任务03答案

离散数学作业3

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。

一、单项选择题

1．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( B )． A．{a，{a}}A B．{ a }A C．{2}A D．A 2．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ B ）．

A．{2}B B．{2, {2}, 3, 4}B C．{2}B D．{2, {2}}B 3．若集合A={a，b，{ 1，2 }}，B={ 1，2}，则（ D ）．

A．B A B．A B C．B A D．B A 4．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( C )．

A．{{1}, {a}} B．{,{1}, {a}} C．{,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 5．设集合A = {1，2，3}，R是A上的二元关系，

R ={a , baA，b A且ab1}

则R具有的性质为（ B ）．

A．自反的 B．对称的 C．传递的 D．反对称的 6．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={a , ba , bA，且a =b }，则R具有的性质为（ D ）．

A．不是自反的 B．不是对称的 C．反自反的 D．传递的 7．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系

R = {1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4}， S = {1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4}，

则S是R的（ C ）闭包．

A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对 8．设集合A={a, b}，则A上的二元关系R={，}是A上的( C )

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★ 形成性考核作业 ★

关系．

A．是等价关系但不是偏序关系 B．是偏序关系但不是等价关系 C．既是等价关系又是偏序关系 D．不是等价关系也不是偏序关系 9．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系

1 的哈斯图如右图所示,若A的子集B = {3 , 4 , 5}，

3 2 则元素3为B的（ C ）．

A．下界 B．最大下界 4 5 C．最小上界 D．以上答案都不对

10．设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：

f = {1 , 2，2 , 1，3 , 3}，

g = {1 , 3，2 , 2，3 , 2}， h = {1 , 3，2 , 1，3 , 1}，

则 h =（ B ）．

（A）f◦g （B）g◦f （C）f◦f （D）g◦g

二、填空题

1．设集合A{1,2,3},B{1,2}，则AB= {1，2，3} ，AB= {1，2} ．

2．设集合A{1,2,3},B{1,2}，则P(A)-P(B )= {{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}} ，

A B= {〈1，1〉，〈1，2〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈3，1〉，〈3，2〉} ．

3．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．

4．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R从A到B的二元关系，

R ={a , baA，bB且2a + b4}

则R的集合表示式为 {〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈3，1〉} ．

5．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系

R＝{x,yy2x,xA,yB} 那么R－1＝ {〈6，3〉，〈8，4〉} 6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，则R具有的性质是 没有任何性质 ．

7．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，若在R中再增加两个元素 {< c, b>, < d ,c >} ，则新得到的关系就具有对称性．

8．设A={1, 2}上的二元关系为R={|xA，yA, x+y =10}，则R的自反闭包为 {〈1，1〉，〈2，2〉} ．

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★ 形成性考核作业 ★

9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含 〈1，1〉，〈2，2〉，〈3，3〉 等元素．

10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 σ={〈1，a〉，〈2，b〉}或σ={〈1，b〉，〈2，a〉} ．

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系． 解：（1）错误。R不具有自反的关系，因为<3, 3>R。 （2）错误。R不具有对称的关系．<2, 1>R。

2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立？并说明理由． 解：成立。

对于集合A中的任意元素a，若R1为A上的自反关系，有〈a，a〉∈R1，则〈a，a〉∈R-11，故R-11是A上的自反关系。

对于任意a∈A，由R1和R2是A上的自反关系，有〈a，a〉∈R1且〈a，a〉∈R2，则〈a，a〉∈R1∩R2，故 R1∩R2是A上的自反关系。

同理可证：R1∪R2也是A上的自反关系。

3．设R，S是集合A上的对称关系，判断R∩S是否具有对称性，并说明理

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★ 形成性考核作业 ★

由．

解：R∩S具有对称性。

对任意〈a，b〉∈R∩S，有〈a，b〉∈R且〈a，b〉∈S，又R，S是集合A上的对称关系，则〈b，a〉∈R且〈b，a〉∈S，所以〈b，a〉∈R∩S，即证R∩S是集合A上的对称关系。

4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：AB，并说明理由．

(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}； (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．

解：（1）不构成函数。因为对于3∈A，在B中没有元素与之对应。

（2）不构成函数。因为对于4∈A，在B中没有元素与之对应。

（3）构成函数。因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。

四、计算题

1．设E{1,2,3,4,5},A{1,4},B{1,2,5},C{2,4}，求：

(1) (AB)~C； (2) (AB)- (BA) (3) P(A)－P(C)； (4) AB． 解：(1) (AB)~C={1}{1，3，5}={1，3，5}

(2) (AB)- (BA)={1，2，4，5}-{1}={2，4，5}

(3) P(A)－P(C)={φ，{1}，{4}，{1，4}}－{φ，{2}，{4}，{2，4}} ={{1}，{1，4}}

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★ 形成性考核作业 ★

(4) AB=(A-B)  (B-A)={4}{2，5}={2，4，5}

2．设集合A＝{{a, b}, c, d }，B={a, b, {c, d }}，求

(1) BA； (2) AB； (3) A－B； (4)BA． 解：(1) BA=φ

(2) AB={{a, b}, c, d ， a, b, {c, d }} (3) A－B={{a, b}, c, d }

(4)BA={〈a，{a, b}〉，〈a，c〉，〈a，d〉，〈b，{a, b}〉，〈b，c〉，〈b，d〉，〈{c, d }，{a, b}〉，〈{c, d }，c〉，〈{c, d }，d〉}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={|xA，yA且x+y4}，S={|xA，yA且x+y<0}，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R)．

解：R={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈3，1〉}， S=φ RS=φ SR=φ

R-1={〈1，1〉，〈2，1〉，〈3，1〉，〈1，2〉，〈2，2〉，〈1，3〉}

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★ 形成性考核作业 ★

S-1=φ

r(S)= {〈1，1〉，〈2，2〉，〈3，3〉，〈4，4〉，〈5，5〉}

s(R)= {〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈3，1〉}

4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．

(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元．

解：(1) R={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈1，4〉，〈1，5〉，〈1，6〉，〈1，7〉，〈1，8〉，〈2，2〉，〈2，4〉，〈2，6〉，〈2，8〉，〈3，3〉，〈3，6〉，〈4，4〉，〈4，8〉，〈5，5〉，〈6，6〉，〈7，7〉，〈8，8〉}

(2 ) 关系R的哈斯图

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★ 形成性考核作业 ★

8 4 6 3 2 7 1 5

(3) 集合B的没有最大元，最小元是2．

五、证明题

1．试证明集合等式：A (BC)=(AB)  (AC)． 证明：设任意 x A (BC)，那么 x A或x BC， 也就是 x A或x B，且 x A或x C；

由此得 x AB 且 x AC，即x (AB)  (AC)．

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★ 形成性考核作业 ★

所以， A (BC) (AB)  (AC)

又因为对 任意 x (AB)  (AC)，由 x AB且x AC， 也就是 x A或x B，且x A或 x C； 得 x A 或 x BC，即 x A (BC)． 所以， (AB)  (AC)

A (BC)

故A (BC)=(AB)  (AC)．

2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

证明：（1）对于任意〈a，b〉∈AB，其中a∈A，b∈B，因为AB = AC，必有〈a，b〉∈AC，其中b∈C，因此B  C。

（2）同理，对于任意〈a，c〉∈AC，其中a∈A，c∈C，因为AB = AC，必有〈a，c〉∈AB，其中c∈B，因此C B。 由（1）、（2）得：B = C．

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★ 形成性考核作业 ★

3．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系．

证明：只要证明R也是集合A上的自反关系即可。

因为对任意aA，存在bA，使得R，可取b=a，即得：R， 所以，R是集合A上的自反关系，由此得：R是等价关系．

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