高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（ ） A．[﹣3，3） B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2]
D．[2，3）
2．（5分）“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥β D．若n⊥α，则α⊥β
4．（5分）已知向量=（3，1），=（2k﹣1，k），且（（ ）
第1页（共21页）
），则k的值是
A．﹣1 B．或﹣1 C．﹣1或 D．
5．（5分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（5分）在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A．34种
B．48种
C．96种
D．144种
7．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P（x，y），则点P落在阴影部分BCD
内的概率为（ ）A．
B．
C． D．
8．（5分）已知函数f（x）=10sinx+在x=0处的切线与直线nx﹣y=0平行，
则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中x4的系数为（ ） A．120 B．135 C．140 D．100
9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的次点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2018，y2018），则A．8072
B．6054
（xi+yi）=（ ） C．4036
D．2018
）一
10．（5分）已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜个周期内的图象上的五个点，如图所示，A（
），B为y轴上的点，C为
在
图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，
第2页（共21页）
x轴上的投影为，则ω，φ的值为（ ）
A．ω=2，φ= B．ω=2，φ= C．ω=，φ= D．ω=，φ=
11．（5分）在△ABC中，点，则当A．
B．
C．9
取得最小值时，D．﹣9
，点P是△ABC所在平面内一=（ ）
12．（5分）已知函数f（x）=ex，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为（ ） A．2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则a= ． 14．（5分）设变量x，y满足约束条件：
，则目标函数z=
的最小值
﹣1 B．e2﹣ C．2﹣ln2 D．2+ln2
为 ．
15．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 ．
16．（5分）若正项递增等比数列{an}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为 ．
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三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=log3an，求数列{
}的前n项和Tn．
）+2cos2x．
18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值．
19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0，10）．[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 合计 60 110 （1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附参考公式与：K2=P（K2≥k0） k0
0.15 2.702 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 第4页（共21页）
20．（12分）如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA=BC=2，AB=4，M，N分别是SC，AB的中点． （1）求证：MN⊥AB；
（2）D为线段BC上的点，当二面角S﹣ND﹣A的余弦值为﹣SNC的体积．
时，求三棱锥D
21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣的极值点．
（1）求a的取值范围； （2）证明：
+a（a∈R）在其定义域内有两个不同
．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（a为
参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
（ρ∈R）．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
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[选修4-5：不等式选讲]
23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M． （1）求M的值；
（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：
+
≥1．
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2018年四川省广元市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（ ） A．[﹣3，3） B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2]
D．[2，3）
【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}={x|x≤﹣2，或x≥4}， N={x|﹣3≤x＜3}，
∴M∩N={x|﹣3≤x≤﹣2}=[﹣3，﹣2]． 故选：B．
2．（5分）“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
【解答】解：当x＞3且y＞3时，x+y＞6成立，即充分性成立， 若x=6，y=2满足x+y＞6，但x＞3且y＞3不成立，即必要性不成立， 故“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的充分不必要条件， 故选：A
3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥β D．若n⊥α，则α⊥β
【解答】解：对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确； 对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确； 对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确； 对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．
第7页（共21页）
故选D．
4．（5分）已知向量=（3，1），=（2k﹣1，k），且（（ ） A．﹣1 B．
或﹣1
C．﹣1或 D．
）
，则k的值是
【解答】解：∵向量=（3，1），=（2k﹣1，k）， ∴+=（2k+2，1+k）， ∵（+）⊥， ∴（+）•=0，
则（2k﹣1）（2k+2）+k（1+k）=0， 即5k2+3k﹣2=0得 （k﹣1）（5k+2）=0， 得k=﹣1或k=， 故选：C．
5．（5分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=5，k=0
不满足条件n为偶数，执行循环体后，n=16，k=1，不满足退出循环的条件； 满足条件n为偶数，执行循环体后，n=8，k=2，不满足退出循环的条件； 满足条件n为偶数，执行循环体后，n=4，k=3，不满足退出循环的条件； 满足条件n为偶数，执行循环体后，n=2，k=4，不满足退出循环的条件； 满足条件n为偶数，执行循环体后，n=1，k=5，满足退出循环的条件，
第8页（共21页）
输出k的值为5． 故选：B．
6．（5分）在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A．34种
B．48种
C．96种
D．144种
【解答】解：根据题意，程序A只能出现在第一步或最后一步，
则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果， 又由程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素， 同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列， 共有A44A22=48种结果，
根据分步计数原理知共有2×48=96种结果， 故选：C．
7．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P（x，y），则点P落在阴影部分BCD
内的概率为（ ）A．
B．
C． D．
【解答】解：根据题意，利用定积分计算
exdx=ex
=e﹣1；
∴阴影部分BCD的面积为1×e﹣（e﹣1）=1， ∴所求的概率为P=故选：D．
8．（5分）已知函数f（x）=10sinx+
=．
在x=0处的切线与直线nx﹣y=0平行，
第9页（共21页）
则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中x4的系数为（ ） A．120 B．135 C．140 D．100 【解答】解：函数f（x）=10sinx+n=f′（0）=10，
则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n=（1+x+x2）（1﹣x）10 =（1﹣x3）•（1﹣x）9， ∵（1﹣x）9 的展开式的通项公式为 Tr+1=
•（﹣x）r，
﹣（﹣
）=135，
在x=0处的切线与直线nx﹣y=0平行，则
故分别令r=4，r=1，可得展开式中x4的系数为故选：B．
9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的次点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2018，y2018），则A．8072
B．6054
（xi+yi）=（ ） C．4036
D．2018
【解答】解：∵g（x）的图象是由y=x3的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到的，
∴g（x）的图象关于点（1，1）对称， 又f（x）的图象关于点（1，1）对称，
∴f（x）与g（x）的2018个交点中，两两关于点（1，1）对称． ∴
（xi+yi）=
+
=
+
=4036．
故选C．
10．（5分）已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜个周期内的图象上的五个点，如图所示，A（
）一
），B为y轴上的点，C为
在
图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，x轴上的投影为
，则ω，φ的值为（ ）
第10页（共21页）
A．ω=2，φ= B．ω=2，φ= C．ω=，φ= D．ω=，φ=
【解答】解：根据题意，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称， 且
在x轴上的投影为
+
，
所以T=4×（所以ω=
）=π，
=2；
，0）， +φ）=0， ， ．
又因为A（﹣所以sin（﹣又0＜φ＜所以φ=
故选：A．
11．（5分）在△ABC中，点，则当A．
B．
C．9 •
取得最小值时，D．﹣9 =|
|•|
|•cosB=|
|2，
，点P是△ABC所在平面内一=（ ）
【解答】解：∵∴|∴
|•cosB=|⊥
|=6，
，
，即∠A=
以A为坐标原点建立如图所示的坐标系， 则B（6，0），C（0，3），设P（x，y）， 则
=x2+y2+（x﹣6）2+y2+x2+（y﹣3）2，
第11页（共21页）
=3x2﹣12x+3y2﹣6y+45， =3[（x﹣2）2+（y﹣1）2+10]， ∴当x=2，y=1时取的最小值， 此时
•
=（2，1）•（﹣6，3）=﹣9
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）=ex，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为（ ） A．2
﹣1 B．e2﹣ C．2﹣ln2 D．2+ln2
，
【解答】解：令 y=ea，则 a=lny，令y=ln+，可得 b=2
则b﹣a=2﹣lny，∴（b﹣a）′=2﹣．
显然，（b﹣a）′是增函数，观察可得当y=时，（b﹣a）′=0，故（b﹣a）′有唯一零点．
故当y=时，b﹣a取得最小值为2故选D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则a=
第12页（共21页）
﹣lny=2﹣ln=2+ln2，
1 ．
【解答】解：∵z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数， ∴
，解得a=1．
故答案为：1．
14．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值
为 1 ．
【解答】解：z的几何意义为区域内点到点G（0，﹣1）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象可知，AG的斜率最小， 由
解得
，即A（2，1）， ，
则AG的斜率k=故答案为：1
15．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 4π ．
第13页（共21页）
【解答】解：直观图如图所示的正四面体，
构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示， 正方体的边长为2，此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球， ∴此三棱锥的外接球的半径为R=三棱锥的外接球的体积为V=故答案为：4
π．
．
16．（5分）若正项递增等比数列{an}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为
．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，又由{an}为正项递增等比数列，则q＞1．
数列{an}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0，
则有1=（a4﹣a2）+λq（a5﹣a3）=（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）=（1+λq）（a4﹣a2）， 则有1+λq=
，
=
，
a8+λa9=a8+λqa8=a8（1+λq）=
令g（q）=，（q＞1）
第14页（共21页）
则导数g′（q）=分析可得：1＜q＜当q＞则当q=
=
，g′（q）＜0，g（q）在（0，
，
）为减函数；
，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数；
，
时，g（q）取得最小值，此时g（q）=
，
即a8+λa9的最小值为故答案为：
．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=log3an，求数列{
}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27． 当n=3时，解得
，
=3n，
，
当n≥2时，
由于：a1=S1=3也满足上式， 则：（2）若所以：所以：
18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+
=．
， ，
．
）+2cos2x．
第15页（共21页）
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+=∵
，
，
）+2cos2x．
故：f（x）的最大值为：2． 要使f（x）取最大值，即：解得：则x的集合为：（2）由题意，即：
又∵0＜A＜π， ∴∴∴
．
，
，
， ， （k∈Z）， （k∈Z），
（k∈Z）， ， ，
在△ABC中，b+c=2，
由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣bc， 由于：
=1，
所以：当b=c=1时，等号成立． 则：a2≥4﹣1=3， 即：
．
．
第16页（共21页）
则a的最小值为
19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0，10）．[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 合计 60 90 150 30 20 50 90 110 200 （1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附参考公式与：K2=P（K2≥k0） k0 0.15 2.702 0.05 3.841 0.025 5.024
0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数：200×[（0.02+0.005）×10]=50， 则不达标人数为150，∴列联表如下：
课外体育不达标 60 90 150 课外体育达标 30 20 50 合计 90 110 200 男 女 合计
第17页（共21页）
∴K2=
==6.060＜6.635．
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关
（2）由题意采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为6人，在“课外体育不达标”抽取人数为2人，则题意知：ξ的取值为1，2，3．P（ξ=1）=
=
；P
（ξ=2）==；
P（ξ=3）==；
故ξ的分布列为
ξ P 1 2 3 故ξ的数学期望为：E（ξ）=1×
+2×+3×=．
20．（12分）如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA=BC=2，AB=4，M，N分别是SC，AB的中点． （1）求证：MN⊥AB；
（2）D为线段BC上的点，当二面角S﹣ND﹣A的余弦值为﹣SNC的体积．
时，求三棱锥D
【解答】证明：（1）以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向， 垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
由题意得A（0，4，0），B（0，0，0），M（1，2，1），N（0，2，0），S（0，4，2），D（1，0，0），
第18页（共21页）
∴∵
=（﹣1，0，﹣1），
=0，
=（0，﹣4，0），
∴MN⊥AB．
解：（2）设平面SND的一个法向量为=（x，y，z）， 设D（m，0，0），（0≤m≤2），∴
=（0，﹣2，﹣2），
=（﹣m，2，0），
，令y=m，得=（2，m，﹣m），
又平面AND的法向量为=（0，0，1）， cos＜
＞=
=
，
解得m=1，即D为BC中点． ∴三棱锥D﹣SNC的体积： VD﹣SNC=VS﹣DNC==
=．
21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣的极值点．
（1）求a的取值范围； （2）证明：
．
+a（a∈R）在其定义域内有两个不同
【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx﹣ax， ∵函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点． ∴方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根
第19页（共21页）
即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根， 令g（x）=lnx﹣ax，则g′（x）=﹣a
当a≤0时，由g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（0，+∞）内为增函数，显然不成立
当a＞0时，由g′（x）＞0解得即g（x）在故
内为增函数，
，
内为减函数，
即可，解得
综上可知a的取值范围为（2）证明：由（1）知：当∴…上
式
n
； 时，
恒成立
个式子相加得
：
即
又∵∴
，
∴
．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（a为
参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
（ρ∈R）．
第20页（共21页）
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为得曲线C的普通方程：x2+y2﹣4x﹣12=0 所以曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ=12 （2）设A，B两点的极坐标方程分别为|AB|=|ρ1﹣ρ2| 又A，B在曲线C上，
则ρ1，ρ2是ρ2﹣4ρcosθ﹣12=0的两根 ∴所以：
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M． （1）求M的值；
（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：
+
≥1．
，
，
，
【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5， 若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解， 则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4． ∴M=4．
（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即[（a+b）+（b+c）]=1 ∴（2+2当且仅当∴
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+=[（a+b）+（b+c）]（
）≥×4=1， =
+）=（1+1++）≥
即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．
+≥1成立．
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