毁灭国家机关证件罪的刑事责任是：情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；情节较轻的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。本罪毁灭国家机关证件中的证件必须是真实的证件，毁灭伪造的或变造的国家机关证件不构成本罪。
【本文关联的相关法律依据】
《刑法》第二百八十条
伪造、变造、买卖或者盗窃、抢夺、毁灭国家机关的公文、证件、印章的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。
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