2017-2018学年湖北省襄阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 函数f（x）= 的定义域为（ ）
A.
C. A.
B.
D. C. 6
D.
=（3，m）， ∥ 2. 已知 =（1，2），若 ，则m=（ ）
B.
3. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log（ ） A. B. 1 C. 4. 下列四个命题中正确的命题是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则 ．
， C. 若 ，则 ， D. 若 是单位向量，则
5. 已知全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，
则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D.
6. 已知 ，则 =（ ）
|x+1|，则f（3）=
D. 2
A.
B.
C. D.
7. 已知 = ，则 =（ ）
A.
B.
C. D.
8. 要得到 的图象，只需将函数y=cos2x的图象（ ）
A. 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位
9. 已知a=（ ）
B. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
，b=（ ）2
，c=log
，则（
）
A. B. C. D.
10. 若函数f（x）=ax+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，当x∈[-1，2]时，g（x）=f
（x）-2mx是单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
第1页，共16页
A. C. B. D.
2
11. 偶函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）=x+2x-3，则不等式xf（x）≤0的
解集是（ ） A. B. C. D.
12. 已知当x=1时，函数f（x）=2sin（ωx+ ）（0＜ω＜π）有最大值，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2x-1
13. 函数f（x）=a+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是______．
=（- ，1）， 14. 已知向量 =（0，-2），则向量 与 的夹角是______．
△
=2 =______ 15. 已知O是△ABC内部一点，若 ，则
△
16. 设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f（1-x）恒成立，
当x∈[-1，1]时，f（x）= ．若关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解，则实数a取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
2
17. 已知集合A={x|x-9x+18＜0}，B={x|log
（x-2）＞-1}
（Ⅰ）求A∩B，A （∁RB）；
（Ⅱ）已知非空集合C={x|a＜x＜2a-1}，若C⊆A∩B，求实数a的取值范围．
18. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，- ＜φ＜ ）在区间[0，2π]内的一段
图象如图所示
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅲ）当x∈[0，π]时，方程f（x）=m恰有两个不同的根，求实数m的取值范围．
第2页，共16页
19. 已知f（x）=
（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，且f（1）＞0．
（Ⅰ）求实数m、n的值；
（Ⅱ）判断函数y=f（x）的单调性并证明；
2
（Ⅲ）求不等式f（x+x）+f（2x-4）＞0的解集．
20. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用
1个单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但
总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x） （1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（2）设 现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．
21. 若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+a）=f（x0）+f（a），
则称函数f（x）“关于a类线性”．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=lgx“关于2类线性”
x
（Ⅱ）判断函数y=a（a＞0，a≠1）是不是“关于2类线性”，并加以证明；
（Ⅲ）已知函数f（x）=lg “关于2类线性，求a的取值范围．
第3页，共16页
=（ ， ）， +3 -2 22. 已知向量 =（cosα，sinα），且 与 垂直．
（Ⅰ）求| |的值；
（Ⅱ）求 的值．
第4页，共16页
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：要使原函数有意义，则lg（x+2）＞0，即x+2＞1，得x＞-1． ∴函数f（x）=故选：B．
由分母中根式内部的代数式大于0求解对数不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题． 2.【答案】C
【解析】
的定义域为（-1，+∞）．
解：∵∥2=0， ，∴m-3×
则m=6． 故选：C．
利用向量共线定理即可得出．
本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】B
【解析】
解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（3）=-f（-3）， 又由当x＜0时，f（x）=log|x+1|，则f（-3）=log|（-3）+1|=-1， 则f（3）=-f（-3）=1； 故选：B．
根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（3）=-f（-3），结合函数的解析式计算可得f（-3）的值，分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数解析式中自变量的取值范围，属于基础题． 4.【答案】C
【解析】
第5页，共16页
解：对于A，若||=||，则=，不正确，比如=（1，2），=（2，1），它
们不相等，也不是相反向量； 对于B，若•=0，
，
=
，则
=
，不正确，由向量数量积的性质可得（
-）
可以不相等； =，
，
=
，则
=
，由传递性可得正确； •
=1•1•cos＜
，
＞=cos＜
，
＞，
对于C，若对于D，若
是单位向量，则
不一定为1，故不正确． 故选：C． 举反例比如
=（1，2），
=（2，1），可判断A；由向量数量积的性质，可判断B；
由向量相等的传递性，可判断C；运用向量数量积的定义，即可判断D． 本题考查向量的数量积和性质，以及向量相等的传递性，考查判断能力，属于基础题． 5.【答案】C
【解析】
解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成， 所以用集合表示为A∩（∁UB）． A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}， ∴A∩（∁UB）={x|0＜x≤1}． 故选：C．
由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁UB），进而得到答案．
本题主要考查Venn图表达 集合的关系和运算，比较基础． 6.【答案】B
【解析】
解：∵∴故选：B．
=cos[
， -（
）]=
．
第6页，共16页
将所求利用诱导公式化简，结合已知即可求值得解．
本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 7.【答案】A
【解析】
22
解：由sinα=1-cosα=（1-cosα）（1+cosα），
得∵则故选：A．
==，∴
，
，
．
由查同角三角函数基本关系式及已知可得，取倒数得答案．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 8.【答案】C
【解析】
解：∵∴要得到位． 故选：C． 化
=cos2（x-），
个单
的图象，只需将函数y=cos2x的图象向右平移
为y=cos2（x-），再由函数的图象变换规律得答案．
本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，关键是注意自变量x的变化，是基础题． 9.【答案】A
【解析】
6
解：a=（），a=
=．
b=（），b6=∴1＞b＞a＞0． c=log
=＞a6，a，b＞0．
=log23＞1，
第7页，共16页
则a＜b＜c． 故选：A．
a=（），b=（），比较b6与a6的大小关系，c=log大小关系．
本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.【答案】D
【解析】
2
解：∵f（x）=ax+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，
=log23＞1，进而得出
∴
2
∴a=1，b=2，f（x）=x+2x+1，
2
∵当x∈[-1，2]时，g（x）=x+（2-2m）x+1是单调函数，
∴m-1≥2或m-1≤-1 ∴m≥3或m≤0 故选：D．
2
由f（x）=ax+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，结合二次函数的性质可求a，b，
代入g（x）中，结合已知及二次函数的单调性即可求解．
本题综合考查了二次函数的性质的简单应用，解题的关键是对二次函数性质的应用． 11.【答案】A
【解析】
2
解：根据题意，函数f（x）满足当x＞0时，f（x）=x+2x-3，
此时若f（x）≥0，即，解可得x≥1，即在[1，+∞）上，f（x）≥0，
反之，在区间（0，1]，f（x）≤0，
又由f（x）为偶函数，则在区间（-∞，1]上，f（x）≥0，在区间[-1，0）上，f（x）≤0， xf（x）≤0⇔
或
，
分析可得：x≤-1或0≤x≤1，
第8页，共16页
即不等式xf（x）≤0的解集为：（-∞，-1] [0，1] 故选：A．
根据题意，由函数的解析式分析可得在区间[1，+∞）上，f（x）≥0，在区间（0，1]，f（x）≤0，又由f（x）为偶函数，分析可得在区间（-∞，1]上，f（x）≥0，在区间[-1，0）上，f（x）≤0，而xf（x）≤0⇔
或
，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的应用，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题． 12.【答案】D
【解析】
解：∵当x=1时，函数f（x）=2sin（ωx+）（0＜ω＜π）有最大值， ∴2sin（ω+
）=2，∴ω=
，函数f（x）=2sin（
x+
）．
f（x）的最小正周期为6， ∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）=0，
则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）=336×[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]+f（0）+f（1）+f（2） =336×0+2sin故选：D．
先由条件求出f（x）的解析式，可得它的周期为6，利用三角函数的周期性求出所求式子的值．
本题主要考查三角函数的周期性，利用三角函数的周期性求函数的值，属于基础题．
13.【答案】（ ，2）
【解析】
x
解：由于函数y=a经过定点（0，1），令2x-1=0，可得x=，求得f（）=2，
+2sin+2sin=4，
故函数f（x）=a
2x-1
+1（a＞0，a≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（，2），
故答案为：（，2）．
解析式中的指数2x-1=0，求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点
第9页，共16页
的坐标．
本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题． 14.【答案】
【解析】
解：∵向量设向量∴θ=
，
=（-与
，1），=（0，-2），∴向量=（-，-1），
=
=，
的夹角是θ，则θ∈[0，π]，cosθ=
故答案为：．
利用两个向量的夹角公式，求出两个向量夹角的余弦值，可得两个向量夹角． 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题． 15.【答案】2
【解析】
解：设AB的中点为D， ∵
=2
，
∴O为中线CD的中点，
∴△AOC，△AOD，△BOD的面积相等， ∴
=2，
故答案为：2．
利用向量的运算法则：平行四边形法则得到O是AB边的中线的中点，得到三角形面积的关系．
本题考查向量的运算法则：平行四边形法则及同底、同高的三角形面积相等，属于基础题．
16.【答案】（ ， ） （- ，- ）
【解析】
第10页，共16页
解：设f（x）是定义在R上的偶函数， 且对于任意的x∈R， f（1+x）=f（1-x）恒成立， 可得f（x+2）=f（-x）=f（x），
即有f（x）的周期为2， 当x∈[-1，1]时， f（x）=
，
作出f（x）在[-1，1]的图象，可得f（x）的图象， 由题意可得关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解 即为y=f（x）的图象和直线y=ax有四个交点， 经过A（5，2）时，即5a=2可得a=； 经过B（3，2）时，即3a=2可得a=； 经过C-3，2）时，即-3a=2可得a=-； 经过D（-5，2）时，即-5a=2可得a=-； 可得当＜a＜或-＜a＜-时， 关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解． 故答案为：（，） （-，-）．
由偶函数的定义和f（1+x）=f（1-x），可得f（x）的周期为2，作出f（x）的图象，由题意可得关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解即为y=f（x）的图象和直线y=ax有四个交点，通过直线的旋转，即可得到所求范围．
本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：（Ⅰ）A={x|3＜x＜6}，B={x|2＜x＜9}；
∴A∩B={x|3＜x＜6}； ∁RB={x|x≤2，或x≥9}；
∴A （∁RB）={x|x≤2，或3＜x＜6，或x≥9}； （Ⅱ）∵C⊆A∩B；
第11页，共16页
①若C=∅，则a≥2a-1； ∴a≤1；
＜
； ②若C≠∅，则
∴ ；
综上，实数a的取值范围为 ，或 ． 【解析】
（Ⅰ）容易求出A={x|3＜x＜6}，B={x|2＜x＜9}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；
（Ⅱ）通过上面求得A∩B={x|3＜x＜6}，根据C⊆A∩B可讨论C是否为空集：C为空集时，a≥2a-1，可解得a≤1；C不为空集时，组，从而便可得出实数a的取值范围．
考查一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集、并集和补集的运算，子集的概念．
18.【答案】解：（Ⅰ）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，- ＜φ＜ ）在区间[0，2π]内的一段图象，可得A=3，
•=-，∴ω=1．
，可解出该不等式
再根据五点法作图可得1× +φ= ，∴φ=- ，∴f（x）=3sin（x- ）． （Ⅱ）对于函数f（x）=3sin（x- ），
fx）2kπ+]，令2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ，求得2kπ- ≤x≤2kπ+ ，可得函数（单调增区间为[2kπ- ， k∈Z．
令2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ ，求得2kπ+ ≤x≤2kπ+2kπ+
，可得函数f（x）单调减区间为[2kπ+ ，
]，k∈Z．
（Ⅲ）当x∈[0，π]时，x- ∈[- ， ]，sin（x- ）∈[- ，1]．
∵方程f（x）=m恰有两个不同的根，∴f（x）∈[【解析】
，3），即 m∈[ ，3）．
（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的
第12页，共16页
值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求出函数f（x）单调区间．
（Ⅲ）当x∈[0，π]时，结合正弦函数的图象的特征，结合方程f（x）=m恰有两个不同的根，求得m的范围．
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；正弦函数的单调性，正弦函数的图象特征，属于中档题．
（Ⅰ）根据题意，f（x）=19.【答案】解：则f（-x）=-f（x）， 即
（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，
=-
恒成立，
变形可得：
=- ，
分析可得m=-1，n=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，f（x）=-
，在R为增函数；
证明：若f（1）＞0，即- ＞0，解可得0＜a＜1； 则f（x）=-
= -1，
设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（ -1）-（ -1）= ，
又由0＜a＜1，且x1＜x2，
则（ +1）＞0，（ +1）＞0，（ - ）＜0， 则f（x1）-f（x2）＜0，则函数f（x）在R上为增函数， （Ⅲ）根据题意，f（x）为奇函数且在R上为增函数，
2222
则f（x+x）+f（2x-4）＞0⇒f（x+x）＞-f（2x-4）⇒f（x+x）＞f（4-2x）⇒x+x＞4-2x，
2
即x+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4； 即不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}． 【解析】
（Ⅰ）根据题意，由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），即恒成立，变形分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分析可得若f（1）＞0，即-解析式变形可得f（x）=-=
＞0，解可得0＜a＜1，将函数的
=-
-1，由作差法分析可得结论；
第13页，共16页
2
（Ⅲ）根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f（x+x）+f（2x-4）＞0⇒f222
（x+x）＞-f（2x-4）⇒f（x+x）＞f（4-2x）⇒x+x＞4-2x，解可得x的取值范围，即
可得答案．
本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．
20.【答案】解：（1）f（0）=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化
（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为
又如果用 单位量的水清洗1次，残留的农药量为
此后再用 单位量的水清洗1次后，残留的农药量为
由于
当 ＞ 时，W1＞W2此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少
当 时，W1=W2此时，两种清洗方式效果相同
当 ＜ ＜ 时，W1＜W2，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少 【解析】
（1）f（0）表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化，不妨设f（0）=1； （2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：
①；
•
②；
用单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：作差①-②比较即可．
本题考查了一个自定义函数模型的实际应用，解题时要弄清题意，理解函数解析式的意义，并且在比较大小时用到作差法． 21.【答案】解：（Ⅰ）证明：函数f（x）=lgx，
由f（x0+2）=f（x0）+f（2），即lg（x0+2）=lgx0+lg2， 即为x0+2=2x0，解得x0=2，
则函数f（x）=lgx“关于2类线性”；
x
（Ⅱ）函数y=a（a＞0，a≠1），
2
当a＞1时，f（x0+2）=a ，f（x0）+f（2）=a +a，
第14页，共16页
由f（x0+2）=f（x0）+f（2），可得a解得x0=loga
=
＞0，
；
=
＜0，x0不存在．
当0＜a＜1时，由a
综上可得a＞1，函数y=a“关于2类线性”， 0＜a＜1时，函数y=ax不“关于2类线性”； （Ⅲ）函数f（x）=lg “关于2类线性”， 即有f（x0+2）=f（x0）+f（2）成立， 即为lg =lg +lg ，a＞0，
x
化为 = ，
2
即（a-5）x0+4ax0+5a-5=0， 当a=5时，x0=-1；
2
当a≠5，由x0为实数，可得△=16a-4（a-5）（5a-5）≥0， 解得15-10 ≤a≤15+10 ，
综上可得a的范围是[15-10 ，15+10 ]．
【解析】
（Ⅰ）运用对数的运算性质，解方程即可得证；
（Ⅱ）讨论a＞1，0＜a＜1，结合指数函数的值域和新定义，解方程即可得到结论；
（Ⅲ）由新定义和对数的运算性质，运用二次方程有解的条件：判别式大于等于0，解不等式即可得到所求范围．
本题考查新定义的理解和运用，考查函数与方程的转化思想，以及指数函数、对数函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）∵ ；
∴ =
；
∴ ； ∴ ， ∈ ； ∴ ， ∈ ；
第15页，共16页
∴ ；
∴ ， ；
∴ ， ；
∴ ；
（Ⅱ） ． 【解析】
（Ⅰ）根据
+3与-2垂直即可得出
，从而得出
，，这
从而可求出α，进而求出样即可求出
；
，从而求出
（Ⅱ）根据求得的cosα，sinα值，即可求出的值．
考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及根据向量的坐标求向量的长度，已知三角函数值求角．
第16页，共16页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容