基于离散剪切波的压缩感知MRI图像重建

李国燕1 侯向丹2 周博君2 顾军华2

(1.河北工业大学电气工程学院，天津300401;2.河北工业大学计算机科学与软件学院，天津300401)

摘 要：针对二维小波变换捕捉方向信息有限，不能稀疏地表示MRI图像中曲线状奇异特征的缺点，提出了一种基于离散剪切波变换的压缩感知MRI图像重建新方法。先对MRI图像做剪切波变换，得到各尺度、方向子带的剪切系数，再采用正交匹配追踪算法恢复稀疏处理后的系数，最后进行剪切波反变换得到重建图像。实验结果表明，与小波变换相比，基于离散剪切波的压缩感知MRI图像有更好的重建效果，更有利于保留纹理和边缘信息。 关键字：离散剪切波；压缩感知；MRI图像重构；稀疏化

中图分类号: TP391 文献标志码: A 文章编号：

Reconstruction of compressed sensing MRI image based on

discrete shearlet transform

LI Guoyan, HOU Xiangdan, ZHOU Bojun2, GU Junhua2

（1.College of Electrical Engineering and Automation, Hebei University of Technology, Tianjin 300130, China；2.College of

Computer Science and Software, Hebei University of Technology, Tianjin 300130, China）

1

2

Abstract: The two-dimensional wavelet transform for magnetic resonance imaging (MRI) images does not sparsely represent curve singularity characteristics, which can only capture the limited direction information. Pointing at this problem, this paper presents a new method based on discrete shearlet transform for compressed sensing MRI (CS-MRI). Frequency coefficients can be got at all scales and in all directions after performing discrete shearlet transform to MRI image. Then adopting orthogonal matching pursuit algorithm to recover the sparsing coefficients. Finally, the reconstructed image is get by inverse shearlet transform. Experimental results show that, compared with wavelet transform, discrete shearlet transform for CS-MRI improves quality of reconstructed image and preserves more information about texture and edge.

Keyword: discrete shearlet transform; compressed sensing (CS); MRI image’s reconstruction; sparse

方向，且变换滤波器是各向同性的，只能较好的稀疏化图像

0 引言

传统的信号采样过程必须遵循奈奎斯特采样频率，这无疑会增加采样量，给传输和存储带来巨大挑战。而压缩感知理论[1-2]作为一种新的信号获取理论，指出只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以通过求解相关的优化问题，由随机欠采样的变换系数来恢复原始信号。磁共振成像是临床医学影像检查的重要手段之一，MRI图像在某一变换域都具有稀疏表示（如空间有限差分和小波变换域等），满足压缩感知图像重建的稀疏性要求，一些学者研究表明MRI图像重建是压缩感知理论的一个重要的应用领域

[3-6]

的点状奇异特征，无法稀疏化地表示曲线状奇异特征[7]。MRI图像中常常包含了大量的曲线和边缘信息，因此二维小波变换不能对图像提供最优表示。

剪切波（Shearlet）是多尺度几何分析的最新发展，是由Guo等[8-9]采用具有合成膨胀的仿射系统构造的一种接近最优表示的多维函数，具有更为简单的数学结构，对图像的表示同时具有多分辨率、最优非线性逼近和方向性等优点。剪切波所具有的这些优良特性，为解决图像处理中的难点问题提供了新的研究思路。

根据上述思想，本文分析MRI图像信号在剪切波变换中的稀疏特性，首次利用离散剪切波变换对MRI图像进行稀疏化处理，并采用正交匹配追踪算法作为压缩感知重建算法，实现压缩感知的MRI图像重建。

。

在压缩感知中，图像的稀疏度对重建质量有着重要的影

响，目前通常选用传统的二维小波变换作为稀疏基来稀疏化MRI图像。但是二维小波分解只限水平、垂直和对角三个———————————————

收稿日期：2012-07-31；修回日期： 基金项目：天津市应用基础及前沿技术研究计划项目（10JCYBJC00200） 作者简介: 李国燕(1984－)，女（汉），河北省石家庄井陉县人，博士研究生，主要研究方向为智能信息处理、并行计算（lgy2351076@163.com）；侯向丹（1976-），女，副教授，硕导，主要研究方向为图像处理；周博君（1988-），女，硕士，主要研究方向为智能信息处理；顾军华（1966-），男，教授，博导，主要研究方向为智能信息处理。

1 剪切波理

1.1连续剪切波变换

剪切波变换[8-9]的理论基础是合成小波理论。合成小波理论通过仿射系统为几何多尺度分析提供了一种有效的方法。当维数为2时，具有合成膨胀的仿射系统形式如下：

j/2ljAB(){j,k,l(x)detA(BAxk)} （1）

其中，满足j,lZ，kZ2，L2(2)。A和B为22的可逆矩阵，detB1。如果AB()满足紧框架结构，则其元素称为合成小波。其中，矩阵Aj是与尺度变换相关联的，Bl是与保持面积不变的几何变换相关联的。剪切波

变换是合成小波的一个特例，令L2(2)满足下列条件：（1）ˆ()ˆ(21,2)ˆ1(1)ˆ2()，其中ˆ为的傅

1里叶变换；

（2）1为连续小波，ˆ1C()，

suppˆ1[2,1/2][1/2,2]； （3）ˆ2C()且suppˆ2[1,1]，在区间(1,1)上，a020且21，则称由，Aa以及0aB1ss01所生成的下列系统  31as(tx)a4AaB1sxa,s,t2 （2）

t, Sfa,,st,fast （3）

为连续剪切波系统，并称ast(x)为连续剪切波。 1.2离散剪切波变换

通过对尺度参数a和剪切参数s进行离散化，可实现离散剪切波变换。离散剪切波的局部化特性非常的好，基函数的支撑区域满足抛物线尺度化，随着尺度的变化，可精确描述函数的奇异性特征[10]。通常取剪切矩阵B和各向异性扩张矩阵为A

A4012， B1001 （4）



离散剪切波的函数形式如下：

3j0jj,l,kx22BlAxk （5）

其中，ˆ0()ˆ0(1,2)ˆ1(1)ˆ2(2)，ˆ,ˆ12C(ˆ)，

1suppˆ11111,216,162，suppˆ21,1。如果假定：

|ˆj211(22)|1 for|| （6）

j08对于j0，有

2j1|ˆj22(2)|1for||1 （7）

2j从上述假设可

知函

数ˆ(0)j,,k(且

j0,2j2j1,k2)构成了一个剪切波频域剖

分，即为D(|1201,2):|18,||11，如图1（a）所示。

其中，每个元素ˆ(0)j,,k支撑在梯形对上，近似大小为22j2j，方向沿斜率为l2j的直线，如图1（b）所示。同理可

知

，

我们

可

以

构

造

满足

ˆ(1:j)0,2j2j1,k的函数2j,,kˆ(1)j,,k(x)，

其构成的一个剪切波频域剖分为

D1(1,12):|2|18,||1，如图1（a）所示。选择适

2当的L2(2)满足

k(x)x(k):k2是

L2([1,121616])的一个紧框架。因此，可知剪切波集合

)k,(dj,,k:j0,2j2j1,k2,d0,1是

L2(2)的一个紧框架。

（a） （b）

图1 剪切波频域剖分图以及剖分子区域的几何[8]（（a）剪切波频域剖

分图；（b）剪切波的频域支撑）

综上所述，剪切波具有如下良好性能：（1）非常好的局部化特性；（2）满足抛物线尺度化特性；（3）具有较好的方向敏感性；（4）剪切波在各种尺度和方向上能够接近最优地表示富含方向信息的图像。

2 基于压缩感知的MRI重建

压缩感知理论是一种将采样和压缩过程结合的新的理

论框架。假设信号xRN，在某正交基或紧框架RNN上是可压缩的，则信号可从相对较少的测量中通过非线性重建而精确或近似恢复[11]。具体步骤如下：1）稀疏化信号。求出稀疏变换系数向量aTx，其中只有K个变换系数是非零的（KN）；2）采用投影矩阵RMN（MN）

对信号进行投影，得到信号的观测值yxaa。理论证明只要满足有限等距性质（RIP）[12]，利用观测值

y即可重建信号x；3）信号的重构可表示为求解l0范数的

问题，表示为min||Tx||0 s.t. yxx，寻找变换系数a的非零元素个数最少的解，即x的最稀疏解。该问题是一个NP-Hard问题，求解的方法不唯一，本文使用应用最广最具有代表性的正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法[13]对压缩采样后的MRI图像进行重建。

3 基于离散剪切波的压缩感知的MRI图像的重建

信号进行稀疏表示是压缩感知的先验条件，在基于压缩感知的MRI图像重建中，常用二维小波变换作为稀疏基，而小波变换对图像中高度各向异性的边缘和纹理等方向信息不能给出最优的表示，影响重建质量。基于离散剪切波多方向和各向异性的优势，本文提出选用离散剪切波变换作为MRI图像稀疏变换。

对MRI图像的离散剪切波变换在频率域可以分为以下两个步骤，即多尺度剖分和方向局部化。拟定以有限群2的

形式来表示图像域，给定一幅离散MRI图像fl22N，

并对f进行L层分解[14]。

步骤1. 多尺度剖分。用Symmlet小波基作为母函数，对离散域的图像f进行分解，分别得到了低频系数fja和各个尺度下的高频系数fjd，其中j为分解尺度。

步骤2. 方向局部化。为了得到不同方向的高频分量，对各个尺度下的高频系数采用带方向和尺度变化的锥形函数进行剖分，如图1（a）所示。重复上述步骤，直到jL停止。图2给出了两个尺度时（L2）离散剪切波的流程

图。

尺度分解方向剖分ff1df12afd(4,4)f2(4,4)a

图2 离散剪切波变换的流程图

其中，尺度向量

scale可以设为

scales1s2...sL，则尺度j水平锥方向支撑大小

为2Lsj2Lj，垂直锥方向支撑大小为

2Lj2Lsj；方向向量ndi可以设为

ndirn1n2...nL，尺度

j的水平锥和垂直锥各有

22nj1个方向。图3给出了L2，scale23，

ndir11时的MRI图像分解图，可知水平锥和垂直锥都

具有5个方向。

（a） （b）

（c）

图3 离散剪切波对MRI图像的两层分解图（（a）MRI图像；（b）分解

层数为2时，水平锥方向的剪切波系数；（c）分解层数为2时，垂直锥方向的剪切波系数）

综上所述，本文提出的基于离散剪切波的压缩感知MRI重建的算法描述如下：

（1）对MRI图像进行离散剪切波分解，得到各尺度、

方向子带的剪切系数；

（2）设定采样率，构建测量矩阵；

（3）对离散剪切波变换系数的高频子带进行测量，对低频逼近子带保留分解系数。这样一方面可以有效地减少重建图像所需的数据量；另一方面也有效地提高了重建图像的质量。

（4）采用OMP算法作为压缩感知的重建算法，恢复稀疏处理后的系数；

（5）利用剪切波逆变换对恢复后的近似图像进行重建，最后得到重建图像。

4 实验结果与分析

4.1 图像重建质量的客观评价方法

为了客观评价图像重建质量，本文采用了3种客观评价方法：

（1）均方误差（Mean Square Error，MSE）。设原MRI图像的大小为MN，这里用f来表示原始图像，fˆ来表示重建图像，则MSE定义为：MSE1MNffˆ2

（2）峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）定义如下：PSNR10lgMNMSE

（3）结构化相似度（Structural Similarity，SSIM）是一种衡量两幅图像相似度的新指标，其值越大越好，最大为1。f来表示原始图像，fˆ来表示重建图像，则SSIM定义为：

SSIM(f,fˆ)lf,fˆcf,fˆsf,fˆ，其

中，，，分别用来调整亮度、对比度以及结构信息的权重，lf,fˆ为亮度比较函数，cf,fˆ为对比度比较函数，sf,ˆf为结构比较函数，它们的定义分别为

2lf,fˆfˆfc122c2fˆc、f2ffˆ1cf,fˆ2f2fˆc2和sf,fˆˆcff3，其中，f、ˆ分别为f、fˆfˆfc3f的

亮度均值，f、fˆ分别为f、fˆ的标准差；ffˆ为协方差，

c1、c2、c3是为了防止当分母接近零时产生不稳定现象所

添加的常数。

4.2 实验分析

本文选择256256的脑部MRI图像进行实验，采用压缩感知的OMP算法重构图像，首先对离散剪切波的稀疏性进行了分析，之后为了验证基于离散剪切波的压缩感知MRI重建的优势，本文分别以小波变换和离散剪切波变换作为稀疏变换，对MRI图像的重建质量进行对比，并分析了在不同采样率时两种变换基对图像重建质量的影响。经过对比分析，选择L5，scale22334的分解规模。

4.2.1离散剪切波稀疏性的分析

为了测试剪切波的稀疏性，我们首先对测试图像进行剪切波变换，只保留部分绝对值较大的剪切波系数，而其他系数都设为0，保留百分比分别为30%、15%、4%和1%，然后经过压缩感知重建的过程，最后利用剪切波逆变换对这部分系数重建得到重建图像。图3为在采样率为0.5时，保留不同百分比系数所得到得重建图像，表1给出了重建图像的SSIM值和PSNR值。

（a） （b）

（c） （d）

（e）

图3 保留不同百分比系数所得的重建图像（（a）为MRI原图；（b）为保留30%系数的重建图像；（c）为保留15%系数的重建图像；（d）为保

留4%系数的重建图像；（e）为保留1%系数的重建图像）

表1 保留不同百分比系数重建图像的SSIM值和PSNR值 系数保留百分比 PSNR SSIM 30% 39.13 0.8618 15% 39.96 0.8743 4% 39.27 0.8648 1%

34.85

0.7435

综上分析可知，在保留30%系数和15%系数时，重建效果相差不大，虽然仅保留1%的系数时，重建效果变差，但是获得的PSNR值和SSIM值以及重建图像还是能令人接受的，因此，剪切波变换具有较好的稀疏性，能够保证压缩感知重建的精度。

4.2.2 基于小波与基于剪切波的实验对比

对测试图像分别进行二维小波变换和剪切波变换，分别保留部分绝对值较大的系数，而其他系数都设为0，保留百分比均为16.73%，则基于两种变换基稀疏化后的图像如图4所示。

（a） （b）

图4 基于两种变换基稀疏化的图像（（a）离散剪切波变换基；（b）小

波变换基）

在采样率为0.5时，重建结果如图5所示，表2给出对应的MSE、PSNR和SSIM的值。

（a） （b）

（c）

5基于小波变换与基于剪切波的实验对比结果（（a）为MRI原图；（b）基于小波的重建图像；（c）基于剪切波的重建图像）

表2基于小波变换与基于剪切波的重建图像的MSE、SSIM

值和PSNR值

MSE PSNR

SSIM

小波变换基 1.9187e+006 33.46 0.8633 离散剪切波1.8993e+006

39.53

0.8669

变换基

同时，为了更好的说明基于剪切波的变换对图像边缘细节的重建的优势，图6给出边缘对比的结果图。

（a） （b）

（c）

图6 图像边缘细节的重建效果对比（（a）原图边缘部分；(b) 基于小波

重建的部分；（c）基于剪切波重建的部分）

综上分析可知，基于剪切波变换的压缩感知MRI重建与基于小波变换的相比，获得了更小的MSE值，以及更高的PSNR和SSIM，理论上重建的效果更好。同时，重建图像的视觉效果也明显较好，剪切波变换能克服小波变换对图像细节边缘的非敏感性，对于边缘细节部分的重建具有优势。实验说明，基于剪切波的压缩感知MRI重建能够提高图像重建的质量。

4.2.3 在不同采样率下的图像重建质量对比

本文对在不同采样率时，基于小波变换和基于离散剪切波的图像重建质量作了对比分析。在不同采样率下，对应的SSIM值如图7所示，其中蓝线表示基于小波变换的重建，红线表示基于剪切波的重建。

图7在不同采样率下，两种变换方法重建图像的SSIM值

图

实验结果表明，随着采样率的增大，基于两种变换的重建图像的结构化相似度增大，图像质量提升。当采样率较低时，基于离散剪切波重建的SSIM值明显高于基于小波的重建，其重建质量具有明显的优势。而当采样率较高时，两种方法的差别不太明显，由于压缩感知的目的是通过采样较少的低维信号值来重建原始高维信号，通常选取的采样率会低于0.5，因此，本文可以得到基于离散剪切波的压缩感知重建是优于基于小波重建的结论。

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5 总结

剪切波变换是一种新的多尺度几何分析工具，本文利用剪切波变换的多方向性和各向异性，能够很好地表达图像的曲线和轮廓的优点，将离散剪切波应用到压缩感知的MRI重建中。相比于传统的基于二维小波变换的压缩感知MRI重建，本文的方法具有明显的优势，可以更稀疏的表示MRI图像，重建精度更高，并且更有利于保留纹理和边缘信息。 参考文献：

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