对数函数典型例题例析
在解决与对数函数有关的问题时,应遵循:一要“定义域优先”的原则,即优先考虑其定义域;二要重视底数、真数应满足的条件,以及不同条件下,性质和图象的差异.只有完全掌握了这些,才能处理好对数函数单调性涉及的综合问题.下面举例说明.
例1 已知y = loga(2-ax )在区间[0,1]上是x的减函数,求实数a的取值范围.
解法一:由y = loga(2-ax )在区间[0,1]上是x的减函数,当0<x≤1时,2-a>0,即 a<
2x恒成立,所以a<(
2x)min= 2.
又知a>0,u = 2-ax为减函数,因此对数函数的底a>1. 综合得1<a<2.
解法二:根据y = loga(2-ax ),则a>0且a≠1,2-ax>0,所以x<为(-∞,
2a2a,即函数定义域
).
2a∵函数在区间[0,1]上是减函数,∴1<,即a<2. ①
又∵u = 2-ax为减函数,∴y = logau是增函数,则a>1. ② 综合①、②得1<a<2.
例2 求关于x的函数y = lg[x2-(a + 2)x + 1] (其中a为实数),在其定义域内单调区间,并指出其单调性.
解:要使函数有意义,必须x2-(a + 2)x + 1>0.
设g(x) = x2-(a + 2)x + 1,其判别式= (a + 2)2-4 = a(a + 4),
⑴当-4<a<0时,<0,恒有g(x)>0,函数y的定义域为R,又y与g(x)单调性一致.所以在(-∞,
a22]上,y单调递减;在[
a22,+∞)上,y单调递增;
⑵当a =-4时,= 0,y = lg(x + 1)2,其定义域为{x | x≠-1,x∈R}, ∴在(-∞,-1)上y单调递减;在(-1,+∞)上,y单调递增; ⑶当a = 0时,= 0,y = lg(x-1)2,其定义域为{x | x≠1,x∈R}, ∴在(-∞,1)上y单调递减;在(1,+∞)上,y单调递增; ⑷当a<-4或a>0时,>0,函数的定义域为:
(-∞,
a2a(a4)2)∪(
a2a(a4)2,+∞).
a2a(a4)2∴在(-∞,增.
a2a(a4)2)上,y单调递减;在(
,+∞)上,y单调递
例3 已知函数f(x) = lg
1x1x+
1x2 ,x∈(-1,1 ),问y =f(x) 的图象上是否存在两个不同的
点A、B,使AB⊥y轴,若存在,求A、B的坐标,若不存在,说明理由. 解:先证明f(x)是单调函数.设-1<x1<x2<1,则
1x11x11x12f( x
1)-f( x
2) = lg+-lg
1x21x2-
1x22= lg
(1x1)(1x2)(1x2)(1x1)+
x2x1(x12)(x22),
∵-1<x1<x2<1,∴ x2-x1>0, 1-x1>1-x2>0,1 + x2>1 + x1>0, (1x1)(1x2)(1x2)(1x1)x2x1(x12)(x22)∴>1,
>0,即f( x1)-f( x2)>0,
∴函数f(x)是单调递减函数.
假设函数f(x)的图象上存在不同的两点A(x1, y1),B(x2, y2)使直线AB⊥y轴,则x1≠x2,y1= y2,这与函数是减函数矛盾.
∴y =f(x)的图象上不存在两个不同的点A、B,使AB⊥y轴.
评析:直线AB⊥y轴或AB∥x轴 xA≠xB yA≠yB,从函数的单调性上可以找到解题的突破口.
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