平面向量及其应用单元测试题含答案百度文库

一、多选题

1．给出下列结论，其中真命题为（ ） A．若a0，ab0，则b0

B．向量a、b为不共线的非零向量，则(ab)ab C．若非零向量a、b满足ab222ab，则a与b垂直

22D．若向量a、b是两个互相垂直的单位向量，则向量ab与ab的夹角是2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝（ ）

A．△ABC的外接圆面积是C．b＋c可能等于16； 值是73 .

3．已知向量a1,0，b2,2，则下列结论正确的是（ ） A．a2b5,4 C．a与b的夹角为45°

B．b2 D．a//a2b

 2，a＝7，则以下判断正确的是349； 3B．bcos C＋ccos B＝7；

D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大

4．已知ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且

AEEB，AD2DC，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ）

A．ABCE1 C．OAOBOCB．OEOC0

3 2D．ED在BC方向上的投影为

7 65．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为（ ） A．8+33 C．8﹣33 B．83161D．83161 D．150°

6．在ABC中，若B30，AB23，AC2，则C的值可以是（ ） A．30°

B．60°

C．120°

7．ABC中，a4，b5，面积S53，则边c（ ） A．21 A．直角三角形

B．61 B．等腰三角形

C．41 C．等腰直角三角形

D．25 D．等边三角形

8．在△ABC中,若acosAbcosB,则△ABC的形状可能为( )

9．已知M为ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（ ）

A．ADC．BM11ABAC 2221BABD 33B．MAMBMC0 D．CM12CACD 3310．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（ ） A．BDADAB C．BABC8

11．给出下列命题正确的是（ ） A．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B．ababa与b方向相同 C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同

D．若向量AB与向量CD是共线向量，则点A,B,C,D必在同一直线上 12．设a为非零向量，下列有关向量

B．AD1(ABAC) 2D．ABACABAC

a的描述正确的是（ ） |a|C．

A．|a|a||1

B．

a|a|//a

a|a|a

D．

a|a|a|a|

13．在下列结论中，正确的有（ ）

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C．两个相等向量的模相等

B．平行向量又称为共线向量

D．两个相反向量的模相等

14．对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A．若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形 B．若AB，则sinAsinB

C．若a8，c10，B60，则符合条件的ABC有两个 D．若sin2Asin2Bsin2C，则ABC是钝角三角形 15．下列命题中正确的是( )

A．对于实数m和向量a,b,恒有m(ab)mamb B．对于实数m,n和向量a,恒有(mn)amana C．若mamb(mR),则有ab D．若mana(m,nR,a0),则mn

二、平面向量及其应用选择题

16．在△ABC中，M是BC的中点．若AB＝a，BC＝b，则AM＝( ) A．

1(ab) 2B．

1(ab) 2C．

21ab 2D．a1b 217．若△ABC中，sin(AB)sin(AB)sinC，则此三角形的形状是（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

ABACABAC1BC018．已知非零向量AB，AC满足，且，则ABC|AB||AC||AB||AC|2的形状是( ) A．三边均不相等的三角形 C．等腰（非等边）三角形

B．直角三角形 D．等边三角形

19．设为两个非零向量a,b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1，则（ ）

A．若确定，则|a|唯一确定 C．若|a|确定，则唯一确定

B．若确定，则|b|唯一确定 D．若|b|确定，则唯一确定

20．已知a,b是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A．ab0

B．ab1

C．ab

D．ab0

21．已知在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ABC的面积为

S，且2S(ab)2c2，则tanC（ ）

A．4 3B．3 4C．

3 4D．

4 322．已知点O是ABC内部一点，并且满足2OA3OB5OC0，OAC的面积为

S1S1，ABC的面积为S2，则

S2A．C．

3 102 5B． D．

4 213823．在ABC中，若CACBCACB0，则ABC为（ ） A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．无法确定

24．O为ABC内一点内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

aOAbOBcOC0，且tanAOAtanBOBtanCOC0，若a3，则边BC所对的ABC外接圆的劣弧长为（ ） A．

2 3B．

4 3C．

 6D．

 325．在ABC中，若acosAbcosB，则ABC的形状一定是（ ） A．等腰直角三角形 C．等腰三角形

B．直角三角形 D．等腰或直角三角形

26．奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA，

SB，SC，则SAOASBOBSCOC0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点

O满足OAOBOBOCOCOA，则必有（ ）

A．sinAOAsinBOBsinCOC0 B．cosAOAcosBOBcosCOC0 C．tanAOAtanBOBtanCOC0 D．sin2AOAsin2BOBsin2COC0

27．在ABC中|ABAC||ABAC|,AB3,AC4,则BC在CA方向上的投影为（ ）． A．4

B．3

C．-4

D．5

28．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为75，则山高BC=（ ）

A．500米

2B．1500米 C．1200米 D．1000米

29．在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若

Sa2bc，则cosA等于（ ）

A．

4 5B．4 5C．

15 17D．15 1730．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且

CF2DF，AE与BF交于点P，若APAE，则（ ）

A．

3 4B．

5 83C．

8D．

2 331．ABC中，a2:b2tanA:tanB，则ABC一定是（ ） A．等腰三角形 C．等腰直角三角形

B．直角三角形 D．等腰或直角三角形

32．如图所示，在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得BMABAC，则（ ）

A．1

B．1 2C．2

D．3 233．在ABC中，AB8，AC6，A60，M为ABC的外心，若

AMABAC，、R，则43（ ）

A．

3 4B．

5 3C．

7 3D．

8 31134．如图，在ABC中，ADAB，AEAC，BE和CD相交于点F，则向量

42AF等于（ ）



12A．ABAC

7712ABAC C．1414的面积的最大值为（ ） A．123 B．63

13B．ABAC

7713ABAC D．141435．在△ABC中，M为BC上一点，ACB60,BM2MC,|AM|4，则△ABCC．12

D．183

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．CD 【分析】

对于A由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B由条件推出，判断该命题是假命题；对于C由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解 解析：CD 【分析】

对于A由条件推出b0或ab，判断该命题是假命题；对于B由条件推出

ab2ab，判断该命题是假命题；对于C由条件判断a与b垂直，判断该命题

22是真命题；对于D由条件推出向量ab与ab的夹角是【详解】

，所以该命题是真命题. 2对于A，若a0，ab0，则b0或ab，所以该命题是假命题； 对于B，ababcos22abcos，而ab2222222ab，

2222由于a、b为不共线的非零向量，所以cos所以该命题是假命题；

对于C，若非零向量a、b满足ab21，所以abab，

22ab，a2b22aba2b2，所以

ab0，则a与b垂直，所以该命题是真命题；

对于D，以a与b为邻边作平行四边形是正方形，则ab和ab所在的对角线互相垂直，所以向量ab与ab的夹角是故选：CD. 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.

，所以该命题是真命题. 22．ABD 【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】

对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；

对于B，根据正弦定

解析：ABD 【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】

对于A，设ABC的外接圆半径为R，根据正弦定理

a732R，可得R，所以sinA3ABC的外接圆面积是SR249，故A正确； 3对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合ABC，可将原式化为

2RsinBcosC2RsinCcosB2Rsin(BC)2RsinAa，故B正确．

对于C，bc2R(sinBsinC)2R[sinBsin(2B)] 31314(cosBsinB)14sin(B)

223bc14，故C错误．

对于D，设A到直线BC的距离为d，根据面积公式可得

11adbcsinA，即22bcsinA，再根据①中的结论，可得d73，故D正确． a故选：ABD. 【点睛】 d本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．

3．AC 【分析】

利用向量线性的坐标运算可判断A；利用向量模的坐标求法可判断B；利用向量数量积的坐标运算可判断C；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A正确； ，故B错误；

解析：AC 【分析】

利用向量线性的坐标运算可判断A；利用向量模的坐标求法可判断B；利用向量数量积的坐标运算可判断C；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】

由向量a1,0，b2,2，

则a2b1,022,25,4，故A正确；

b222222，故B错误；

cosa,babab1202120222222，2

又a,b0,，所以a与b的夹角为45°，故C正确； 由a1,0，a2b5,4，140540，故D错误. 故选：AC 【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.

4．BCD 【分析】

以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，

解析：BCD 【分析】

以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E为AB中点，则CEAB，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，E(0,0),A(1,0),B(1,0),C(0,3),D(,123)， 3323)，BO∥DO， 3设O(0,y),y(0,3),BO(1,y),DO(,y13所以y2313， y，解得：y332即O是CE中点，OEOC0，所以选项B正确；

OAOBOC2OEOCOE3，所以选项C正确； 2因为CEAB，ABCE0，所以选项A错误；

123ED(,)，BC(1,3)，

3312EDBC73ED在BC方向上的投影为，所以选项D正确.

26BC故选：BCD 【点睛】

此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

5．AC 【分析】

利用余弦定理：即可求解. 【详解】

在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基

解析：AC 【分析】

利用余弦定理：b2a2c22accosB即可求解. 【详解】

在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°， 由余弦定理：b2a2c22accosB， 即a216a310，解得a833. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.

6．BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】

由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

解析：BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得sinC【详解】

1ABAC23由正弦定理可得，所以sinCABsinB23， sinCsinBAC223，再由C0,150即可得解. 2又B30，所以C0,150， 所以C60或C120. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

7．AB 【分析】

在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】

中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，

当时，由余弦定理得：， 解得，

当时，由余弦定理得：， 解得 所以或

解析：AB 【分析】

在ABC中，根据a4，b5，由SABC1absinC53，解得C60或2C120，然后分两种情况利用余弦定理求解.

【详解】

ABC中，因为a4，b5，面积S所以SABCABC53，

1absinC53， 23，解得C60或C120， 2所以sinC当C60时，由余弦定理得：c2a2b22abcosC21， 解得c21，

61 当C120时，由余弦定理得：c2a2b22abcosC61， 解得c所以c故选：AB 【点睛】

本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21或c61 8．ABCD 【分析】

应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或

解析：ABCD 【分析】

应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin2Asin2B即AB或AB△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】

2，进而有

ab sinAsinB acosAbcosB

sinAcosAsinBcosB, 即sin2Asin2B.

根据正弦定理

2A,2B(0,2), 2A2B或2A2B. 即AB或AB2,

△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】

本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°

9．ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.

对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确； 对于B选项，，由于为三

解析：ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得M为AD三等分点靠近D点的点. 对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得AD11ABAC，故A正确； 22对于B选项，MBMC2MD，由于M为AD三等分点靠近D点的点，

MA2MD，所以MAMBMC0，故正确；

对于C选项，BMBA对于D选项，CMCA故选：ABD

2212ADBABDBA=BABD，故C错误； 33332212ADCACDCACACD，故D正确. 3333

【点睛】

本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.

10．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A选项：，故A错；

对于 B选项：因为D为BC的中点，，故B正确； 对于C选项：，故正确； 对于D选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A选项：BDADBDDABA，故A错； 对于 B选项：因为D为BC的中点，

111ADAB+BDAB+BCAB+BA+AC(ABAC)，故B正确；

222对于C选项：BABCBABCcosBBABCBDBA248，故正确；

对于D选项：ABAC2AD,ABACCB，而2ADCB，故D不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

11．C 【分析】

对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B，两边平方化简；

对C，根据向量相等的定义判断；

对D，根据向量共线的定义判断. 【详解】

A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A

解析：C 【分析】

对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B，两边平方化简abab； 对C，根据向量相等的定义判断； 对D，根据向量共线的定义判断. 【详解】

A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A错误；

B中，由abab，得2|a||b|2ab，得|a||b|(1cos)0， 则|a|0或|b|0或cos1，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a与b方向不一定相同，B错误；

C中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C正确； D中，由共线向量的定义可知点A,B,C,D不一定在同一直线上，D错误. 故选：C 【点睛】

本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.

12．ABD 【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D正确. 故选：ABD

解析：ABD 【分析】

a首先理解表示与向量a同方向的单位向量，然后分别判断选项.

a【详解】

aaa1正确，//a正确，所以AB正确，当表示与向量a同方向的单位向量，所以

aaaa

a不是单位向量时，a不正确，

a

aaaaacos0aa，所以D正确. aaa故选：ABD 【点睛】

aa本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解

aa表示与向量a同方向的单位向量.

13．BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确； C. 相等向量方向相同，模相等，正确； D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】

本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.

14．BD 【分析】

对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，

对于A，若，则或， 当A＝

解析：BD 【分析】

对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可． 【详解】

在ABC中，

对于A，若sin2Asin2B，则2A2B或2A2B， 当A＝B时，△ABC为等腰三角形； 当AB2时，△ABC为直角三角形，故A不正确，

对于B，若AB，则ab，由正弦定理得确；

ab，即sinAsinB成立．故B正sinAsinB1＝84，只有一解，故C错误； 2对于C，由余弦定理可得：b＝821022810对于D，若sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理得a2b2c2，

a2b2c2∴cosC0，∴C为钝角，∴ABC是钝角三角形，故D正确；

2ab综上，正确的判断为选项B和D． 故选：BD． 【点睛】

本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

15．ABD 【详解】

解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．

对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对

解析：ABD 【详解】

解：对于A：对于实数m和向量a、b，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：

m(ab)mamb，故A正确．

对于B：对于实数m，n和向量a，根据向量的数乘运算律，恒有(mn)amana，故 B正确．

对于C：若mamb(mR)，当 m0时，无法得到ab，故C不正确． 对于D：若mana(m,nR,a0)，则mn成立，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】

本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零

向量的情况．

二、平面向量及其应用选择题

16．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC中，M是BC的中点， 又ABa,BCb， 所以AMABBMAB故选D. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 17．A 【分析】

已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sinC不为0得到sin(AB)sinC，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】

11BCab， 22ABC中，sin(AB)sinC，

已知等式变形得：sinCsin(AB)sin2C，即sin(AB)sinCsin(AB)，

整理得：sinAcosBcosAsinBsinAcosBcosAsinB，即2cosAsinB0，

cosA0或sinB0（不合题意，舍去），

0A

A90，

则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】

此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 18．D 【分析】

ABAC先根据|AB||AC|BC0，判断出A的角平分线与BC垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C，判断出三角形的形状． 【详解】

ABACABACBC0解：，，分别为单位向量， |AB||AC||AB||AC|A的角平分线与BC垂直， ABAC，

cosAABAC1，

|AB||AC|2A3，

BCA3，

三角形为等边三角形．

故选：D． 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 19．B 【分析】

abbcos|bta|b2abtat，令f(t)b2abtat，易得t2aa2222222时，f(t)min【详解】

4a2b24(ab)2222b|b|cos1，结合选项即可得到答案. ，即124a|bta|2b22abta2t2，令f(t)b22abta2t2，因为tR，

4a2b24(ab)2abbcos所以当t2时，f(t)min，又|bta|的最小值为1，

4a2aa所以|bta|的最小值也为1，即f(t)min24a2b24(ab)21，24ab|2b|2cos21，

所以|b|sin1(b0)，所以b故选：B 【点睛】

本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 20．C 【分析】 取a,b夹角为【详解】

221，故若确定，则|b|唯一确定. sin，计算排除ABD，得到答案. 3取a,b夹角为故选：C. 【点睛】

1，则ab0，ab，排除ABD，易知ab1. 32本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 21．A 【分析】

由三角形面积公式和余弦定理可得C的等式，利用二倍角公式求得tan

C

，从而求得2

tanC． 【详解】

∵2S(ab)2c2a2b22abc2，即2∴absinC2aba2b2c2，

1absinCa2b22abc2， 2sinCa2b2c2absinC2absinC又cosC， 1，∴cosC122ab2ab2CCCC2C2224， sincos，则tan2，∴tanC即2cos212322222C1tan2故选：A． 【点睛】

2tan本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 22．A 【解析】

∵2OA3OB5OC0，∴2OAOC3OBOC． 设AC中点为M，BC中点为N，则2OM3ON, ∵MN为ABC的中位线，且

OMON3， 23SABC10ABC，即

∴SOAC2SOMC32S5CMN61S54S13．选A． S21023．C 【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得(CACB )(CACB)CACBb2a20，从而可得答案． 【详解】

22解：

在ABC中，(CACB )(CACB)CACBb2a20，

22ab，

ABC为等腰三角形， 故选：C． 【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 24．A 【分析】 根据题意得出

tanAtanBtanC，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出abcABC，从而可得知ABC为等边三角形，进而可求得BC所对的ABC外接圆的劣弧

长. 【详解】

aOAbOBcOC0，OCabOAOB， cctanAactanAtanBtanCOAOB，同理可得OC，

btanBtanCtanCtanCctanAtanBtanC， abctanAtanBtanC111，所以，， sinAsinBsinCcosAcosBcosC， 3由正弦定理得

cosAcosBcosC，

由于余弦函数ycosx在区间0,上单调递减，所以，ABC32设ABC的外接圆半径为R，则，R1， 3222所以，边BC所对的ABC外接圆的劣弧长为R2A1. 33故选：A. 【点睛】

2R本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 25．D 【分析】

首先利用正弦定理求得sin2Asin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】

asinAabc2R， sinAsinBsinC解得：sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，

所以：2A2B或2A1802B，解得：AB或AB90

解：已知：acosAbcosB，利用正弦定理：所以：ABC的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D． 【点评】

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 26．C 【分析】

利用已知条件得到O为垂心，再根据四边形内角为2及对顶角相等，得到

AOBC，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到

OA:OB:OCcosA:cosB:cosC，进而求出SA:SB:SC的值，最后再结合“奔驰定

理”得到答案. 【详解】

如图，因为OAOBOBOCOCOA，

所以OB(OAOC)0OBCA0，同理OABC0，OCAB0， 所以O为ABC的垂心。

因为四边形DOEC的对角互补，所以AOBC，

OAOBOAOBcos(C)OAOBcosC．

同理，OBOC|OB‖OC|cosA，

OCOA|OC‖OA|cosB，

|OA‖OB|cosC|OB||OC|cosA|OC||OA|cosB． |OA‖OB|cosC|OB||OC|cosA|OC||OA|cosB，

|OA‖OB||OC||OA‖OB||OC||OA‖OB||OC|OA:OB:OCcosA:cosB:cosC．

又SA11OBOCsin(A)OBOCsinA 22SBSC11OAOCsin(B)OAOCsinB 2211OBOAsin(C)OBOAsinC 22sinAsinBsinCsinAsinBsinC::::tanA:tanB:tanC． OAOBOCcosAcosBcosCSA:SB:SC由奔驰定理得tanAOAtanBOBtanCOC0. 故选C． 【点睛】

本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题. 27．C 【分析】

先对等式ABACABAC两边平方得出ABAC，并计算出BCCA，然后利用投影的定义求出BC在CA方向上的投影． 【详解】

对等式ABACABAC两边平方得，

ABAC2ABACABAC2ABAC，整理得，ABAC0，则ABAC，

BCCAACABCAACCAABCAAC16，

设向量BC与CA的夹角为，

所以，BC在CA方向上的投影为BCcosBC故选C． 【点睛】

本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 28．D 【分析】

作出图形，过点S作SEAC于E，SHAB于H，依题意可求得SE在BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC． 【详解】

解：依题意，过S点作SEAC于E，SHAB于H，

22222BCCABCCABCCACA164， 4

SAE30，AS1000米，CDSEASsin30500米，

依题意，在RtHAS中，HAS453015，HSASsin15， 在RtBHS中，HBS30，BS2HS2000sin15， 在RtBSD中，

BDBSsin752000sin15sin752000sin15cos151000sin30500米， BCBDCD1000米，

故选：D． 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题． 29．D 【分析】

由Sa(bc)，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：

221bcsinA2bccosA2bc，化为sinA4cosA4，与sin2Acos2A1．解出即2可． 【详解】

解：Sa2(bc)2，

Sb2c2a22bc， 1bcsinA2bccosA2bc， 2所以sinA4cosA4， 因为sin2Acos2A1． 解得cosA15或cosA1． 17因为1cosA1，所以cosA1舍去．

cosA15． 17故选：D． 【点睛】

本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 30．A

【分析】

设出APmAB1mAFmAB1mADDF，求得

2m1AB1mAD，再利用向量相等求解即可. 3【详解】 AP连接AF，因为B，P，F三点共线，

所以APmAB1mAFmAB1mADDF， 因为CF2DF，所以DF所以AP11DCAB， 332m1AB1mAD. 311BCABAD. 22因为E是BC的中点， 所以AEAB因为APAE， 所以

2m11AB1mADABAD， 322m13则，

11m2解得故选：A 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 31．D 【分析】

由已知a2:b2tanA:tanB，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断． 【详解】

∵a2:b2tanA:tanB，

3. 4sinAsinAtanAsinBsinAcosB由正弦定理可得，， sin2BtanBsinBsinBcosAcosB∵sinAsinB0，

2∴

sinAcosB， sinBcosA∴sinAcosAsinBcosB即sin2Asin2B，∵A,B0,,AB0,， ∴2A2B或2A2B， ∴AB或AB故选D． 【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点． 32．B 【分析】

由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD，BM，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】

如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在tR，使得BDtBCtACAB， 因为M是线段AD的中点，所以：

2，即三角形为等腰或直角三角形，

1111BABDABtACtABt1ABtAC， 222211又BMABAC，所以t1，t，

22BM所以故选：B.

1. 2

【点睛】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 33．C 【分析】

2211作出图形，先推导出AMABAB，同理得出AMACAC，由此得出关于实

22数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43的值.

【详解】

如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AMAEEM且EMAB，

21AB， 2AMABAEEMABAEABEMAB同理可得AMAC21AC， 2

ABAC86cos6024，

21AMABABABACAB326424322由，可得，即，

21243618ABACAC18AMACAC25，12故选：C. 【点睛】

解得25273. ，因此，43491293本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 34．B 【分析】

过点F分别作FM//AB交AC于点M，作FN//AC交AB于点N，由平行线得出三

113角形相似，得出线段成比例，结合ADAB，AEAC，证出AMAC和

4271

ANAB，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB和AC表示AF.

7【详解】

解：过点F分别作FM//AB交AC于点M，作FN//AC交AB于点N，

11已知ADAB，AEAC，

42FN//AC，则△MFE△ABE和△MCF△ACD， MFMEMFMC则：且， ABAEADACMFMC1MF2MEMC即：且1，所以MF2ME4， ACABABACABACAC43则：MC8ME，所以AMAC，

73解得：AMAC，

7同理FM//AB，△NBF△ABE和△NFD△ACD，

NFNBNFND则：且， AEABACADNFNBNFND1NB4ND， 即：1且AC1，所以NFAB2ACABACABAB24则：NB8ND，即ABAN8ADAN， 所以ABAN8得：AN1ABAN，即ABAN2AB8AN， 41AB， 71解得：ANAB，

7四边形AMFN是平行四边形，

由向量加法法则，得AFANAM，

13所以AFABAC.

77故选：B.



【点睛】

本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 35．A 【分析】

由已知条件，令|AC|a，|BC|b，则在△ACM中结合余弦定理可知ab48，根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】

由题意，可得如下示意图

令|AC|a，|BC|b，又BM2MC，即有|CM|1b|CB| 33∴由余弦定理知：|AM|2|CA|2|CM|22|CA||CM|cosACB

a2ab12ababab16b2()2，当且仅当a3b时等号成立

332333∴有ab48

∴SABC故选：A 【点睛】

本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值

113absinC48123 222