吉林省长春市东北师大附中明珠学校2020届数学中考模拟试卷

一、选择题

1．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）

A.13寸 A．a+a=a C．（2ab2）3=6a3b6

2

3

5

B.20寸 C.26寸

B．（a+b）=a+b

2

2

2

D.28寸

3．下列等式一定成立的是（ ）

D．（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab

4．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )

A．30cm

2

B．30πcm

2

C．60πcm

2

D．120cm

2

5．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用时间为t（小时），航行的路程为S（千米），则S与t的函数图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

6．一组数据:5,7,10,5,7,5,6.这组数据的中位数和众数（ ） A．7和10

B．7和5

C．7和6

D．6和5

7．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（ ） A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0 B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0 C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0 D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0

8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0x90）近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）

A．18 B．36

C．41 B．2a2D．58

9．下列计算正确的是（ ） A．(ab)ab C．a5a3a2

22224a4

D．a4a7a11

10．设边长为a的正方形面积为2，下列关于a的四种说法：① a是有理数；②a是方程2x2－4＝0的解；③a是2的算术平方根；④1＜a＜2．其中，所有正确说法的序号是（ ） A．②③

B．③④

C．②③④

D．①②③④

11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是( )

A．5≥r≥3 误的是（ ）

B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5

12．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3 B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点

C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数 D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5 二、填空题

13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在AB的延长线上，BF是∠CBE的平分线，∠ADC=100°，则∠FBE=_______.

14．如图所示，长方形ABCD中，AB＝1，AD＝2，将长方形向上、下、左、右各扩大1得到长方形A1B1C1D1，…，依此类推，则长方形AnBn∁nDn的周长可以表示为_____．

15．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．

1[(3.2x)2(5.7x)2(4.3x)2(6.8x)2]是李华同学在求一组数据的方差时，写出4的计算过程，则其中的x=_____.

16．若s217．如果二次函数ymxm三、解答题 19．计算：

22（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为______．

18．将y＝2x2的图象沿y轴向下平移3个单位，则得到的新图象所对应的函数表达式为_____．

（1）28+|-5|(1)() （2）a（a﹣8）﹣（a﹣2）2

20．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；

（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2132

x33x121．解不等式组：2；并在数轴上把解集表示出来，并判断﹣1、2这两个数是否为

13(x1)8x该不等式组的解．

22．（1） 解方程: 2（x﹣3）=3x（x﹣3）

4x75(x1)（2）解不等式组x x232323．已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F． （1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AE＝6，BF＝8，平行四边形ABCD的面积是36，求AD的长．

24．如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，BF＝CE，AE＝DF．

（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：四边形ABCD是矩形．

25．如图， AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线， BC与⊙O相交于点D,点E在⊙O上，且DE=DA, AE与BC相交于点F， (1)求证： ∠CAD=∠B: (2)求证： FD=CD．

【参考答案】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C B D B C C C 二、填空题 13．50 14．8n+6． 15．2 +1 16．5 17．-2

18．y＝2x2﹣3． 三、解答题

19．（1）0；（2）﹣4a﹣4． 【解析】

D D 【分析】

根据实数运算法则和整式运算法则分别计算即可,要注意负指数幂的意义. 【详解】

解：（1）28+|-5|(1)() ＝4+5×1﹣9 ＝4+5﹣9 ＝0；

（2）a（a﹣8）﹣（a﹣2）2 ＝a﹣8a﹣a+4a﹣4 ＝﹣4a﹣4． 【点睛】

本题考查实数运算和整式运算，负指数幂的意义，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键. 20．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（

2

2

2132912，）；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）77时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似． 【解析】 【分析】

（1）根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+PA取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标； （3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD+BC＝BD可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出

2

2

2

OAOC，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而CDCB可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解． 【详解】

93bc0（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x+bx+c，得：，

c32

b2解得：，

c3∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，0）．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． 如图1，

作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）． ∵O与O′关于直线BC对称， ∴PO＝PO′，

∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′＝3--1+3-0＝5．

设直线AO′的解析式为y＝kx+m，

22-km0将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：，

3km33k4解得：，

3m4∴直线AO′的解析式为y＝

33x+． 4433yx联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：44，

yx39x7解得：，

12y7∴点P的坐标为（

2

912，）． 772

（3）∵y＝﹣x+2x+3＝﹣（x﹣1）+4， ∴点D的坐标为（1，4）．

又∵点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0）， ∴CD＝2

1-0+4-32

2

22＝2，BC＝0-3+3-022＝32，BD＝1-3+4-022＝25，

∴CD+BC＝BD， ∴∠BCD＝90°．

∵点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标为（0，3）， ∴OA＝1，OC＝3， ∴

OAOC2． CDCB2又∵∠AOC＝∠DCB＝90°， ∴△AOC∽△DCB，

∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB． 如图2，

连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q． ∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ， ∴△ACQ∽△AOC． 又∵△AOC∽△DCB， ∴△ACQ∽DCB， ∴

ACAQ225，即， DCDBAQ10∴AQ＝10，

∴点Q的坐标为（9，0）．

综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似． 【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点P的位置；（3）分两种情况，利用相似三角形的性质求出点Q的坐标．

21．﹣2≤x＜1，﹣1是不等式的解，2不是不等式组的解． 【解析】 【分析】

先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】

x33x1①解： 2，

13(x1)8x②解①得x＜1， 解②得x≥﹣2． 表示在数轴上如图：

故不等式组的解集是﹣2≤x＜1．

﹣1是不等式的解，2不是不等式组的解． 【点睛】

本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间． 22．（1）x1=3或x2=【解析】

224;（2）﹣2＜x≤ 35【分析】

（1）把等号右边的式子移至等号左边，然后分解因式后利用因式分解法求解即可； （2）分别求出两个不等式的解集，然后求出公共部分即可． 【详解】

（1）解：原方程可化为：2(x-3)-3x(x-3)=0 (x-3)(2-3x)=0 ∴x-3=0或2-3x=0 解得：x1=3或x2=

2； 34x75(x1)①（2）解：x， x23②32解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤

24 ， 524． 5不等式组的解集是﹣2＜x≤【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法和解一元一次不等式组，根据方程的特点选择恰当的方法是解一元二次方程的关键，正确的求出两个不等式的解集是解一元一次不等式组的关键． 23．(1)见解析；（2）【解析】 【分析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BA＝BE＝AF，即可证四边形ABEF是菱形； （2）由菱形的性质和勾股定理可求BE＝5，由菱形的面积公式可求AH＝可求AD的长． 【详解】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB，

∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴BA＝BE， 同理：AB＝AF ∴AF＝BE， 又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形 （2）如图，过A作AH⊥BE，

15 224，由平行四边形的面积公式5

∵四边形ABEF是菱形， ∴AO＝EO＝

11AE＝3，BO＝FO＝BF＝4，AE⊥BF， 2211AE•BF＝×6×8＝24， 22∴BE＝BO2EO2＝5， ∵S菱形ABEF＝

∴BE•AH＝24， ∴AH＝

24 ， 515 ． 2∴S平行四边形ABCD＝AD×AH＝36， ∴AD＝

【点睛】

本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC．根据全等三角形的判定定理即可得到结论．

（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC． ∵BF＝CE， ∴BF﹣EF＝CE﹣EF， ∴BE＝CF．

在△ABE和△DCF中，

ABDC∵AEDC， BECF∴△ABE≌△DCF（SSS）； （2）证明：∵△ABE≌△DCF， ∴∠B＝∠C．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠B+∠C＝180°． ∴∠B＝∠C＝90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形．

【点睛】

本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

25．(1) 见解析；(2) 见解析. 【解析】 【分析】

（1）由题意AC是⊙O的切线，可知∠CAD+∠BAD=90°，因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，即∠B+∠BAD=90°，证出∠CAD=∠B.

（2）根据DA=DE，得∠EAD=∠E，再证出△ADF≌△ADC，可得FD=CD. 【详解】

(1)∵AC是⊙O的切线， ∴BA⊥AC，

∴∠CAD+∠BAD=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠CAD=∠B， (2)∵DA=DE， ∴∠EAD=∠E， 而∠B=∠E， ∴∠B=∠EAD， ∴∠EAD=∠CAD，

∵∠ADB=∠ADC=90°,AD=AD ∴△ADF≌△ADC， ∴FD=CD. 【点睛】

本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定，熟知切线的性质是解题关键.