一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填在答题纸上．） 1. 在下列常见的手机软件小图标中，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ） A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
3. 两边长分别为、的等腰三角形的周长为（ ） A. B.
C.
或
D.以上都不对
4. 如图，给出下列四组条件：
①，，； ②，，； ③，，； ④，，
．
其中，能使
的条件共有( )
A.组
B.组
C.组
D.组
5. 下列说法不正确的是（ ） A.两个关于某直线对称的图形一定全等 B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C.两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 6. 如图，中，＝，＝，
，
分别平分
，
，过点作直线平行于
，交
，
于，
，则的周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 如图，的面积为，＝，现将沿
所在直线翻折，使点落在直线上的处，为直线
上的一点，则线段的长不可能是（ ）
A. B. C.
D.
8. 如图，
中，
＝
，
＝，
＝．分别以
、
、
为边在
的同侧作正方形
、
、
，四块阴影部分的面积分别为、、、．则
等于（ ）
A. B. C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 已知
，
，
，则
________．
10. 从地面小水洼观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际号是________．
11. 如图，和
相交于点，
＝
，请添加一个条件，使
（只添一个即可），你所添加的条
件是________．
12. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：
），计算两圆孔中心和的
距离为________．
13. 如图，
首先沿
折叠使
与
完全重合，然后再沿
折叠使
与
也完全重合，
则
的度数为________．
14. 小玲要求
最长边上的高，测得
＝
，
＝
，
＝
，则最长边上的高为
．
1
15. 如图，已知点为的角平分线上的一点，点在边上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间有一定的相等关系，请你写出与
所有可能的数量关系________．
16. 把一张长方形纸片（长方形
）按如图所示方式折叠，折痕为
，使点落在
边的点处，若
，，则重叠部分
的面积是________ ．
17. 如图是“赵爽弦图”，、
、
和
是四个全等的直角三角形，四边形
和
都是
正方形，如果，
，那么
为，
为，则________．
18. 如图，
，点、分别是射线、
上的动点，
平分
，且
，
的周长最小
值为________．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 如图，，，，求证：．
20. 如图，已知
．
画出，使和关于直线成轴对称． 画出
，使
和
关于直线
成轴对称．
与
成轴对称吗？若成，请在图上画出对称轴；若不成，说明理由． 21. 如图，
为直角，
长为，
长为，
长为
，正方形的面积为
，求三角形
的面
积．
22. 点为线段
外一动点，且
，
．如图所示，分别以
，
为边，作等边三角形
和等边三角形
，连接
，．
（1）请找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）直接写出线段
长的最大值．
23. 如图，长方形的纸片
中，
，把该纸片沿直线
折叠，点落在点处，
交
于点，若
，求
的长．
24. 如图，在
中，
，是边
上一动点（不与，重合），
于点，点是线段
的中
2
点，连接，．
（1）试猜想线段与的大小关系，并加以证明． （2）若
，连接
，在点运动过程中，探求
与
的数量关系．
25. 如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，是的中点，点在上，且． 求证：．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证
，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．请根据上述分析写出详细的证明过程（只需
写一种思路）．
26. 在中，，，点为直线上一点，为直线上的一点，且．
当点在线段上时，如图①，易证：；
当点在线段的延长线上时，如图②、图③，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
27. 在中，
，
、
、
的对边长分别为、、，设
的面积为，周长为．
（1）填表：
三边、、 、、 、、 、、 （2）如果，观察上表猜想：________，（用含有的代数式表示）；
（3）说出（2）中结论成立的理由． 28. 在等腰三角形
中，
度，是
边上的动点，连结
，、分别是
、
上的点，且
．、
（1）如图，若为边上的中点．
（1）填空：________，________；
（2）求证：．
（2）如图，从点出发，点在上，以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，且，点在上，设点运动的时间为秒在点运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项的字母代号填在答题纸上．） 1.
【答案】 A
【考点】 轴对称图形 【解答】
解：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.可知： ，是轴对称图形，故正确； ，不是轴对称图形，故错误； ，不是轴对称图形，故错误； ，不是轴对称图形，故错误． 故选. 2.
【答案】 D
【考点】
勾股定理的逆定理 【解答】 解：、因为，所以不能构成直角三角形； 、因为，所以不能构成直角三角形；
、因为，所以不能构成直角三角形； 、因为
，所以能构成直角三角形；
3
故选． 3. 【答案】 C
【考点】
等腰三角形的判定与性质 三角形三边关系 【解答】
解：①腰长为时，符合三角形三边关系，则其周长； ②腰长为时，符合三角形三边关系，则其周长．
所以三角形的周长为或． 故选． 4.
【答案】 C
【考点】
全等三角形的判定 【解答】
解：第①组满足，能证明． 第②组满足，能证明．
第③组满足，能证明． 第④组只是，不能证明．
所以有组能证明
．
故符合条件的有组． 故选． 5.
【答案】 B
【考点】 轴对称的性质 【解答】
解：、两个关于某直线对称的图形一定全等，本选项正确，故不符合题意；
、对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，如可能在对称轴上，故本选项错误，故符合题意；、两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，本选项正确，故不符合题意；、平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，本选项正确，故不符合题意． 故选． 6. 【答案】 B
【考点】
等腰三角形的性质与判定 平行线的性质 【解答】 ∵
，
∴ ＝，＝， ∵ 中，和的平分线相交于点， ∴ ＝，＝， ∴ ＝，＝， ∴ ＝，＝， ∵ ＝，＝，
∴ 的周长为：＝＝
＝＝＝．
7.
【答案】
A
【考点】
翻折变换（折叠问题） 三角形的面积 角平分线的性质 【解答】 如图：
过作于，于， ∵ 将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，
∴ ＝， ∴ ＝， ∵ 的面积等于，边＝， ∴
＝，
∴ ＝， ∴ ＝，
即点到的最短距离是， ∴ 的长不小于， 即只有选项的不正确， 8. 【答案】 B
【考点】 勾股定理 【解答】
过作的垂线交于， 可证明，，
所以＝． 由可进一步证得：，
∴ ＝， 又可证得， ∴ ＝＝． 易证， ∴ ＝， ∴ ＝
4
＝ ＝ ＝，
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.
【答案】
【考点】
全等三角形的性质 【解答】 解：∵ ，，，
∴ ，
，
∴
，
故答案为：．
10. 【答案】
【考点】 镜面对称 【解答】
解：实际车牌号是：．
故答案为：． 11. 【答案】 ＝ 【考点】
全等三角形的判定 【解答】 添加＝， 在和
中，
∵ ，
∴ ，
12. 【答案】
【考点】
勾股定理的应用 【解答】 解：∵ ，
，
∴ ．
13. 【答案】
【考点】
翻折变换（折叠问题） 【解答】
解：∵ 沿折叠使与
完全重合，
∴ ，， ∴ ， ∵ 沿折叠使与完全重合，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，解得，
∴ ． 故答案为． 14. 【答案】 ．
【考点】
勾股定理的逆定理 【解答】
∵ ＝＝，＝
＝
，
∴ 三角形是直角三角形． 根据面积法求
（
为斜边上的高），即
．
15. 【答案】
或
【考点】
全等三角形的性质 【解答】
解：或， 理由是：以为圆心，以为半径作弧，交于，连接
，∵ 在和中
，
∴
，
5
∴ ，
即此时点符合条件，此时；
以为圆心，以为半径作弧，交于另一点，连接，
则此点也符合条件， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 与所有可能的数量关系是：
或，
故答案为：或．
16. 【答案】
【考点】
翻折变换（折叠问题） 【解答】
解：∵ 四边形为矩形，
∴ ，，；
由题意得：，（设为），
则； 由勾股定理得： ， ∴ ，
；
在直角三角形中， 由勾股定理得：，
解得：， ∴
的面积
，
故该题答案为
．
17. 【答案】
【考点】
勾股定理的证明
【解答】
解：∵ ，，
∴ 大正方形的面积是，小正方形的面积是， ∴ 四个直角三角形面积和为，设
为，
为，即
，
∴ ，，
∴ ， ∴ ， ∵ ， 解得：，， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：． 18. 【答案】
【考点】
轴对称——最短路线问题 【解答】
解：分别作点关于
、
的对称点、，连接
，分别交
、
于点、，连接
、
、
、
、
．
∵ 点关于的对称点为，关于的对称点为， ∴ ，，； ∵ 点关于的对称点为， ∴ ，，， ∴ ，， ∴ 是等边三角形， ∴ ． ∴ 的周长的最小值， 故答案为：
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.
【答案】 证明：∵ ， ∴ ，
在和
中， ，
6
∴ ，
∴ ． 【考点】
全等三角形的性质 【解答】 证明：∵ ， ∴ ，
在和
中， ，
∴ ，
∴ ．
20. 【答案】 解：
所画图形如下所示：
作出
如上图所示.
与
不成轴对称，因为找不到使
与
重合的对称轴．【考点】
作图-轴对称变换 【解答】 解：
所画图形如下所示：
作出
如上图所示.
与
不成轴对称，因为找不到使
与
重合的对称轴．21. 【答案】 解：∵ 为直角，
长为，
长为，
∴
，
∵ 正方形的面积为，
∴ ， ∵ ，
∴ ， ∴ 三角形的面积
．
【考点】 勾股定理 【解答】
解：∵ 为直角，长为，长为， ∴ ， ∵ 正方形的面积为， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 三角形的面积
．
22. 【答案】
解：（1）如图，，理由是： ∵ 等边和等边， ∴ ，，，
∴ ， ∴ ，
∴ ；
（2）当
时，即点在射线
上，如图，
可得线段的长最大，，同理得， ∴ ，
即可得长的最大值是．
7
【考点】
全等三角形的性质 等边三角形的判定方法 【解答】
解：（1）如图，，理由是： ∵ 等边和等边， ∴ ，，，
∴ ， ∴ ，
∴ ；
（2）当
时，即点在射线
上，如图，
可得线段的长最大，
，同理得， ∴ ，
即可得长的最大值是． 23. 【答案】 解：根据折叠可得，
∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴
，
∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∴
，
∴
．
【考点】
翻折变换（折叠问题） 【解答】 解：根据折叠可得，
∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴
，
∵ 四边形是矩形， ∴ ，，
∴
，
∴ ．
24. 【答案】
解：（1），
在和中， ∵ 点是线段的中点， ∴
，
，
∴ ．
（2）由（1）可知，
∴ ，，
∴ ，
，
8
∴ ，
又，
∴ 为等边三角形，
∴
．
【考点】
直角三角形斜边上的中线 等边三角形的判定方法 【解答】
解：（1）， 在和中， ∵ 点是线段的中点， ∴
，
，
∴ ．
（2）由（1）可知， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， 又， ∴ 为等边三角形， ∴ ．
25. 【答案】
证明：方法一：如图中，作
于点，
于点． ∴ ， 在
和
中，
，
∴ ．
∴ ． 在
和
中， ，
∴ ． ∴ ．
或方法二：如图中，作
，交的延长线于点．
∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在和中，
，
∴ ． ∴ ． ∴ ． 【考点】
等腰三角形的判定与性质 全等三角形的性质
【解答】
证明：方法一：如图中，作
于点，
于点． ∴ ， 在
和
中，
9
，
∴ ．
∴ ． 在
和
中， ，
∴ ． ∴ ．
或方法二：如图中，作
，交的延长线于点．
∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在和中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
26. 【答案】
解；如图②中，结论：． 理由：作交于， ∵ 是等边三角形， ∴ ，，
∴ ，，
∴ 是等边三角形， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，
∵ ，
，
∴ ， 在
和
中，
，
∴ ， ∴ ， ∴ ． 如图③中，结论：． 理由：作交于， ∵ 是等边三角形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 是等边三角形， ∴ ，，
∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，
∴ ， 在和中，
，
∴ ， ∴
，
1 0
∴
．
【考点】
全等三角形的性质 【解答】
解；如图②中，结论：． 理由：作交于， ∵ 是等边三角形， ∴ ，， ∴ ，，
∴ 是等边三角形， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，
∴ ， 在和中，
，
∴ ，
∴ ， ∴ ． 如图③中，结论：． 理由：作交于， ∵ 是等边三角形，
∴ ，
， ∴ ，
， ∴ 是等边三角形，
∴ ，，
∴ ， ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ， 在
和
中，
，
∴
， ∴ ，
∴ ．
27. 【答案】 解：（1）∵
的面积
，周长，故当、、三边分别为、、时，，
，故
，同理将其余两组数据代入可得为，．
∴ 应填：，，
（2）通过观察以上三组数据，可得出．
（3）∵
，
，
∴ ．
∵ ， ∴ ，，
∴ ．即
． 【考点】
1 1
勾股定理 【解答】 解：（1）∵
的面积
，周长
，故当、、三边分别为、、时，
，
，故
，同理将其余两组数据代入可得为，．
∴ 应填：，，
（2）通过观察以上三组数据，可得出． （3）∵ ，
，
∴ ．
∵ ， ∴ ，，
∴ ．即
． 28. 【答案】 , 【考点】
全等三角形的判定 【解答】
（1）解：∵ 在等腰三角形中，度，为
边上的中点，
∴ ，；
1 2
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