2011年浙江省杭州市中考数学试卷

2011年浙江省杭州市中考数学试卷 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1． （2011杭州，1，3分）下列各式中，正确的是（ ） A．323 B．323 C．323 D．323 考点：算术平方根． 专题：计算题． 分析：算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 解答：选B． 点评：此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 2． （2011杭州，2，3分）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．菱形 考点：剪纸问题． 专题：作图题． 分析：此题可以直接作图，由图形求得答案，也可利用排除法求解． 解答：解：如图：若沿着EF剪下，可得梯形ABEF与梯形FECD，

∴能剪得的图形是梯形；

∵如果剪得的有三角形，则一定是直角三角形， ∴排除A与B；

如果有四边形，则一定有两个角为90°，且有一边为正方形的边， ∴不可能是菱形，排除D． 故选C．

点评：此题考查了剪纸问题，考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 3． （2011杭州，3，3分）(210)（ ）

A．6×109 B．8×109 C．2×1018 D．8×1018 考点：幂的乘方与积的乘方． 专题：计算题．

分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n是正整数）计算即可．

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633解答：解：(210)2106381018．

故选D．

点评：本题考查了幂的乘方与积的乘方，注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别；③因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；④运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

4． （2011杭州，4，3分）正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）

A．9 B．8 C．7 D．4 考点：多边形内角与外角． 专题：几何图形问题．

分析：一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．

解答：解：∵正多边形的一个内角为135°， ∴外角是180-135=45°， ∵360÷45=8，

则这个多边形是八边形， 故选B．

点评：本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，难度适中．

5． （2011杭州，5，3分）在平面直角坐标系xOy中，以点（-3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）

A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质． 专题：推理填空题；数形结合．

分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心O到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 解答：解：

圆心O到x轴的距离是4，到y轴的距离是3， 4=4，3＜4，

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∴圆O与x轴相切，与y轴相交， 故选C．

点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键．

6． （2011杭州，6，3分）如图，函数y1=x-1和函数 y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），

若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）

A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2 C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 专题：计算题．

分析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y2图象的交点横坐标，可确定y1＞y2时，x的取值范围．

解答：解：∵函数y1=x-1和函数 y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n）， ∴当y1＞y2时，-1＜x＜0或x＞2． 故选D．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．

7． （2011杭州，7，3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（ ）

A． B． C． D．

考点：一次函数的应用；一次函数的图象．

分析：因为个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，矩形的面积一定，y随着x的增大而减小，但是x+y=k（矩形的面积是一定值），由此可以判定答案． 解答：解：因为x+y=k（矩形的面积是一定值）， 整理得y=-x+k，

由此可知y是x的一次函数，，图象经过二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，

所以只有A符合要求． 故选A．

点评：此题主要考查实际问题的一次函数的图象与性质，解答时要熟练运用．

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8． （2011杭州，7，3分）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a=（ ） A． 23 B． 3 C．2 D．1 考点：由三视图判断几何体． 专题：数形结合． 分析：由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2，求a的值可结合俯视图来解答，如下图； 解答：由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2，求a的值可结合俯视图来解答，如下图； 做AD⊥BC，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°， ∴在直角△ABD中，∠ABD=30°，AD=1， ∴BD=AB2AD222123． 故选B． 点评：本题考查了正六棱柱的三视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力． 9． （2011杭州，9，3分）若a+b=-2，且a≥2b，则（ ） A、 ba有最小值 12 B、 ba有最大值1 C、 ab有最大值2 D、 ab有最小值 -89 考点：不等式的性质． 专题：计算题． 24＜0和a≥；然后根据不等式的基本性质求得33ab1b14b1≤2 和②当a＞0时，≤，有最大值是②当≤a＜0时，≥；据此作出选择即可． ba2a23a2分析：由已知条件，根据不等式的性质求得b≤ 解答：解：∵a+b=-2， ∴a=-b-2，b=-2-a， 又∵a≥2b， ∴-b-2≥2b，a≥-4-2a， 移项，得 -3b≥2，3a≥-4， ∴b≤ a≥2＜0（不等式的两边同时除以-3，不等号的方向发生改变）； 34； 3----完整版学习资料分享----

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a≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）； bb1b1A．当a＞0时，≤，有最大值是，；故本选项错误； a2a24b1b1B．当≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误； 3a2a2aC．.∴有最大值2；故本选项正确； baD．∴无最小值；故本选项错误． b由a≥2b，得故选C． 点评：主要考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 10． （2011杭州，10，3分）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题 ①若 SABCD/SBFDE=2+33，则 tan∠EDF=；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD．则（ ） 23A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 考点：解直角三角形；菱形的性质；矩形的性质． 专题：几何综合题． 分析：①由已知先求出sin∠EDF，再求出tan∠EDF，确定是否真假命题．②由已知根据矩形、菱形的性质用面积法得出结论． 解答：解：①设CF=x，DF=y，BC=h，则由已知菱形BFDE，BF=DF=y 由已知得： (x+y)h/yh= 2+3， 2得：x33=，即cos∠BFC=，2y2 ∴∠BFC=30°， 由已知 ∴∠EDF=30° ∴tan∠EDF= 3， 3所以①是真命题． ②已知菱形BFDE，∴DF=DE 由已知△DEF的面积为：DF•AD， 也可表示为： 12BD•EF， ----完整版学习资料分享----

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又DE2=BD•EF，

∴△DEF的面积可表示为： 12DE2即： 12DF2， ∴DF•AD= 12DF2， ∴DF=2AD，

所以②是真命题． 故选：A．

点评：此题考查的知识点是解直角三角形、矩形的性质及菱形的性质，解题的关键是①先求出∠EDF的正弦确定其度数，再求出其正切．②用面积法确定． 二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11． （2011杭州，11，4分）写出一个比-4大的负无理数 ．

考点：无理数． 专题：开放型．

分析：本题需先根据已知条件，写出一个负数并且是无理数即可求出答案． 解答：解：∵写一个比-4大的负无理数， 首先写出一个数是无理数，再写出它是负数 ∴如- 3等．

故答案为：- 3等．

点评：本题主要考查了无理数的概念，在解题时要根据无理数的定义写出结果是解题的关键．

12． （2011杭州，12，4分）当x=7时，代数式（2x+5）（x+1）-（x-3）（x+1）的值为 ．

考点：整式的混合运算—化简求值．

分析：本题需先把代数式进行化简，再把各项进行合并，最后把x=7代入即可求出正确答案． 解答：解：（2x+5）（x+1）-（x-3）（x+1）， =2x2+7x+5-（x2-2x-3）， =2x2+7x+5-x2+2x+3， =x2+9x+8，

当x=7时，原式=72+9×7+8， =49+63+8， =120．

故答案为：120．

点评：本题主要考查了整式的混合运算-化简求值问题，在解题时要根据整式的计算顺序得出结果，再把得数代入是本题的关键．

13． （2011杭州，13，3分）数据9.30，9.05，9.10，9.40，9.20，9.10的众数是 ；中位数是 ． 考点：众数；中位数． 专题：计算题．

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 解答：解：出现次数最多的是9.10，则众数是9.10；

将这些数按大小顺序排列，中间两个数为9.10，9.20，则中位数为9.15； 故答案为9.10，9.15．

点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

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14． （2011杭州，14，4分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上， CD弧的度数等于 ，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO= ． 考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 专题：证明题． 分析：在等腰△OAC和△OCD中，根据等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠OCD=∠ODC、∠CAO=∠OCA，所以由三角形的内角和求得∠OCD=48°；然后根据角平分线的性质求得∴∠OCA=∠OCA=24°；最后由圆周角定理知：∠ABD= ∠ABD=∠CAO，进而求得∠ABD+∠CAO=48°． 11∠AOD，∠OCA= ∠AOD．所以22 解答：解：∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等， ∴CD弧的度数等于84°，即∠COD=84°； 在△COD中，OC=OD（⊙O的半径）， ∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）； 又∠COD+∠OCD+∠ODC=180°， ∴∠OCD=48°； 而CA是∠OCD的平分线， ∴∠OCA=∠OCA， ∴∠OCA=∠OCA=24°； 在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径）， ∴∠CAO=∠OCA（等边对等角）； ∵∠ABD= ∠OCA= 1∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， 21∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， 2∴∠ABD=∠CAO， ∴∠ABD+∠CAO=48°； 故答案为：48°． 点评：本题综合考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”求得∠COD=84°． ----完整版学习资料分享----

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http://www.sxzy618.com/15． （2011杭州，15，4分）已知分式义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有 个． 考点：分式有意义的条件；根与系数的关系． 专题：计算题． 分析：根据分式无意义的条件：分母等于零求解． 解答：解：由题意，知当x=2时，分式无意义， ∴分母=x2-5x+a=22-5×2+a=-6+a=0， ∴a=6； 当x2-5x+a=0时，△=52-4a=25-4a， ∵a＜6， ∴△＞0， ∴方程x2-5x+a=0有两个不相等的实数根， 即x有两个不同的值使分式x-3，当x=2时，分式无意x2-5x+ax-3无意义． x2-5x+a故当a＜6时，使分式无意义的x的值共有2个． 故答案为6，2． 点评：本题主要考查了分式无意义的条件及一元二次方程根与系数的关系．（2）中要求当a＜6时，使分式无意义的x的值的个数，就是判别当a＜6时，一元二次方程x2-5x+a=0的根的情况． 16． （2011杭州，16，4分）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为 ． 考点：勾股定理；等腰直角三角形． 专题：作图题；转化思想． 分析：如图，延长AC，做FD⊥BC交点为D，FE⊥AC，交点为E，可得四边形CDFE是正方形，则，CD=DF=FE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出AC=1，AB= 2，又AB=AF；所以，在直角△AEF中，可运用勾股定理求得DF的长即为点F到BC的距离． 解答：证明：（1）如图，延长AC，做FD⊥BC交点为D，FE⊥AC，交点为E， ∴四边形CDFE是正方形， 即，CD=DF=FE=EC， ∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AF， ----完整版学习资料分享----

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∴AB= ∴AF= 12122， 2； 22∴在直角△AEF中，（1+EC）2+EF2=AF2 ∴1+DFDF2， 2解得，DF=31； 2 （2）如图，延长BC，做FD⊥BC，交点为D，延长CA，做FE⊥CA于点E， ∴四边形CDFE是正方形， 即，CD=DF=FE=EC， 同理可得，在直角△AEF中， （EC-1）2+EF2=AF2， ∴DF1DF222， 2解得，FD=31； 231． 2故答案为：点评：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力． http://www.sxzy618.com/http://www.sxzy618.com/三.全面答一答（本题有8个小题，共66分） 17． （2011杭州，17，6分）点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标．

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考点：两条直线相交或平行问题． 分析：本题需先根据已知条件写出直线AB、CD的解析式，再把方程组进行解答，即可求出直线AB，CD的交点坐标． 解答：解：由已知得，直线AB方程为y=2x+6， 直线CD方程为y1x1 2y2x+6解方程组， 1yx12得x2， y2所以直线AB，CD的交点坐标为（-2，2）． 点评：本题主要考查了两条直线相交或平行问题，在解题时要根据已知条件再结合图形写出解析式是本题的关键． 18． （2011杭州，18，6分）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d=1：2：3：4 （1）选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率． 考点：列表法与树状图法；三角形三边关系；作图—复杂作图． 专题：计算题；作图题． 分析：（1）选b，c，d三边利用“边边边”作三角形即可； （2）列举出所有情况，看以它们为边能作出三角形的情况数占总情况数的多少即可． 解答：解：（1） ，只能选b，c，d三边画三角形； （2） 共有24种情况， 能组成三角形的有6种情况， 所求概率为p1． 4----完整版学习资料分享----

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点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到能作出三角形的情况数是解决本题的关键． http://www.sxzy618.com/http://www.sxzy618.com/19． （2011杭州，19，6分）在△ABC中，AB= 3，AC= 2，BC=1． （1）求证：∠A≠30°； （2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积． 考点：圆锥的计算；勾股定理；解直角三角形． 专题：计算题；证明题． 分析：（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠，利用三角函数计算出sinA，然后与sin30°进行比较即可判断∠A≠30°； （2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为AC，母线长为AB，所得几何体的表面积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算即可． 解答：解：（1）∵BC2+AC2=1+2=3=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠． ∵sinABC11sin300， AB32∴∠A≠30°． （2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥， ∴圆锥的底面圆的半径=2， ∴圆锥的底面圆的周长=2π•2=22π；母线长为3， ∴几何体的表面积= 12（2）•22π•3+π =（6+2）π． 21l•R（l为弧长，R为扇形的半径）；也考查了勾股定理2点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，它的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为母线长，圆锥的侧面积=扇形的面积= 的逆定理以及特殊角的三角函数值． 20． （2011杭州，20，8分）中国国际动漫节以“动漫的盛会，人民的节日”为宗旨，以“动漫我的城市，动漫我的生活”为主题，已在杭州成功举办七届．目前，它成为国内规模最大、交易最旺、影响最广的动漫专业盛会． 下面是自首届以来各届动漫产品成交金额统计图表（部分未完成）： ----完整版学习资料分享----

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（1）请根据所给的信息将统计图表补充完整；

（2）从哪届开始成交金额超过百亿元？相邻两届中，哪两届的成交金额增长最快？ （3）求第五届到第七届的平均增长率，并用它预测第八届中国国际动漫节的成交金额（精确到亿元） 考点：一元二次方程的应用；统计表；条形统计图． 专题：增长率问题．

分析：（1）结合2个图形可得相关统计表；

（2）由表格1可得有2届的成交额超过了百亿元，易得第5届，第6届成交额增长的最快；

（3）关系式为：第5届的成交金额×（1+增长率）2=第七届的成交金额，计算可得增长率，让第7届的成交金额×（1+增长率）即为第八届中国国际动漫节的成交金额． 解答：解：（1）；

（2）从第六届开始成交金额超百亿元，第五第六届成交金额增长最快；

（3）设第五届到第七届平均增长率为x，则65.3（1+x）2=128， 解得x≈40%，或x≈-2.4（不合题意，舍去）， 所以预测第八届成交金额约为128×（1+40%）≈179（亿元）．

点评：考查识图及相关计算；得到2年增长率的等量关系是解决本题的关键． http://www.sxzy618.com/

21． （2011杭州，21，8分）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从

④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形

（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；

（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于 52？请说明理由．

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考点：正多边形和圆；等边三角形的性质；平移的性质． 专题：计算题． 分析：（1）取出⑤，观察图象，根据图象进行平移即可； （2）可以做到．先求出每个等边三角形的面积S1333533覆，得到正六边形的面积为，根据4222盖住正六边形即可． 解答：解：（1）取出⑤，向上平移2个单位； 答：取出的是三角形⑤，平移的方向向上平移，平移的距离是2个单位． （2）解：可以做到． 理由是：∵每个等边三角形的面积是S13， 4∴正六边形的面积为S66S1335， 22而0S653353S1， 2224335)面积覆盖住正六边形就能做到． 22∴只需用⑤的(点评：本题主要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质，平移的性质等知识点的理解和掌握，能根据题意进行计算是解此题的关键． 22． （2011杭州，22，10分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．

（1）求证：△FOE≌△DOC；

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（2）求sin∠OEF的值； （3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求ABCD的值． GH考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；直角梯形；锐角三角函数的定义． 专题：证明题；代数几何综合题． 分析：（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= 1AB，又CD∥AB，CD= 21AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC； 2（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=的关系，再求正弦值； （3））由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= FH= BC，由勾股定理得出AC与BCAC1CD，同理得3ABCD1CD，又AB=2CD，代入中求值． 3GH解答：解：（1）∵EF是△OAB的中位线， 1AB， 21而CD∥AB，CD=AB， 2∴EF∥AB，EF= ∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC， ∴△FOE≌△DOC； （2）∵在Rt△ABC中，AC= ∴sin∠OEF=sin∠CAB= AB2BC24BC2BC25BC， 5BC1==； AC55 （3）∵AE=OE=OC，EF∥CD， ∴△AEG∽△ACD， EGAE11，即EG= CD， 3CDAC31同理FH= CD， 3ABCD2CDCD9∴． CDCD5GHCD33∴点评：本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系． 23． （2011杭州，23，10分）设函数y=kx2+（2k+1）x+1（k为实数） （1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画----完整版学习资料分享----

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出这两个特殊函数的图象； （2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明； （3）对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值． 考点：二次函数综合题． 专题：综合题；数形结合． 分析：（1）令k=0或1，分别得到两个特殊函数，画出图象即可； （2）猜想：不论k取何值，函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象必过定点（0，1），（-2，-1）．由解析式变形，得y=k（x2+2x）+（x+1），可知当x2+2x=0，即x=0或-2时，函数值与k的取值无关，此时y=1或-1，可得定点坐标； 2k1，在对称轴左侧，y随x的增2k2k12k11大而增大，根据题意，得m≤，而当k＜0时，=-1-＞-1，可确定m的范围，在范围2k2k2k（3）只求m的一个值即可．当k＜0时，抛物线对称轴为直线x=内取m的一个值即可． 解答：解：（1）如两个函数为y=x+1，y=x2+3x+1， 函数图形如图所示； （2）不论k取何值，函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象必过定点（0，1），（-2，-1）， 且与x轴至少有1个交点．证明如下： 由y=kx2+（2k+1）x+1，得k（x2+2x）+（x-y+1）=0 当x2+2x=0，且x-y+1=0，即x=0，y=1，或x=-2，y=-1时，上式对任意实数k都成立， 所以函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）． 又因为当k=0时，函数y=x+1的图象与x轴有一个交点； 当k≠0时，∵△=（2k+1）2-4k=4k2+1＞0，所以函数图象与x轴有两个交点． 所以函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象与x轴至少有1个交点． （3）只要写出m≤-1的数都可以． ∵k＜0，∴函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象在对称轴直线x=根据题意，得m≤2k1的左侧，y随x的增大而增大． 2k2k12k11，而当k＜0时，=-1-＞-1， 2k2k2k所以m≤-1． 点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、二次函数的增减性等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法． ----完整版学习资料分享----

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24． （2011杭州，24，12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．

（1）求蝶形面积S的最大值； （2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h2的取值范围． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质；中心对称；平行线分线段成比例． 专题：计算题；几何图形问题． 分析：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF∥BD，求证△ABD∽△AEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值． （2）根据题意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行线分线段求得h1h29+即可知h1的取值范围；②当点E，M重合时，则h1=h2，此时可知h1的取值范围． 5517 解答：解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形． ∵EF∥BD， ∴△ABD∽△AEF， EF5h16，即EF(5h1) 655515所以当h1时，Smax． 22∴ （2）根据题意，得OE=OM． 如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS， ①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM． ∵AB5334， 22----完整版学习资料分享----

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∴OR15， 342∴BR3(1529) 3434由ML∥EK∥OB， OKBEOLBMOKOLBEBM2BR∴， ,OAABOAABOAOAABABABhh9即1+2 5517454545∴h1+h2，此时h1的取值范围为0h1且h1 171734得②当点E，M重合时，则h1=h2，此时h1的取值范围为0＜h1＜5． 点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，轴对称的性质，中心对称，平行线分线段成比例等知识点，综合性强，有一定的拔高难度，属于难题．

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