玉屏侗族自治县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ A．80

B．40

C．60

D．20

）

2． 函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（ A．RA．4

B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[2，+∞）

2x）

3． 函数y(a4a4)a是指数函数，则的值是（

B．1或3

C．3

D．1

）

4． 若f（x）为定义在区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ①f（x）=A．4　

5． 设变量x，y满足约束条件A．12

B．10

C．8

D．2

），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（ C．

﹣

=1

D．

﹣

=1

）

，则目标函数z=4x+2y的最大值为（

）

，②f（x）=

C．2

，③f（x）=D．1

，④f（x）=

．

）

B．3

6． 如果双曲线经过点P（2，A．x2﹣

=1

B．

﹣

=1

7． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（

）

第 1 页，共 18 页

A．3　

B．4C．5D．6

8． 为了得到函数y=A．向右平移

sin3x的图象，可以将函数y=

个单位

sin（3x+）的图象（ ）

个单位B．向右平移

C．向左平移个单位D．向左平移个单位　

9． 已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2值为（ A．

或﹣

）B．

或3

C．

或5

x﹣4D．3

y+7=0相交于A，B两点，且或5

•=4，则实数a的

xy2„010．已知实数x[1,1]，y[0,2]，则点P(x,y)落在区域x2y1„0 内的概率为（ ）

2xy2…0A.

3 4+

B.

38C.

14D.

18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.11．“方程A．必要不充分A．0

=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的（ B．充要B．1

）条件．

D．不充分不必要）D．3

C．充分不必要C．2

12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（

第 2 页，共 18 页

二、填空题

x21,x0x13．已知函数f(x)，g(x)21，则f(g(2)) ，f[g(x)]的值域

x1,x0为 14．若

．

与

共线，则y=　　　　　　．，则的最小值为　　　　　　．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

15．设变量x，y满足约束条件　

16．函数f（x）=

（x＞3）的最小值为　　．x17．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fxe2x1axa，其中a1，若存在唯一的整数

，

x0，使得fx00，则a的取值范围是 18．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记则S的最小值是　　．　

三、解答题

19．已知曲线f(x)ex平行．

（1）讨论yf(x)的单调性；

（2）若kf(s)tlnt在s(0,)，t(1,e]上恒成立，求实数的取值范围．

212（x0，a0）在x1处的切线与直线(e1)xy20160ax20．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）画出散点图；

第 3 页，共 18 页

（2）求线性回归方程；

（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．

21．（本小题满分12分）

已知圆M与圆N：(x)(y)r关于直线yx对称，且点D(,)在圆M上.

22253531533（1）判断圆M与圆N的位置关系；

（2）设P为圆M上任意一点，A(1,)，B(1,)，P、A、B三点不共线，PG为APB的平分线，且交

5353AB于G. 求证：PBG与APG的面积之比为定值.

22．（本小题满分12分）

如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BDPC，若沿AB将三角形PAB折起，使

PAD，构成四棱锥PABCD，且

（1）求证：平面 BEF平面PAB；（2）当 异面直线BF与PA所成的角为

PCCD2.PFCE时，求折起的角度.

3第 4 页，共 18 页

23．（本小题满分10分）

x2t,x2y21，直线l:已知曲线C:（为参数）.

y22t,49（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求|PA|的最大值与最小值.

24．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？

（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；

第 5 页，共 18 页

（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）k

0.152.072

0.102.706

0.053.841

0.0255.024

0.0106.635

0.0057.879

0.00110.828

（参考公式：K2=

，其中n=a+b+c+d）

第 6 页，共 18 页

玉屏侗族自治县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是故选：B．

【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．　

2． 【答案】C

【解析】解：由于f（x）=x2﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，又由函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．故答案为：C　

3． 【答案】C【解析】

×200=40，

考点：指数函数的概念．4． 【答案】C

【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），

等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），①f（x）=②f（x）=③f（x）=＜0恒成立，

故③不为“上进”函数；

的导数f′（x）=的导数f′（x）=

，f″（x）=，f″（x）=﹣•

，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；＜0恒成立，故②不为“上进”函数；

f″（x）=，

=的导数f′（x）

第 7 页，共 18 页

④f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．

故④为“上进”函数．故选C．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．　

5． 【答案】B

【解析】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．

6． 【答案】B

【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，λ=4﹣2=2，

可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为

﹣

=1．

），可得

故选：B．　

7． 【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0

满足条件n＜i，s=2，n=1满足条件n＜i，s=5，n=2满足条件n＜i，s=10，n=3满足条件n＜i，s=19，n=4

第 8 页，共 18 页

满足条件n＜i，s=36，n=5

所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．　

8． 【答案】A

【解析】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，

即可得到y=sin[3（x+

﹣

）]=

sin3x的图象，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．　

9． 【答案】C【解析】解：圆x2+y2+2x﹣4

y+7=0，可化为（x+

）2+（y﹣2

）2=8．

∵

•

=4，∴2

•2

cos∠ACB=4

∴cos∠ACB=，∴∠ACB=60°

∴圆心到直线的距离为，∴=

，∴a=

或5

．

故选：C．　

10．【答案】B【

解

析

第 9 页，共 18 页

】

11．【答案】C

【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，

即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立，当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程不成立．故“方程故选：C．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．　

12．【答案】D

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，则S4=4a1+联立解得∴S6=6a1+故选：D

【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．　

d=3

d=﹣2，S5=5a1+，

d=0，

+

=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．

+

=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性

二、填空题

第 10 页，共 18 页

13．【答案】2，[1,). 【

解

析

】

14．【答案】　﹣6　．

【解析】解：若解得y=﹣6故答案为：﹣6

【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．　

15．【答案】　4　．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象可知，OC的斜率最小，由

即C（4，1），此时=4，故的最小值为4，故答案为：4

，解得

，与

共线，则2y﹣3×（﹣4）=0

第 11 页，共 18 页

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的定义以及数形结合是解决本题的关键．　

16．【答案】　12　．

【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0由题意知：

=﹣

=t﹣3t2

令t=∈（0，），h（t）=

因为 h（t）=t﹣3t2 的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；故h（t）∈（0，由h（t）=故答案为：12　

17．【答案】【解析】试题分析:设

的下方.因为

当

时,

,函数,故当

,故当

,由题设可知存在唯一的整数x0，使得

时,

,函数

在直线单调递减; ,而当

,解之得

时,

]

≥12

⇒f（x）=

单调递增;故且

,应填答案

3,1.2e考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．

第 12 页，共 18 页

【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点x0，使得fx00为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数x0，使得据题设建立不等式组求出解之得18．【答案】　

【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=1）

令3﹣x=t，t∈（2，3），∴S=立；故答案为：　

．=

=

，当且仅当t=即t=2

时等号成

=

，（0＜x＜

　．

在直线

.

的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依

三、解答题

19．【答案】（1）f(x)在(,)，(,)上单调递增，在(,0)，(0,)上单调递减；（2）

1e1e1e1e1[,).2【解析】

试题解析：（1）由条件可得f'(1)e21e21，∴a1，a第 13 页，共 18 页

1e2x2112由f(x)ex，可得f'(x)e2，2xxxe2x210,11由f'(x)0，可得解得x或x；

eex0,e2x210,11由f'(x)0，可得解得x0或0x．

eex0,2111eee（2）令g(t)tlnt，当s(0,)，t(1,e]时，f(s)0，g(t)tlnt0，

tlnt由kf(s)tlnt，可得k在x(0,)，t(1,e]时恒成立，

f(s)tlntg(t)即k，故只需求出f(s)的最小值和g(t)的最大值．f(s)maxf(s)max所以f(x)在(,)，(,)上单调递增，在(,0)，(0,)上单调递减．由（1）可知，f(s)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递增，

1e1e1e1e由g(t)tlnt可得g'(t)lnt10在区间(1,e]上恒成立，

故f(s)的最小值为f()2e，

所以g(t)在(1,e]上的最大值为g(e)elnee，所以只需ke1，2e212所以实数的取值范围是[,).

考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导定义域；②对fx求导；③令fx0，解不等式得的范围就是递增区间；令fx0，解不等式得的20．【答案】

数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数fx的范围就是递减区间；④根据单调性求函数fx的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.

第 14 页，共 18 页

【解析】解：（1）

（2）

设回归方程为=bx+a则b=

﹣5

/

﹣5

=1380﹣5×5×50/145﹣5×52=6.5

故回归方程为=6.5x+17.5

（3）当x=7时， =6.5×7+17.5=63，

所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）．

【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．　

21．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2.【解析】

试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M的圆心，

rDM,然后根据圆心距MN与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G到AP和BP

PBSPBG的距离相等，所以两个三角形的面积比值,根据点P在圆M上，代入两点间距离公式求PB和SAPGPAPA,最后得到其比值.

试题解析：（1） ∵圆N的圆心N(,)关于直线yx的对称点为M(,)，∴r|MD|()225353553343216，92∴圆M的方程为(x)(y)2535316.9第 15 页，共 18 页

∵|MN|(1021021028)()2r，∴圆M与圆N相离.3333考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.122．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

试题分析：（1）可先证BAPA，BAAD从而得到BA平面PAD，再证CDFE,CDBE可得

2．3CD平面BEF,由CD//AB,可证明平面BEF平面PAB；（2）由PAD,取BD的中点G，连接

FG,AG,可得PAG即为异面直线BF与PA所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1

试题解析：

第 16 页，共 18 页

（2）因为PAD，取BD的中点G，连接FG,AG，所以FG//CD，FG1CD，又AB//CD，21ABCD，所以FG//AB，FGAB，从而四边形ABFG为平行四边形，所以BF//AG，得；同时，

22因为PAAD，PAD，所以PAD，故折起的角度.

3考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质．

x2cos2252523．【答案】（1），y2x6；（2），.y3sin55【解析】

试题分析：（1）由平方关系和曲线C方程写出曲线C的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C的参数方程设曲线上C任意一点P的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P直线的距离，利用正弦函数求出PA，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA的最大值与最小值.试题解析：（1）曲线C的参数方程为x2cos，（为参数），直线的普通方程为y2x6.

y3sin5|4cos3sin6|．5d254|5sin()6|tan则|PA|，其中为锐角，且，当sin()1时，|PA|取

sin305322525得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.55（2）曲线C上任意一点P(2cos,3sin)到的距离为d考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.

第 17 页，共 18 页

24．【答案】 　

【解析】

【专题】综合题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K2，从而与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

=

┉┉┉┉┉┉

则随机变量ξ的分布列为ξ0P

数学期望Eξ=0×

+1×

+2×

12

=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉

（Ⅲ）2×2列联表为

甲班

优秀不优秀合计┉┉┉┉┉K2=

31720

乙班101020

合计132740

≈5.584＞5.024

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．

第 18 页，共 18 页