉公式得

y1ex(cosxisinx)，y2ex(cosxisinx)

得：

11y1(y1y2)excosx，y2(y1y2)exsinx

22于是，方程（1）的通解为

yex(C1cosxC2sinx)

求解方程ypyqy0的步骤为： （1）写出特征方程rprq0； （2）求出特征方程rprq0的根； （3）根据根的不同情形，写出通解. 例1 求微分方程y3y2y0的通解. 例2 求微分方程y4y5y0的通解. 例3 求微分方程y4y4y0 的解. 例4 求微分方程y3y4y0的通解. 例5 求微分方程yyy0的通解.

22d2sdss0满足条件s4，s2的特解. 例6 求微分方程2+2dtdtt0t0§4.6 二阶常系数非齐次线性微分方程

对于二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)

只需求出它的一个特解.

x一、f(x)Pm(x)e型

x ypyqyPm(x)e （1）

令yQ(x)e，其中Q(x)是某个多项式. 则

2yexQ(x)Q(x)，yexQ(x)2Q(x)Q(x)

x代入，得

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)pm(x)

7

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（i）当不是特征方程rprq0的根时，pq0，则

22Q(x)Qm(x)

（ii）当是特征方程rprq0的单根时，pq0且2p0，则

22Q(x)xQm(x)

（iii）当是特征方程rprq0的重根时，pq0且2p0，则

22Q(x)x2Qm(x)

kx2注：方程的特解为：yxQm(x)e，其中k按不是特征方程rprqy0的根；是特征方程

的单根、重根依次取为0、1或2.

例1 求微分方程y2y3y3x1的通解. 例2 求微分方程yye的通解. 例3 写出特解形式

（1）y3y2yxe； （2）y4y4y(x1)e（3）y3y2yxe.

例4 求微分方程y5y6ye的通解.

xxx2x；

2x二、f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx型

ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx

其特解形式为：

(1)(2)y*xkexR(x)cosxRm(x)sinx m(1)(2)其中Rm(x)，Rm(x)是m次多项式，mmax{l,n}，而k按i不是特征方程的根；是特征方程单

根分别取为0或1.

例5 求微分方程yyxcos2x的通解. 例6 求微分方程y3y2ysinx的通解. 例7 求微分方程yyesin2x的通解.

x8