环形问题

[中高难度试题] 【例 1】 甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲

车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)

【分析】第一次是一个相遇过程，相遇时间为：相遇地点距离A点：6(6555)0.05小时， 千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：

6(6555)0.6小时，乙车在此过程中走的路程为：550.633千米，即5圈又3千米，那么这时距离A点32.750.25千米．

此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.252.753千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与最开始相同．

所以，每4次相遇为一个周期，而11423，所以第11次相遇的地点与第3

次相遇的地点是相同的，与A点的距离是3000米．

［拓展］如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步．跑道右半

部分(粗线部分)道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米．两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有 米．

550.052.75A

［分析］本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果

甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期． 在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是A点．本题要求的是第99次迎面相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离．

对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了20084100米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了10050150米，这就是第一次相遇点与A点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与A点的距离．

【例 2】 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向

走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是3:2，湖的周长是600米，求丙的速度．

【分析】甲第一次遇见乙后1分钟遇到丙，再过34114334134分第二次遇到乙，所以甲、乙经过

米/分，甲的

5分钟的时间合走了一圈，甲、乙的速度和为6005120272米/分．甲、乙合走一圈需要3速度为12011145分钟，而甲第一次遇见乙后

14分钟遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要5164141分钟，甲、丙的速度和为

600696米/分，从而丙的速度为967224米/分．

【例 3】 (2008年第十三届“华杯赛”决赛)

甲、乙两人沿一个周长400米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需4分钟，乙行走一圈需7分钟，他们同时同地同向出发，甲走完10圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意．问：当两人第15次击掌时，甲共走了多少时间？乙走了多少路程？

A甲乙BC

57［分析］甲走10圈时，共用了10440分钟，这段时间乙行程4075圈，每当甲比乙

27多走1圈时，甲便追上乙一次，所以甲走完10圈时，比乙多走了4掌4次，此时，甲、乙两人相距甲反向行走后，经过

2圈，两人共击

27圈；

分钟，两人第一次相遇，以后两人总行程每增

1412871181174711加1圈，便出现一次相遇，即相遇事件发生的时间间隔为1过

28111025511分钟，经

51166211分钟，两人最后一次相遇，此时甲一共走了402114007378191181125分钟，乙走了66米．

［拓展］绕湖的一周是22千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时反向而行，甲以4千米／

小时的速度每走1小时后休息5分钟，乙以6千米／小时的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用多少分钟？ ［分析］甲的速度为4千米／小时2003乙的速度为6千米／小时100米／分钟，

米／分钟．

根据题意可知：甲、乙出发2小时10分钟，甲行428(千米)， 乙行了1005021001011000米11千米． 还剩下228113千米3000米．需行驶3000200310018(分钟)

所以相遇时间有148分钟．

［拓展］如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F为AB边上的三等分点，某时

刻，甲从A点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5．他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

［分析］长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方

形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上． 所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况．

将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段．所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况．

对于甲的运动进行讨论： 时间(单位时间) 地点 时间(单位时间) 地点 时间(单位时间) 地点 2 C 2 D 2 C 4 A 3 C 3 6 C 10 8 10 C 18 12 A 19 C 19 A 14 C 26 16 C …… …… …… 对于乙的运动进行讨论： 11 A 27 B 10 D 18 C B 26 A 27 对于丙的运动进行讨论： 11 D B A B A D 需要检验的时间点有2、3、10、11、…… 2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件．

3个单位时间的时候甲在AD上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相

当于4分钟．

10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形． 所以再过40分钟．三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

【例 4】 有一正方形，边长12厘米，甲、乙、丙三只蚂蚁从正方形的同一顶点沿正方形的

边同时同向出发．三只蚂蚁爬行的速度分别是：甲为每秒0.96厘米，乙为每秒0.81厘米，丙为每秒0.72厘米．问：出发几秒钟后甲开始同时看见乙和丙的后背？

【分析】 12(0.960.81)80(秒)，即甲爬行80秒可以比乙多爬一个边长；

12(0.960.72)50(秒)，即甲爬行50秒可以比丙多爬一个边长．

若使甲能同时看见乙和丙的后背，则甲与乙、丙必须在同一条边上，所以甲比乙和丙多爬的距离在(4k3)个边长和(4k4)个边长之间．那么，甲比乙多爬的距离为3个边长和4个边长之间、7个边长和8个边长之间……根据前面的计算，甲可能看见乙的后背的时间段可能是240秒到320秒之间、560秒到640秒之间、880秒到960秒之间……

同理，甲可能看见丙的后背的时间段可能是150秒到200秒之间、350秒到400秒之间、550秒到600秒之间……选取其中公共的时间段，即560秒到600秒之间．

在560秒时，甲与乙的距离为1个边长，则甲只有在正方形的某个顶点处才能看见乙的后背，否则必须爬到下一个顶点处才能看到乙的后背．甲爬一个边长需要120.9612.5秒，而12.545562.5秒，所以当甲爬了562.5秒时，甲恰好到达正方形的顶点处，这时才开始同时看见乙和丙的后背．

［拓展］(2004年第九届“华杯赛”总决赛试题)

正方形跑道ABCD．甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米．若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方．从此时算起，又经过21秒，甲、乙、丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置．求正方形周长的所有可能值．

［分析］设正方形的边长为a米．a54a，所以甲跑a秒可以比乙多跑一个边长；

a530.5a，甲跑0.5a秒可以比丙多跑一个边长．

若使甲能同时看见乙和丙，且他们在自己的前方，则甲比乙和丙多跑的距离在4k3个边长和4k4个边长之间．根据前面的计算，甲可能看见乙的后背的时间段可能是3a秒到4a秒之间，7a秒到8a秒之间……甲可能看见丙的后背的时间段可能是1.5a秒到2a秒之间，3.5a秒到4a秒之间……选取其中公共的时间段，即3.5a秒到4a秒之间．

在3.5a秒时，甲只有在正方形的某个顶点处才能看见丙的后背，否则必须跑到下一个顶点处才能看到丙的后背．甲跑一个边长需要a50.2a秒，而0.2a183a.秒，所以当甲跑了63.6a秒时，才开始同时看见乙和丙的后背． 4a544a，所以经过4a秒后甲第一次追上乙，此时甲、乙、丙分别跑了5圈、4圈、3圈，所以这也是出发后三人第一次处在同一位置．所以4a3.6a21，即a52.5．

52.54210(米)，所以正方形的周长应为210米．

［拓展］在正三角形ABC中，D是边AB上的一点，且DA:DB7:8，学学和思思两人在

三角形边上分别匀速行走．学学从A点开始沿ABCA的方向走，思思从B点开始沿BACB的方向走．已知两人第一次相遇恰好是在D点，且两人第一次在线段BD(不含端点)上相遇时，相遇点距B点24米．则AB的长度等于________米．

【分析】由于两人第一次相遇恰好在D点，此时学学和思思所走的路程分别为AD和BD，

根据“时间相同，速度比等于路程的比”，可得学学和思思的速度比为AD:BD7:8． 设每边长为15个单位．设第x次相遇时是两人第一次在线段BD(不含端点)上相遇，由于第一次相遇以后，两人每合走一个周长就相遇一次，则此时两人共走(x1)个周长加

1

778条边，即45x11545x30，其中学学走了

21x14．

45x30要想在线段BD上相遇，则21x14除以45的余数应大于7，小于15．因为21x1421x151，被3除余1，所以被45除只能余10或13． 如果21x1410(mod45)，则21x24(mod45)，7x8(mod15)，x14(mod15)； 如果21x1413(mod45)，则21x27(mod45)，7x9(mod15)，x12(mod15)． 所以，两人第12次相遇是第一次在线段BD(不含端点)上相遇，被45除余13也就是说距离B点2个单位，所以1个单位是12米，边长为15个单位，也就是180米．

另解：同上可得到学学和思思的速度比为AD:BD7:8．

当两人第一次在线段BD(不含端点)上相遇时，根据两人行走的方向，思思一定是经过B点后走到相遇点的，学学一定是经过A点后走到相遇点的．考虑思思在这次相遇前走到B点时学学所处的位置，如果学学当时在A点，两人将再次相遇在D

点，不合题意；如果此时学学不在AB边上，两人更不可能在线段BD(不含端点)上相遇；只有当学学此时在AB边上且不在两个端点时，两人将必然在线段BD(不含端点)上相遇．所以当思思走了整数圈，学学走的路程超过某个整数圈，又小于这个整数圈再加上圈时，两人再向前走将必然在线段BD(不含端点)上相遇．

31假设此时思思走了m圈，根据速度比，学学走了整数)，即nmmn811378m圈，则有n78mn13(n为

，故mn1318mmn1314，由于是第一次在线段BD23(不含端点)上相遇，由于mn1，则mmn81，得m5，那么m的

3141最小值为6．

当m6时，思思走了6圈到B点，学学走了6587圈，即走了5圈后又走了

圈，此时走到AB边的思走了其中的

2421581534处，距离B点则为AB的

1481521514，两人相向而行直至相遇，思

，所以AB的即为24米，那么AB边的长度为

(米)． 180

【低难度试题】

【例6】（★★★）在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？ 【分析】20分，30分。

解：由题意知，甲行4分相当于乙行6分。（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）。

【例7】（★★★）如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。

【解】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为240-60=180米，周长为180×2=360米。

【例8】（★★★★）甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分跑400米，乙每分跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快1，甲每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度

4保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？

【来源】 第九届《小数报》数学竞赛决赛应用题第3题

【解】 从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为400÷（400－360）＝10（分）， 甲到达终点还需跑（1000－400×10）÷（400＋18）＝

1474209（分），

1214乙还需要（1000－360×10）÷［360×（1＋4）］＝9（分） 274由于9＜209，所以乙先到达终点。

【例9】（★★★） 右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行。甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？

【解】1.5米。“逗号”的周长与外圆的周长相等，都是40厘米。乙比甲多爬20厘米需20÷（5－3）＝10（秒），此时甲爬了30厘米，位于圆内的弧线上，而乙位于外圆周上，两只蚂蚁没有相遇。乙比甲多爬60厘米需60÷（5－3）＝30（秒），此时两只蚂蚁都在外圆周上，是第一次相遇，乙爬了5×30＝150（厘米）。

【例10】（★★★）小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？

（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【解】（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是 500÷1.25-180=220（米/分）.

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是

500÷（220-180）＝12.5（分）. 220×12.5÷500＝5.5（圈）.

答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.