《高等数学(二)》题库及答案

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一、填空题

1．点A（2，3，-4）在第 卦限。 2．设f(x,y)x2xyy2sin3．函数xy2y,则f(tx,ty) . x1的定义域为 。 y54．设f(x,y)xyyx,则f 。 y5．设共域D由直线x1,y0和yx所围成，则将二重积分

得 。

f(x,y)dD化为累次积分

6．设L为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分(xy)ds= 。

L7．平面2x2yz50的法向量是 。

8．球面xyz9与平面xy1的交线在x0y面上的投影方程为 。 9．设zu2v2,而u=x-y,v=x+y,则10．函数z222z 。 xxy的定义域为 。

2211．设n是曲面zxy及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为

到 。

f(x,y,z)dxdydz为三次积分，得

n12．设L是抛物线yx上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则(x2y2)dx 。

2L13．已知两点M1(1,3,1)和M2(2,1,3)。向量M1M2的模M1M2 ；向量M1M2的方向余弦

cos= ，cos= ，cos 。

14．点M（4，-3，5）到x轴的距离为 。 15．设zuvsint,而ucost,vlnt,则全导数222dz 。 dt16．设积分区域D是：xya(a0)，把二重积分

得 。

f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分，

D17．设D是由直线x0,y0和xy1所围成的闭区域，则二重积分

xd= 。

D18．设L为XoY面内直线x=a上的一段直线，则p(x,y)dx= 。

L19．过点p0(x0,y0,z0)作平行于z轴的直线，则直线方程为 。 20．点（2，4，8）关于z轴的对称点的坐标是 。

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2r2r2r21．设rxyz,则222 。

xyz22222．设zy,则dz 。

23．设L是从点A（-1，0）到点B（1，0）的直线段，则曲线积分ydx 。

Lx224．设D是矩形区域：x1,y1，则二、计算题 1．求下列极限：

（1）lim22(xy)d= 。 Dxyxe

x1xyy22xy4

x0xyy0（2）lim（3）lim(x2y2)sinx0y01xy22

（4）limx0y0xy 1xy1x2y（5）lim2

x0xy2y02．求下列函数的偏导数：

（1）zxyxsiny; （2）zxy。 （3）z(12xy) （4）zarctanx2y x（5）ulntan()xy;

3．改变下列二次积分的次序：

21dxf(x,y)dy。

133x24．利用曲线积分计算星形曲线xacost,yasint所围成的图形的面积。

5．计算二重积分6．计算三重积分

Dx2y2d,其中D是圆球形区域:a2x2y2b2(ba0).

xdxdydz,其中是三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域。

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7．验证：在整个xoy面内，xydxxydy是某个函数的全微分。 8．证明曲线积分9．计算

22(2,1)(1,0)(2xyy43)dx(x24xy3)dy在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值。

xyd，其中D是由直线x2,y1及yx所围成的闭区域。

D222222xyz1所围成的区域。 ，其中Ω是球面(xyz)dv10．利用球面坐标计算三重积分：

《高等数学（二）》作业参考答案

一、填空题

1．VIII

2t2．f(x,y)

3．

(x,y)xy0

24．x5．

5xy4x0

dx01f(x,y)dy或dy011yf(x,y)dx

6．

2

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7．（2，-2，1）

8．

x2y2(1x)29z0

9．-4y 10．

(x,y)x0,y0,x112y

11．

dx1x21x2dy21xy2f(x,y,z)dz

12．56 1512213．3;,,

33314．34

115．lntsintcostcost

t16．

20df(rcos,rsin)rdr.

0a117．

618．0

xx019．

0yy00zz01.

20．（-2，-4，8）

221．

r

22．

ylnydxxydy.

xx123．0

824．

3

二、计算题 1.

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1.(1)解lim(2)解limlimxyx1213eeex1xy122y22xy4xylim x0x0xy(2xyxy4)y0y011x024xy4y0（3）解：

lim(x2y2)0,x0y0又当x0,y0时sin1有界, 22xylim(x2y2)sinx0y010.22xy （4）解：

limx0y0xy(1xy1)xylim0(1xy1)(1xy1)1xy1xy0xy(1xy1)xy

limx0y0lim(1xy1)x0y02

（5）解：

0xyxy222y又limy0x0y0

limx0y0x2yxy2202.

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2.(1)解:z2xysiny,xzx2xcosy.y z(2)解:yxy1,xzxylnxy （3）解：

在z(12xy)x的等号两边取对数得:lnz=xln(1+2xy).对x求偏导数:1z1ln(12xy)x2yzx12xy

z2xyzln(12xy)x12xy2xy(12xy)xln(12xy)12xy

. （4）解：

z1yy(2)2x1(y)2xxy2x

z11x2.2yy1()2xxyx

（5）解：

;

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u1x1sec2()xtan(x)yyy1xxysin()cos()yy22xcsc().yy u1xxsec2()(2)ytan(x)yyy2x2x2cscyy3．解：

21dxf(x,y)dydy11x242yf(x,y)dx

4．解：设L是星形曲线（方向为逆时针方向），则面积

A

1xdyydxL2123232(acost3asincostasint3acostsint)dt20322a(sin2tcos4tcos2tsin4t)dt 02322asin22td(2t)0163a285．解：

Dx2y2d2rdrdD20dr2drabb

12r33a2(b3a3)3.

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6．解：

xdxdydz1x2010dx1x20dy1x2y0xdy

10xdx(12x2y)dy

1123(x2xx)dx041.48 7．解：

令pxy2,x2y,则xy2dx+x2ydy=pdx+dy.由于在整个xoy面内恒有p2xy,yx8．解：

因此,在整个xoy面内xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分.设p2xyy43,qx24xy3则在整个xoy面内恒有pq2x4y3,yx因此,该积分与路径无关,取积分路线如右图,则有

C(2,1)

1(2,1)(1,0)pdxqdy10p(x,0)dxq(2,y)dy3dx(48y3)dy102120 A(1,0) B(2,0)

5

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9．解：D是X-型区域。

xyddx1D22x1xydy10．解：

1(.x3)dx22

x1 980 1 2 (x202yz)dddrsindr22400021d0sind10r4dr12cos0

15r50

45.第 9 页 共 9 页