北京市2020学年高一下学期数学期中考试卷

期中考试 高一年级 数学学科

一、选择题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一

项是符合题目要求的）

1．在区间0,上随机取一个数x，则事件“tanxcos1A．

31”发生的概率为（ ） 22 3B．

1 2C．D．

3 42．下列不等式一定成立的是（ ） 1A．lgx2lgxx0

4B．sinxD．

12xk,kZ sinxC．x212xxR

11xR 2x13．如果一个底面半径和母线长均为r1的圆柱的全面积（侧面积与两个底面面积的和）与一个半径为r2的球的表面积相等，则r1和r2的大小关系是（ ） A．r2r1

B．r2r

C．r2r1

D．不确定

4．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）

A．AB与CD成60°角 C．BD与CF成60°角

B．BD与EF成60°角 D．AB与EF成60°角

5．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在

20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频

率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）

A．31.6岁

B．32.6岁

C．33.6岁

D．36.6岁

1

6．从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为项点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）

主视图 左视图 俯视图 A．52 B．62

C．9 D．10

7．欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选职A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，（精确到1米，参考数据：62.45，sin750.97） AB120米，由此可得河宽约为（ ）

A．170米

B．110米

C．95米

D．80米

8．某次测试成绩满分是为150分，设n名学生的得分分别为a1,a2,anaiN,1in，bk1k150为

n名学生中得分至少为k分的人数．记M为n名学生的平均成绩，则（ ）

A．MC．Mb1b2nb1b2nb150b150

B．MD．Mb1b2b150

150b1b2b150

150二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男女生人数如下表所示，已知在全年级中随机抽取1名学生，抽到二班女生的概率是0.2，则x_________．现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为________．

女生人数 男生人数 一班 20 20 二班 x 三班 y z 20 10．在ABC中，BC2，AC7，B3，则AB_________．ABC的面积是_________．

11．已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为_________．

12．（2011海淀一模10）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了

2

“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为_________．（用“＞”连接）

甲 乙 丙

13．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角

形的三棱锥称之为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面积为__________．

14．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段BD1上的动点．当PAB在平面DC1，BC1，

AC上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为S1，S2，S3．

（i）当BP3时，S1________S2（填“＞”或“=”或“＜”）． 3（ii）S1S2S3的最大值为__________．

三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（12分）在ABC中，已知2sinBcosAsinAC． （1）求角A；

（2）若BC2，ABC的面积是3，求AB．

16．（12分）2017年冬，北京雾霾天数明显减少，据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过70

天．重度污染的天数仅有4天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天然气使用情况，从某乡镇随机抽取100户，进行均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间0,5围内，将数据按区间列表如下：

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分组 频数 14 x 频率 0.14 m 0,1 1,2 2,3 55 4 2 100 0.55 0.04 0.02 1 3,4 4,5 合计 （1）求表中x，m的值；

（2）若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；

（3）从用量高于3千立方米的用户中任选2户，进行燃气使用的满意度调查，求这2户用气量处于不

同区间的概率．

17．（13分）A，B，C三班共有140名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获围得了部分学

生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）

A B C 6.5 7 4.5 7 8 6 7.5 9 7.5 10 9 11 10.5 12 （1）试估计C班的学生人数；

（2）从A班和C班抽出的人数中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假

设所有学生锻炼时间互不影响，求该周甲锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（3）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的学生该周锻炼时间分别为7，9，8.25（单

位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小（结论不需要证明）．

18．（13分）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若

abc，求A； cosA2cosB2cosC（2）试比较tanAtanBtanC与tanAtanBtanC的值得大小关系并给出证明； （3）若A4，试判断sin2Ccos2Bsin2B是否存在最大，最小值？若存在，请分别求出．

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