圆的方程

　　教学目标

　　(1)把握圆的标准方程,能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程,也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

　　教学建议

　　教材分析

　　(2)重点、难点分析

　　教学设计示例

　　圆的一般方程

　　教学目标:

　　(1)把握圆的一般方程及其特点.

　　(2)能将圆的一般方程转化为圆的标准方程,从而求出圆心和半径.

　　(3)能用待定系数法,由已知条件求出圆的一般方程.

　　(4)通过本节课学习,进一步把握配方法和待定系数法.

　　教学重点:(1)用配方法,把圆的一般方程转化成标准方程,求出圆心和半径.

　　(2)用待定系数法求圆的方程.

　　教学难点:圆的一般方程特点的研究.

　　教学用具:计算机.

　　教学方法:启发引导法,讨论法.

　　教学过程:

　　引入

　　前边已经学过了圆的标准方程

　　把它展开得

　　任何圆的方程都可以通过展开化成形如

　　①

　　的方程

　　问题1

　　形如①的方程的曲线是否都是圆?

　　师生共同讨论分析:

　　假如①表示圆,那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法,得

　　②

　　显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关,具体如下:

　　(1)当 时,②表示以 为圆心、以 为半径的圆;

　　(2)当 时,②表示一个点 ;

　　(3)当 时,②不表示任何曲线.

　　总结:任意形如①的方程可能表示一个圆,也可能表示一个点,还有可能什么也不表示.

　　圆的一般方程的定义:

　　当 时,①表示以 为圆心、以 为半径的圆,

　　此时①称作圆的一般方程.

　　即称形如 的方程为圆的一般方程.

　　问题2圆的一般方程的特点,与圆的标准方程的异同.

　　(1) 和 的系数相同,都不为0.

　　(2)没有形如 的二次项.

　　圆的一般方程与一般的二元二次方程

　　③

　　相比较,上述(1)、(2)两个条件仅是③表示圆的必要条件,而不是充分条件或充要条件.

　　圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋:

　　(1)圆的标准方程带有明显的几何的影子,圆心和半径一目了然.

　　(2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构,更适合方程理论的运用.

　　实例分析

　　例1:下列方程各表示什么图形.

　　(1) ;

　　(2) ;

　　(3) .

　　学生演算并回答

　　(1)表示点(0,0);

　　(2)配方得 ,表示以 为圆心,3为半径的圆;

　　(3)配方得 ,当 、 同时为0时,表示原点(0,0);当 、 不同时为0时,表示以 为圆心, 为半径的圆.

　　例2:求过三点 , , 的圆的方程,并求出圆心坐标和半径.

　　分析:由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程,那么本题既可以用标准方程求解,也可以用一般方程求解.

　　解:设圆的方程为

　　因为 、 、 三点在圆上,则有

　　解得: , ,

　　所求圆的方程为

　　可化为

　　圆心为 ,半径为5.

　　请同学们再用标准方程求解,比较两种解法的区别.

　　概括总结通过学生讨论,师生共同总结:

　　(1)求圆的方程多用待定系数法.其步骤为:由题意设方程(标准方程或一般方程);根据条件列出关于待定系数的方程组;解方程组求出系数,写出方程.

　　(2)如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地,易求圆心和半径时,选用标准方程;假如给出圆上已知点,可选用一般方程.

　　下面再看一个问题:

　　例3: 经过点 作圆 的割线,交圆 于 、 两点,求线段 的中点 的轨迹.

　　解:圆 的方程可化为 ,其圆心为 ,半径为2.设 是轨迹上任意一点.

　　∵

　　∴

　　即

　　化简得

　　点 在曲线上,并且曲线为圆 内部的一段圆弧.

　　练习巩固

　　(1)方程 表示的曲线是以 为圆心,4为半径的圆.求 、 、 的值.(结果为4,-6,-3)

　　(2)求经过三点 、 、 的圆的方程.

　　分析:用圆的一般方程,代入点的坐标,解方程组得圆的方程为 .

　　(3)课本第79页练习1,2.

　　小结师生共同总结:

　　(1)圆的一般方程及其特点.

　　(2)用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程,求圆心坐标和半径.

　　(3)用待定系数法求圆的方程.

　　作业课本第82页5,6,7,8.

　　板书设计

　　圆的一般方程

　　圆的一般方程

　　例1:

　　例2:

　　例3:

　　练习:

　　小结:

　　作业: