《函数的奇偶性和周期性》.

第5讲 函数的奇偶性和周期性

★知识梳理

1．函数的奇偶性的定义：

①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

1．

函数的周期性命定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

★重、难点突破

重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用

难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用

重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式

f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1(f(x)0)f(x),也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.

注意

（1） f(x)0,则f(x)既是奇函数又是偶函数,若f(x)m(m0),则f(x)是偶函数；

（2） 若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0

2．奇偶函数图象的对称性

（1） 若yf(ax)是偶函数，则f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)f(x)的图象关于直线xa对称；

（2） 若yf(bx)是奇函数，则f(bx)f(bx)f(2bx)f(x)

f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；

2．

函数的周期性 主要有几种情况：

（1）函数值之和等于零型，即函数f(ax)f(bx)0(ab)

（2）函数图象有xa，xb(ab)两条对称轴型

（3） 两个函数值之积等于1，即函数值互为倒数或负倒数型

1f(xb)(ab)1f(xb)

（4） 分式递推型，即函数f(x)满足

f(xa)★热点考点题型探析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用

题型1：判断有解析式的函数的奇偶性

[例1] 判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·

1x1x；

x(1x)1x2f(x)f(x)|x2|2；x(1x)（3）（4）

(x0),(x0).

○1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则

xD时xD) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件

○2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.

题型2：证明抽象函数的奇偶性

xyf(x)f(y)f()(1,1)x,y(1,1)1xy[例2]定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有.

求证f (x)为奇函数；

[新题导练]

2fxx1xa为奇函数，则a___________。 1．设函数

2f(x)axbx3ab是定义域为[a1,2a]的偶函数，则ab的值是（ ） 2．已知函数

1A．0；B．3；C．1；D．1

22abab3．定义两种运算：，ab(ab)，则

2f(x)2x(x2)2是______________函数

ax21f(x)bxc（a、b、c∈Z）是奇函数,又f(1)2，f(2)3，求a、b、c的值. 4．已知函数

考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

[例3]已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围。

[例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)1a23a12a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.

[新题导练]

5．若f(x)是奇函数，且在0,内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是（ ）

A.

{x3x0或x3}；B.

{xx3或0x3}

C.

{xx3或x3}； D.

{x3x0或0x3}

6．（2010·天津改编）在R上定义的函数fx是奇函数，且fxf2x，若fx在区间1,2是减函数，则函数fx（ ）

A.在区间3,2上是增函数，区间3,4上是增函数 B.在区间3,2上是增函数，区间3,4上是减函数

C.在区间3,2上是减函数，区间0,1上是增函数 D.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是减函数

3xf(x)xx0,2f(x)91。求f(x)在2,2上的解析式 7．定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，

考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用

[例5] （2010年惠州第三次调研考）已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)1对

于xR恒成立，且f(x)0，则f(119) ________

[新题导练]

8设fx是定义在R上的正值函数,且满足fx1fx1fx.若fx是周期函数,则它的一个周期是（）

A.3；B.2；C.6；D.4

fxf15,9．函数对于任意实数x满足条件fx2f(x)1，若则f5__________

基础巩固训练：

1．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1x)f(1x)，则“f(x)为偶函数”是（ ）“2为函数f(x)的一个周期”的 ( ) 分也不必要条件

A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充

2．若偶函数f(x)在(,1)上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

33f()f(1)f(2)f(1)f()f(2)22A．；B．；

33f(2)f(1)f()f(2)f()f(1)2；D．2C．

3． 设函数f(x) (x∈R)为奇函数，

5A．0；B．1； C．2；D．5

f(1)12，f(x2)f(x)f(2)，则f(5)（ ）

3x3xf(x)2在其定义域内是( ) 4． 函数

A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数

5．偶函数f(x)(xR)满足：f(4)f(1)0，且在区间[0,3]与[3,)上分别递减和递增，则不等式xf(x)0的解集为（ ）

A．(,4)(4,)；B．(4,1)(1,4) C．(,4)(1,0)；D．(,4)(1,0)(1,4)

6．已知f(x)是定义域为R的奇函数，若当x(0,)时，f(x)lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是 。