河南省信阳市潢川县2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷
题号 得分 一 二 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列交通标志中，成轴对称图形的是( )
三 总分 A.
B.
C.
D.
2. 下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B.
C.
D.
3. 一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( )
A. 60°
的是( )
B. 72° C. 90° D. 108°
4. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，AD平分∠𝐵𝐴𝐶，那么下列结论不一定成立
A. △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷 C. AD是△𝐴𝐵𝐶的角平分线
B. AD是△𝐴𝐵𝐶的高线 D. △𝐴𝐵𝐶是等边三角形
5. 将一副三角板如图方式放置，则∠1的度数是( )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
6. 小亮不小心打碎了一块玻璃，他根据所学的知识带了B部分去玻璃店配了一块
完整玻璃，他的依据是( )
A. ASA B. SAS C. AAS D. SSS
7. 如图，𝐴𝐵=𝐴1𝐵1，𝐵𝐶=𝐵1𝐶1，𝐴𝐶=𝐴1𝐶1，且∠𝐴=110°，∠𝐵=40°，则∠𝐶1=( )
A. 110°
的面积为( )
B. 40° C. 30° D. 20°
8. 如图，BD是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐷=3，𝐵𝐶=5，则△𝐵𝐶𝐷
A. 7.5 B. 8 C. 10 D. 15
9. 如图所示，∠𝐸=∠𝐹=90°，∠𝐵=∠𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐹，给出下列结
④𝐶𝐷=𝐷𝑁.论：①∠1=∠2；②𝐵𝐸=𝐶𝐹；③△𝐶𝐴𝑁≌△𝐴𝐵𝑀；其中正确的结论是( )
A. ①②
B. ②③ D. ②③④
C. ①②③
10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷𝐵=𝐷𝐶，若𝐵𝐶=6，𝐴𝐷=5，则图中
阴影部分的面积为( )
A. 30 B. 15 C. 7.5 D. 6
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如果△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，∠𝐵=60°，∠𝐶=40°，那么∠𝐸=______°. 12. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=60°，∠𝐵=70°，CD是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，点
E在AC上，𝐷𝐸//𝐵𝐶，则∠𝐸𝐷𝐶的度数为______ ．
13. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=6，𝐵𝐶=8，𝐴𝐵=10，点D、点E分别在边BC、AB上，
且点C与点E关于AD对称，P为AD上一动点，则△𝑃𝐸𝐵的周长的最小值是 ．
14. 已知，如图在坐标平面内，𝑂𝐴⊥𝑂𝐶，𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝐴(√3,1)，则C点坐标为______．
15. 如图，矩形纸片ABCD中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=8，现将A、C重合，使纸片
折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分△𝐴𝐸𝐹的面积为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16. 已知一个等腰三角形的周长为20cm，有一边的长为5cm，求这个等腰三
角形的其它两边的长
17. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于D，若∠𝐴𝐵𝐶=72°，求∠𝐴𝐵𝐷的度
数．
18. 如图，四边形ABDC的对角线AD、
BC相交于点E，∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵，𝐵𝐸=𝐶𝐸.求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷．
19. 如图：
△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，①若△𝐵𝐶𝐷的周长为8，求BC的长； ②若𝐵𝐶=4，求△𝐵𝐶𝐷的周长．
20. 如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别是𝐴(1,3)，𝐵(−2,−2)，𝐶(2,−1)．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于y轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)写出点𝐴1，𝐵1，𝐶1的坐标； (3)求△𝐴𝐵𝐶的面积．
21. 如图，点C、F、E、B在同一条直线上，∠𝐶𝐹𝐷=∠𝐵𝐸𝐴，𝐶𝐸=𝐵𝐹，𝐷𝐹=𝐴𝐸，写出CD与AB
之间的关系，并说明你的理由．
22. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=60°，AD，CE分别平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，且AD，CE交于点O．
(1)求∠𝐶𝑂𝐷的度数； (2)求证：𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐶𝐷．
23. 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=90°．
(1)当点D在AC上时，如图1，试判断线段BD、CE的数量关系？并说明理由； (2)如图1，延长BD交CE于点F，试判断线段BD、CE的位置关系？并说明理由；
(3)将图1中的△𝐴𝐷𝐸绕点A逆时针旋转一定的角度，如图2，则BD、CE有怎样的关系？请直接写出结论．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：A、不是成轴对称图形，故本选项错误； B、是成轴对称图形，故本选项正确； C、不是成轴对称图形，故本选项错误； D、不是成轴对称图形，故本选项错误． 故选：B．
根据成轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了成轴对称图形的概念，成轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.答案：B
解析：解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 显然B选项符合． 故选：B．
根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
3.答案：B
解析：解：设此多边形为n边形， 根据题意得：180°(𝑛−2)=540°， 解得：𝑛=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：故选B．
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180(𝑛−2)=540，即可求得𝑛=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：(𝑛−2)⋅180°，外角和等于360°．
360∘5
=72°．
4.答案：D
解析：解：
𝐴𝐵=𝐴𝐶
A、在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，所以△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，所以A正确；
𝐴𝐷=𝐴𝐷B、因为𝐴𝐵=𝐴𝐶，AD平分∠𝐵𝐴𝐶，所以AD是BC边上的高，所以B正确； C、由条件可知AD为△𝐴𝐵𝐶的角平分线；
D、由条件无法得出𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶，所以△𝐴𝐵𝐶不一定是等边三角形，所以D不正确； 故选D．
利用等腰三角形的性质逐项判断即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
5.答案：A
解析：
本题考查了三角形的外角的性质，熟练正确利用三角形的外角的性质是解题的关键． 根据三角形的外角的性质即可得到结论． 解：∠1=60°−45°=15°， 故选A．
6.答案：A
解析：解：B部分保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定， 故选：A．
根据全等三角形的判定方法，可确定全等三角形的判定方法．
本题主要考查了全等三角形的应用，要求对常用的几种方法熟练掌握．在解答时要求对全等三角形的判定方法运用灵活．
7.答案：C
解析：
本题主要考查qu全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理.先证出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴1𝐵1𝐶1，得出∠𝐶=∠𝐶1，再由三角形内角定理求出∠𝐶，即可解答． 解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴1𝐵1𝐶1中， 𝐴𝐵=𝐴1𝐵1
{𝐵𝐶=𝐵1𝐶1， 𝐴𝐶=𝐴1𝐶1
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴1𝐵1𝐶1， ∴∠𝐶=∠𝐶1，
∵∠𝐴=110°，∠𝐵=40°，
∴∠𝐶=180°−∠𝐴−∠𝐵=30°， ∴∠𝐶1=30°． 故选C．
8.答案：A
解析：
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于E，根据角平分线的性质求出DE的长，根据三角形面积公式计算即可． 解：作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于E，
∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐴=3，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=2×𝐵𝐶×𝐷𝐸=7.5． 故选A．
1
9.答案：C
解析：解：在△𝐴𝐸𝐵和△𝐴𝐹𝐶中， ∠𝐵=∠𝐶{∠𝐸=∠𝐹， 𝐴𝐸=𝐴𝐹
∴△𝐴𝐸𝐵≌△𝐴𝐹𝐶，
∴𝐵𝐸=𝐶𝐹，∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐹𝐴𝐶，
∴∠1+∠𝐶𝐴𝐵=∠2+∠𝐶𝐴𝐵
∴∠1=∠2，∴①②正确； ∵△𝐴𝐸𝐵≌△𝐴𝐹𝐶 ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵，
在△𝐶𝐴𝑁和△𝐴𝐵𝑀中， ∠𝐶𝐴𝑁=∠𝐵𝐴𝑀{𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∠𝐶=∠𝐵
∴△𝐴𝐶𝑁≌△𝐵𝐴𝑀，∴③是正确的； ∵△𝐴𝐶𝑁≌△𝐵𝐴𝑀， ∴𝐴𝑀=𝐴𝑁，
又∵𝐴𝐶=𝐴𝐵 ∴𝐶𝑀=𝐵𝑁，
在△𝐶𝐷𝑀和△𝐵𝐷𝑁中， ∠𝐶=∠𝐵
{∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐵𝐷𝑁， 𝐶𝑀=𝐵𝑁
∴△𝐶𝐷𝑀≌△𝐵𝐷𝑁， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐷，
而DN与BD不一定相等，因而𝐶𝐷=𝐷𝑁不一定成立，∴④错误． 故正确的是：①②③． 故选：C．
∠𝐵=∠𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐹利用AAS可以证得△𝐴𝐸𝐵≌△𝐴𝐹𝐶，根据∠𝐸=∠𝐹=90°，进而证得△𝐴𝐸𝐵≌△𝐴𝐹𝐶，△𝐶𝐷𝑀≌△𝐵𝐷𝑁，从而作出判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，能正确证明=出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的体力能力．
10.答案：C
解析： 【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和轴对称的性质；根据轴对称的性质结合图形推出阴影部分面积是三角形面积的一半是解题的关键．根据题意可得：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷关于AD对称，再由轴对称图形的性质可得：图中阴影部分的面积为△𝐴𝐵𝐶的面积的一半． 解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷𝐵=𝐷𝐶， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷关于AD对称，
∴阴影部分的面积等于△𝐴𝐵𝐶面积的一半， ∵𝐵𝐶=6，𝐴𝐷=5， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=×6×5=15，
21
∴阴影部分面积=2𝑆△𝐴𝐵𝐶=7.5． 故选C．
1
11.答案：60
解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，∠𝐵=60°，∠𝐶=40°，
∴∠𝐸=∠𝐵=60°， 故答案为：60．
根据全等三角形的性质得出∠𝐸=∠𝐵，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12.答案：25°
解析：
先根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵的度数，再由角平分线的性质求出∠𝐵𝐶𝐷的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 解：∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=60°，∠𝐵=70°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=180°−60°−70°=50°． ∵𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的平分线， ∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=25°．
21
∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=25°． 故答案为：25°．
13.答案：12
解析：
本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．
连接CE，交AD于M，根据轴对称得出当P和D重合时，𝑃𝐸+𝐵𝑃的值最小，即此时△𝐵𝑃𝐸的周长最小，最小值是𝐵𝐸+𝑃𝐸+𝑃𝐵=𝐵𝐸+𝐶𝐷+𝐷𝐵=𝐵𝐶+𝐵𝐸，先求出BE的长，代入求出即可． 解：连接CE，交AD于M，
∵点C与点E关于AD对称，
∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐸𝐷=90°，𝐴𝐶=𝐴𝐸=6，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐷， ∴𝐵𝐸=10−6=4，AD垂直平分CE，𝐶𝐷=𝐷𝐸， ∴当P和D重合时，𝑃𝐸+𝐵𝑃的值最小， 即此时△𝐵𝑃𝐸的周长最小，
最小值是𝐵𝐸+𝑃𝐸+𝑃𝐵=𝐵𝐸+𝐶𝐷+𝐷𝐵=𝐵𝐶+𝐵𝐸， ∴△𝑃𝐸𝐵的周长的最小值是𝐵𝐶+𝐵𝐸=8+4=12． 故答案为：12．
14.答案：(−1,√3)
解析：
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．先过点A作𝐴𝐷⊥𝑥轴于D，过点C作𝐶𝐸⊥𝑥轴于E，构造△𝑂𝐶𝐸≌△𝐴𝑂𝐷，再根据全等三角形的性质，求得𝑂𝐸=𝐴𝐷=1，𝐶𝐸=𝑂𝐷=√3，进而得出C点坐标．
解：过点A作𝐴𝐷⊥𝑥轴于D，过点C作𝐶𝐸⊥𝑥轴于E，则∠𝐴𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝑂=90°，
∴∠𝑂𝐶𝐸+∠𝐶𝑂𝐸=90°， ∵𝑂𝐴⊥𝑂𝐶，
∴∠𝐴𝑂𝐷+∠𝐶𝑂𝐸=90°， ∴∠𝑂𝐶𝐸=∠𝐴𝑂𝐷， 在△𝑂𝐶𝐸和△𝐴𝑂𝐷中，
∴△𝑂𝐶𝐸≌△𝐴𝑂𝐷(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑂𝐸=𝐴𝐷，𝐶𝐸=𝑂𝐷， 又∵𝐴(√3,1)，
∴𝑂𝐸=𝐴𝐷=1，𝐶𝐸=𝑂𝐷=√3， ∴𝐶点坐标为(−1,√3). 故答案为：(−1,√3).
15.答案：10
解析：
本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．
要求重叠部分△𝐴𝐸𝐹的面积，选择AF作为底，高就等于AB的长；而由折叠可知∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐹，由平行得∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴𝐹𝐸，代换后，可知𝐴𝐸=𝐴𝐹，问题转化为在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中求AE． 解：设𝐴𝐸=𝑥，由折叠可知，𝐸𝐶=𝑥，𝐵𝐸=8−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵2+𝐵𝐸2=𝐴𝐸2，即42+(8−𝑥)2=𝑥2， 解得：𝑥=5，
由折叠可知∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐹， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴𝐹𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐹𝐸，即𝐴𝐸=𝐴𝐹=5， ∴𝑆△𝐴𝐸𝐹=2×𝐴𝐹×𝐴𝐵=2×5×4=10． 故答案为：10．
1
1
16.答案：解：①底边长为5cm，则腰长为：(20−5)÷2=7.5，所以另两边的长为7.5𝑐𝑚，7.5𝑐𝑚，
能构成三角形；
②腰长为5cm，则底边长为：20−5×2=10，不能构成三角形． 因此另两边长为7.5𝑐𝑚、7.5𝑐𝑚．
解析：已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
17.答案：解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于D，
∴∠𝐵𝐷𝐶=90°， ∵∠𝐵=72°，𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐴=36°，
∴∠𝐴𝐵𝐷=90°−∠𝐴=54°．
解析：由𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于D，得到∠𝐵𝐷𝐶=90°，根据等腰三角形的性质得到∠𝐴=36°，由三角形的内角和即可得到结论．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解答此题的关键是熟知三角形的内角和为180°．
18.答案：解：∵∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵，
∴𝐵𝐷=𝐶𝐷， 在△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐷𝐸中，
𝐵𝐷=𝐶𝐷
{∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵, 𝐵𝐸=𝐶𝐸
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐸， 在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
𝐴𝐷=𝐴𝐷
{∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐸, 𝐵𝐷=𝐶𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)．
解析：本题考查了全等三角形的判定和性质．
由题意知𝐵𝐷=𝐶𝐷，可证得△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐸，进而得到∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐸，再证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷即可．
19.答案：解：①𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，DE垂直平分AB，
故BD=𝐴𝐷，𝐵𝐷+𝐶𝐷=𝐴𝐷+𝐶𝐷=5． 由△𝐵𝐶𝐷的周长为8，可推出𝐵𝐶=3； ②∵𝐵𝐶=4，𝐵𝐷+𝐶𝐷=5， ∴△𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷+𝐶𝐷+𝐵𝐶=9．
解析：(1)利用线段垂直平分线的性质可知𝐵𝐷+𝐶𝐷=5，易求BC； (2)根据第一问中𝐵𝐷+𝐶𝐷=5，易求△𝐵𝐶𝐷的周长．
本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；进行线段的有效转移是正确解答本题的关键．
20.答案：解：(1)△𝐴1𝐵1𝐶1如图所示；
(2)𝐴1(−1,3)，𝐵1(2,−2)，𝐶1(−2,−1)；
(3)△𝐴𝐵𝐶的面积=4×5−2×4×1−2×4×1−2×3×5
=20−2−2−7.5
=8.5．
1
1
1
解析：本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点𝐴1、𝐵1、𝐶1的位置，然后顺次连接即可； (2)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
(3)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
21.答案：解：𝐶𝐷//𝐴𝐵，𝐶𝐷=𝐴𝐵，
理由是：∵𝐶𝐸=𝐵𝐹， ∴𝐶𝐸−𝐸𝐹=𝐵𝐹−𝐸𝐹， ∴𝐶𝐹=𝐵𝐸， 在△𝐴𝐸𝐵和△𝐶𝐹𝐷中， 𝐶𝐹=𝐵𝐸
{∠𝐶𝐹𝐷=∠𝐵𝐸𝐴， 𝐷𝐹=𝐴𝐸
∴△𝐴𝐸𝐵≌△𝐷𝐹𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐵，∠𝐶=∠𝐵， ∴𝐶𝐷//𝐴𝐵．
解析：本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件;求出𝐶𝐹=𝐵𝐸，根据SAS证△𝐴𝐸𝐵≌△𝐷𝐹𝐶，推出𝐶𝐷=𝐴𝐵，∠𝐶=∠𝐵，根据平行线的判定推出𝐶𝐷//𝐴𝐵
22.答案：解：(1)∵∠𝐵=60°，AD、CE分别平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝑂𝐶=180∘−(∠𝑂𝐶𝐴+∠𝑂𝐴𝐶)=180∘−=180∘−2(180∘−60∘)=120°， ∴∠𝐶𝑂𝐷=60°；
1
(∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐵𝐴𝐶)1
=180∘−(180∘−∠𝐵)
22
(2)如图：，在AC上截取𝐴𝐹=𝐴𝐸，连接OF，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，
𝐴𝐸=𝐴𝐹
在△𝐴𝑂𝐸和△𝐴𝑂𝐹中，{∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐹𝐴𝑂，
𝐴𝑂=𝐴𝑂∴△𝐴𝑂𝐸≌△𝐴𝑂𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝑂𝐹， ∵∠𝐴𝑂𝐶=120°， ∴∠𝐴𝑂𝐸=60°，
∴∠𝐴𝑂𝐹=∠𝐶𝑂𝐷=60°=∠𝐶𝑂𝐹， ∠𝐹𝑂𝐶=∠𝐷𝑂𝐶
在△𝐶𝑂𝐹和△𝐶𝑂𝐷中，{𝐶𝑂=𝐶𝑂，
∠𝐹𝐶𝑂=∠𝐷𝐶𝑂∴△𝐶𝑂𝐹≌△𝐶𝑂𝐷(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐶𝐹=𝐶𝐷，
∴𝐴𝐶=𝐴𝐹+𝐶𝐹=𝐴𝐸+𝐶𝐷．
解析：本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定定理．
(1)利用∠𝐵=60°，AD、CE分别平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，求出∠𝐴𝑂𝐶=120°，进而得出答案； (2)在AC上截取𝐴𝐹=𝐴𝐸，证明△𝐴𝑂𝐸≌△𝐴𝑂𝐹，进而证得△𝐶𝑂𝐹≌△𝐶𝑂𝐷，进而得出线段之间的关系，即可得出结论．
23.答案：解：(1)如图1中，结论：𝐵𝐷=𝐶𝐸.理由如下：
在△𝐴𝐸𝐶和△𝐴𝐷𝐵中， 𝐴𝐸=𝐴𝐷
∵{∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐵， 𝐴𝐶=𝐴𝐵∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐷𝐵(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐸；
(2)结论：𝐵𝐷⊥𝐸𝐶．
理由：∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐷𝐵(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐵，
∵∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐴𝐵𝐷=90° ∴∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐸𝐶=90°
∴∠𝐵𝐹𝐸=90°， ∴𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
(3)如图2中，结论：𝐵𝐷=𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐶， ∵在△𝐸𝐴𝐶和△𝐷𝐴𝐵中， 𝐴𝐷=𝐴𝐸
{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐶， 𝐴𝐵=𝐴𝐶
∴△𝐸𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，
∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐸=90°， ∴∠𝐵𝐹𝐶=90°，即𝐸𝐶⊥𝐵𝐷．
解析：本题考查了几何变换综合题、全等三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中求证△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐷𝐵是解题的关键，属于中考常考题型．
(1)可以证明△𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐷𝐵，可得𝐵𝐷=𝐶𝐸，且∠𝐵𝐹𝐸=90°，即可解题； (2)延长BD与EC交于点F，由△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐷𝐵，∠𝐵𝐹𝐸=90°，即可解题；
(3)𝐵𝐷=𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝐸.根据全等三角形的判定定理SAS推知△𝐸𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐵，然后由全等三角形的对应边相等证得𝐵𝐷=𝐶𝐸、对应角相等∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，由∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=90°，可得∠𝐵𝐹𝐶=90°．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容